文档内容
专题 03 勾股定理与几何最值的三类综合题型
目录
典例详解
类型一、数形结合求最值
类型二、平移图形解决最值问题
类型三、将军饮马最值问题
压轴专练
类型一、数形结合求最值
例1．（1）课堂上，老师提问：求 的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知
识，利用构图法解出了此题，他的做法如下：
①如图1，作一条长为16的线段 ；
②过点 在线段 上方作 ，使 ；过点 在线段 下方作 ，使 ；
③在线段 上任取一点 ，设 ；
④根据勾股定理计算可得， __________， __________（请用含 的代数式表示，不需要化简）；
⑤如图2，过点 作 交 的延长线于 ，则 ， ，连接 交 于点
，当 、 、 三点共线时（即 在 处）， 取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，求 的最小值．
（2）请结合第（1）问，直接写出 的最小值．
【答案】（1） ， ； ．（2）17
【分析】本题考查了求代数式的最值，勾股定理．
（1）①由于 和 都是直角三角形，故 ， 可由勾股定理求得；
②求出 的值便是 的值最小即可；
（2）设点 ，则 ，由（1）中得方法知
的最小值为： ．
【详解】（1）解： ， ，
故答案为： ， ；
⑤由题意可得，
∴ ，
为最小值，
即 的最小值为 ．
（2）解： 设点 ，则 ，
如图，线段 ， ， ，设 ；过点 作 交 的延长线于 ，则
， ，连接 交 于点 ，当 、 、 三点共线时（即 在 处），
取得最小值，即为所求代数式的最小值．由题意可得，∴ ，
由（1）中得方法知 的最小值为 ，
即 的最小为17．
变式1-1．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，
其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ， ．
（1）请用a、b、c分别表示出梯形 、四边形 、 的面积，再探究这三个图形面积之间的
关系，可得到勾股定理，请验证；
知识运用：
（2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），
，垂足分别为A、B， 千米， 千米，则两个村庄的距离为 千米（直接
填空）；
（3）在（2）的背景下，若 千米， 千米， 千米，要在 上建造一个供应站P，使
得 ，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出 的距离．
知识迁移：
（4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式 的最小值 ．
【答案】（1）见解析；（2）41；（3）图见解析；16千米．（4）20
【分析】（1）根据三角形的面积和梯形的面积就可得出答案．
（2）连接 ，作 于点E，根据 得到 ，从而得到
千米，利用勾股定理求得 两地之间的距离．（3）连接 ，作 的垂直平分线交 于P，P即为所求；设 千米，则 千米，分别
在 和 中，利用勾股定理表示出 和 ，然后通过 建立方程，解方程即可．
（4）根据轴对称﹣最短路线的求法即可求出．
【详解】解：（1） ， ， ，
它们满足的关系式为： ，
∴ ；
（2）如图2①，连接 ，作 于点E，
∵ ，
∴ ，
∴ （千米），
∴ （千米），
∴两个村庄相距41千米．
故答案为：41；
（3）如图2所示：
设 千米，则 千米，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，∴ ，
解得 ，
即 千米．
（4）如图3，
先作出点C关于 的对称点F，连接 ，过点F作 与E，即： 就是代数式
的最小值．
代数式 的几何意义是线段 上一点到点D，C的距离之和，
而它的最小值就是点C的对称点F和点D的连线段的长，连线段与线段 的交点就是它取最小值时的点，
从而构造出了以 为一条直角边， 和 的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是最小的值，
∴代数式 的最小值为： ．
【点睛】本题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称﹣最短路线问题以及线段的垂直平分线
等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形 是解本题的难点．
变式1-2．阅读并回答下列问题
【几何模型】
如图①， 、 是直线 同侧的两个定点，问题：在直线 上找一点 ，使 值最小．
方法：如图②，作 点关于 的对称点 ，连接 交 于 点，则 为所求作的点．【模型应用】
如图③，若 、 两点在直线 同侧，分别过点 、 作 ， ， 为线段 上一动点，
连接 、 ．已知 ， ， ，设 ．
（1）用含 的代数式表示 的长为______．
（2）①请问点 满足什么条件时， 的值最小，并求出最小值；
②根据①中的规律和结论，直接写出代数式 的最小值为______．
【答案】（1） ；（2）①当A、C、E三点共线时， 的值最小，
最小值为17；②15；
