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专题 03 勾股定理中的折叠和旋转问题
题型一 勾股定理中的折叠问题
1．如图，矩形纸片 中， ， ，折叠纸片使 边与对角线 重合，折痕为 ，则
的长为
A．1 B． C． D．2
2．如图，矩形 中， ， ，将矩形沿 折叠，点 落在点 处，则重叠
部分 的面积为 ．
3．如图将矩形 沿直线 折叠，顶点 恰好落在 边上 处，已知 ， ，则
．
4．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边 ， ，将直角边 折叠使它落在斜边 上，
折痕为 ，则 ．5．如图，四边形 是边长为9的正方形纸片，将其沿 折叠，使点 落在 边上的 处，点
对应点为 ，且 ，则 的长是
A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5
6．如图，将边长为 的正方形 折叠，使点 落在 边的中点 处，点 落在 处，折痕为
，则线段 长是
A． B． C． D．
7．如图，将矩形 的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 ， ，
，则边 的长度等于
A． B． C． D．
8．已知，如图长方形 中， ， ，将此长方形折叠，使点 与点 重合，折痕为，则 的面积为
A． B． C． D．
9．如图， 的三边分别为 ， ， ，将 沿 折叠，使 落在 上．
（1）试判断 的形状，并说明理由；
（2）求折痕 的长．
10．如图，把矩形纸片 沿 折叠后，使得点 与点 重合，点 落在点 的位置上．
（1） 是等腰三角形吗？试说明理由；
（2）若 ， ，求 的长度．
11．如图，在长方形纸片 中， ， ，将它沿着对角线对折，使 折到 ，求：
（1）线段 的长度；（2）求点 到直线 的距离．
12．如图，将矩形 沿直线 折叠，顶点 恰好落在 边上 点处，已知 ， ，
求图中阴影部分的面积．
13．如图，将边长为 的正方形 折叠，使点 落在 边的中点 处，点 落在
处，折痕为 ．
（1）求线段 长．
（2）连接 ，并求 的长．
14．如图，折叠矩形 的一边 ，使点 落在 边上的点 处，已知 ，，
（1）求 长度；
（2）求 的长度．15．如图， ， ， ，将边 沿 翻