【分析】此题考查了勾股定理，构造直角三角形解决问题，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键：
（1）由于 和 都是直角三角形，故 可由勾股定理求得；
（2）①若点C不在 的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知， ，故当A、C、E
三点共线时， 的值最小；
②由①的结果利用勾股定理求得 的值．
【详解】解：（1）由勾股定理知 ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）①当A、C、E三点共线时， 的值最小，如下图，∴ ；
②根据①中规律可以构造出如图所示，
同理可得：
故答案为15；
【点睛】此题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，求形
如 的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．
类型二、平移图形解决最值问题
例2．如图，在 中， ， 点D、E分别是 上动点，且
， 连接 ， 则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、勾股定理等知识，作 ，使点F与
点 在直线 的异侧，且 ，连接 ，可证明 ，由 ，
，求得 ，由 ，且 ， ，得，则 的最小值为 ，于是得到问题的答案．
【详解】解：作 ，使点F与点 在直线 的异侧，且 ，连接 ，
∴ ，
∴
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，且 ， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
变式2-1．如图，在 中，点 ， 分别是边 、 上的两点，连接 ， ， ．若
， ，则 的最小值是 ．【答案】13
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、两点间线段最短和勾股定理．过点 作 ，并使得
，连接 ， ，构造 ，然后得到 ，进而得知 ，即可
得知 的长度即为 的最小值，也就是 的最小值，最后利用勾股定理求得 的值即可得
到答案．
【详解】解：过点 作 ，并使得 连接 ， ，则 ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 三点共线时， ，最小，
∵ ，
∴ ，
，
∴ 的最小值为13．
故答案为：13．
变式2-2如图，在 中， ， 点D、E分别是 上动点，且， 连接 ， 则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、勾股定理等知识，作 ，使点F与
点 在直线 的异侧，且 ，连接 ，可证明 ，由 ，
，求得 ，由 ，且 ， ，得
，则 的最小值为 ，于是得到问题的答案．
【详解】解：作 ，使点F与点 在直线 的异侧，且 ，连接 ，
∴ ，
∴
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，且 ， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
变式2-3如图，在 中，点 ， 分别是边 、 上的两点，连接 ， ， ．若
， ，则 的最小值是 ．
【答案】13
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、两点间线段最短和勾股定理．过点 作 ，并使得
，连接 ， ，构造 ，然后得到 ，进而得知 ，即可
得知 的长度即为 的最小值，也就是 的最小值，最后利用勾股定理求得 的值即可得
到答案．
【详解】解：过点 作 ，并使得 连接 ， ，则 ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 三点共线时， ，最小，
∵ ，
∴ ，
，
∴ 的最小值为13．
故答案为：13．
类型三、将军饮马最值问题
例3 如图，在 中， ， ， ， 平分 交 于点 ，点 ， 分
别是 ， 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对
称，解决最短问题．如图所示：在 上取点 ，使 ，过点C作 ，垂足为H．因为
，推出当C、E、 共线，且点 与H重合时， 的值最小．
【详解】解：如图所示：在 上取点 ，使 ，过点C作 ，垂足为H．在 中， ， ， ，
．
，
，
∵ ，
∴当C、E、 共线，且点 与H重合时， 的值最小，最小值为 的长，
的值最小为 ．
故选：C．
变式3-1 如图，已知正方形 边长为 ，点 在 边上，且 ，点 ， 分别是边 ， 上
的动点（均不与顶点重合），则四边形 的周长的最小值是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了轴对称 最短线段问题，勾股定理，作 关于 的对称点 ，点 关于 的对称
点 ，连接 ，分别交 于点 ，则 ， ，可得
四边形 的周长 ，由 及两点
之间线段最短，可知此时四边形 的周长最小，利用勾股定理求出 即可求解，正确作出辅助线是
解题的关键．
【详解】解：作 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，连接 ，分别交 于点
，则 ， ，∴四边形 的周长 ，
∵ ，
∴根据两点之间线段最短，可知此时四边形 的周长最小，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 的周长最小值为 ，
故答案为： ．
变式3-2 如图，在 中， ， ， ，点E为线段 上的动点，点D在 上，
且 ，连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】24
【分析】本题考查勾股定理，垂线段最短，等积法应用等．根据题意作 关于 的对称点 ，连接 ，
，利用对称性质得 ，再由垂线段最短可知当 在 上时， 有最小值为 ，再利
用等积法即可得到本题答案．
【详解】解：∵作 关于 的对称点 ，连接 ， ，，
由对称可知， ，
作 于 ，
由垂线段最短可知， ，
∴ ，
当 在 上时， 有最小值为 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为24，
故答案为：24．
变式3-3 如图， ，点 、 分别在边 、 上，且 ， ，点 、 分别在边
、 上，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．作点 关于 的对
称点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ，先根据轴对称的性质可得
， ， ，从而可得
， ，再根据两点之间线段最短可得当点 共线时，的值最小，最小值为 的长，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，作点 关于 的对称点 ，连接
，
由轴对称的性质得： ， ， ，
∴ ， ，
由两点之间线段最短可知，当点 共线时， 的值最小，最小值为
，
即 的最小值是 ，
故答案为： ．
变式3-4 如图，在 中， ， ， ，点 为射线 上的一个动点，在 的
左侧作 ，其中 ， ，连接 ，求 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定；过点 作 ，
连接 ，则 ，证明 得出 ， 即 到 的距离
为 ，作 关于 的对称点 ，连接 ， ，根据轴对称的性质得出 的最小值为 的
长，进而勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 ，连接 ，则∵
∴
∴
又∵
∴
∴ ，
∴ 在 上运动，
∴
∴ 到 的距离为
作 关于 的对称点 ，连接 ， ，
∴
∴ 的最小值为 的长，
∵ ，
∴
故答案为： ．
1．如图，等腰直角 中， 为 中点， 为 上一个动点，则
的最小值为（ ）A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题，作点 关于 的对称点 ，连接 ，
，依据轴对称的性质，即可得到 ， ， ，根据 ，
可得当 ， ， 在同一直线上时， 的最小值等于 的长，进行求解即可．
【详解】解：∵
∴ ，
如图所示，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ， ，
则 ， ， ，
∴ ，
是 的中点，
，
，
，
当 ， ， 在同一直线上时， 的最小值等于 的长，此时， 最小，
在 中，
的最小值为 ．
故选：D．
2．如图，在 中， ， ， ，射线 与边 交于点 ， 分别为 、的中点，设点 到射线 的距离分别为 ，则线段 的最小值为 ， 的最大值为
．
【答案】
【分析】本题考查与三角形中线有关的面积的计算，勾股定理的应用，垂线段最短，连接 ，根据
面积关系可以求得 ，得到 ，当 最小为 边上高时，即可求出
的最大值，熟练掌握等面积法的应用是解题的关键 ．
【详解】解：如图，连接 ， 过 作 垂线，垂足为 点，过 作 垂线，垂足为 点，即
， ，
则 ， ，
∵ 分别为 、 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，设 边上的高为 ，则 ，
∴ ，
当 最小时，即 ，此时 时， 的值最大，最大值为 ，
故答案为： ， ．
3．如图，在 中， ， ， ， 、 为 边的点， ，点
为 上一动点，连接 、 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查轴对称-最短问题，直角三角形，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作点 关于
的对称点 ，连接 ，在 上截取 ，使得 ，连接 ， ， 交 于点 ，
连接 ．则 ， 关于 对称， 的最小值是 线段的长，根据等边三角形的判定和性质，
则 是等边三角形，根据直角三角形中， 所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，进行解答，
即可．
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ，在 上截取 ，使得 ，连接
， ， 交 于点 ，连接 ．则 ， 关于 对称，
∴ ， ，此时 的最小值是 线段的长．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
4．如图，在 中， ， ，点 在 上， ， ，以 为一边作
，使 ， ．若 是 上一个动点，则线段 长的最小值为 ．
【答案】
【分析】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理，连接 ，作 于
点 ，可证明 ，得 ， ，则 ，求得
，由 ，得 ，由 ，求得线段 的最小值为 ，
正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接 ，作 于点 ，
， ， ，
， ，在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
线段 的最小值为 ，
故答案为： ．
5．如图，在 中， ， ， ，AD是 的平分线，若M，N分别是
和 上的动点，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了最短距离问题，勾股定理，全等三角形的判定及性质；在 上截取 ，过作 ，由 可判定 ，由全等三角形的性质得 ，当 时，
取得最小值，结合勾股定理，即可求解；找出取得最小值的条件是解题的关键．
【详解】解：如图，在 上截取 ，过 作 ，
平分 ，
，
在 和 中
，
，
，
，
当 时，取得最小值，
， ， ，
，
，，
解得： ；
故答案： ．
6．如图，在四边形 中， ， ， ， ，点E在线段 上运
动，点F在线段 上， ，则 °，线段 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了勾股定理、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
求出 ，由三角形内角和定理得到 ，取 的中点 ，连接 、 ，由
直角三角形斜边中线的性质得到 ，由勾股定理求出 ，由三角形三边关系定理得 ，即
可得到 的最小值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
取 的中点 ，连接 、 ，
∵ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
由三角形三边关系定理得到： ．
故答案为： ．
7．如图，在 中， ， ， ，动点P在 内，且使得 的面积为
12，点Q为 上的动点，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，轴对称的性质，垂线段最短，熟练掌握知识点，正
确添加辅助线是解题的关键．
过点P作 的垂线交 于点M，作点B关于 的对称点E，连接 ， ， ，过点E作
于点H，运用勾股定理求出 ，由 的面积为12即可求出 ，由对称得， ，
则 ，当点 三点共线，且点Q与点H重合时取得最小值，即为 ，
再对 运用等面积法即可求出 ．
【详解】解：过点P作 的垂线交 于点M，作点B关于 的对称点E，连接 ， ，
过点E作 于点H，∵
则 ，
∴ ，
由对称性得，
当点E，P，Q三点共线，且点Q与点H重合时取得最小值，即为 ，如下图．
的最小值为
故答案为： ．
8．如图，在等腰 中， ， ， 、 两点分别是边 、 上的动点，且
，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，若 ，则线段 长度的最
小值为 ．【答案】
【分析】在 上截取 ，连接 作点 关于 的对称点 ，连接 ， ，先明
得到 ， ，根据当 、 、 三点共线时， 的值
最小，最小值为 ，再证明 为等腰直角三角形，利用股定理求出 长，即可求出 长度的最小
值．
【详解】解：在 上截取 ，连接 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ，如图：
， ， ，
，
，
，
， ，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
点在射线 上运动，
点 与点 的关于 对称，
， ，
，
当 、 、 三点共线时， 的值最小，最小值为 ，
， ，
，
，
由对称性可知， ，
，
为等腰直角三角形，
线段 长度的最小值为
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定及性
质，利用轴对称求最短距离，作出恰当辅助线是解题的关键．
9．如图，在 中， ， ， ， 、 分别是 、 边上的动点，
连接 、 ，则 的最小值是 ．【答案】
【分析】过点 作 ，使 ，连接 、 ，根据平行线的性质求出 ，
，利用 证明 ，根据全等三角形的性质求出 ，则
，根据三角形三边关系求出 最小为 ，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过点 作 ，使 ，连接 、 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （ ），
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴当 、 、 在一条直线上时， 最小为 ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值是 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、勾股定理等知识，作出合理的辅助线构
建全等三角形是解题的关键．
10．如图，在 中， ，点D在 边上，连接 ，将 绕点C逆时针旋转 得到 ，
连接 ， ．
(1)求证： ≌ ；
(2)若 时，求 的长；
(3)点D在 上运动时，试探究 的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存
在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，9
【分析】（1）结合题目条件，根据 即可证明 ≌ ；
（2）根据第一问的三角形全等，得到 ，进而证明 , 在 中，根据勾股定理
可求出 的长， 在 中,进而求出 的长度；
（3）先证 ,当 值最小时，取最小值，此时 ,可求出 的长，从而求解．
【详解】（1）证明：由题意，可知 ， ， ．
∴ ．即 ．
在 和 中，
∴ ≌ ( )；
（2）解：∵在 中， ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ≌ ( ），
∴ ， ，
∴ ．
∴ ，
∴在 中， ；
（3）解：存在，理由：
由（2）可知， ，
∴当 最小时，有 的值最小，此时 ．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．即 的最小值为9．
【点睛】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性
质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11．已知，在 中， ， 是 上的一点，连接 ，在直线 右侧作等腰 ，
．
(1)如图1， ， ，连接 ，求证： ；
(2)如图2， ， ， ，取 边中点 ，连接 ．当 点从 点运动到 点过程
中，求线段 长度的最小值．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理．
根据垂直定义可知 ，所以可证 ，利用 可证 ，根
据全等三角形的性质可得 ，所以可得 ，从而可证结论成立；
由 可知 ， ，因为点 是 的中点，所以 ，根据垂线段
最短可知当 时 的长度最小，此时 是等腰直角三角形的 ，利用勾股定理求出
的长度即可．
【详解】（1）证明： ， ，
，
，
，
又 ，
，
在 和 中，，
，
，
，
；
（2）解：如下图所示，连接 ，
由 可知 ，
又 ，点 是 的中点，
，
在 中，当 时 的长度最小，
又 ，
，
在 中， ，
，
，
的最小值为 ．
12．【综合与实践】
【问题情景】
（1）如图1，点 为线段 上一动点．分别过点 ， 作 ，连接 ， ．已知
．设 ，用含 的代数式表示 的长；
【数学思考】（2）如图.2．在某河道 一侧有 ， 两家工厂，它们到河道的距离 ， 分别是 ． ，两工
厂之间的距离 是 ．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点 ，且使得抽水点 到
两家工厂的距离之和最短．求 的最小值；
【深入探究】
（3）请结合上述思路，求代数式 的最小值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）15
【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，列代数式，勾股定理，能够构造出符合代数式的几何图形是解题
的关键．
（1）根据图1，利用勾股定理即可用含x的代数式表示 的长；
（2）作点 关于河道 的对称点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作 于
点 ，连接 ，则易得四边形 ，四边形 和四边形 都是长方形，且
， ，可得 的最小值为 的长，再求解即可；
（3）构造类似图1的图形，结合（2）的思路，即可求出答案．
【详解】解：（1） ，
，
，
，
在 中， ，
由勾股定理，得 ，
在 中，
由勾股定理，得；
（2）如图1，作点 关于河道 的对称点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作
于点 ，连接 ，则易得四边形 ，四边形 和四边形 都是长方形，且
，
，
的最小值为 的长．
，
，
， ，
在 中，由勾股定理，得 ，
．
在 中，由勾股定理，得 ，
的最小值为 ．
（3）构造图形如图2所示，其中点 为线段 上一点，分别过点 作 ，连接
，
其中
．
连接 ．
，代数式 的最小值为 的长，
过点 作 ，交 的延长线于点 ，
易知 ，
，
在 中，由勾股定理，得 ，
代数式 的最小值为15．
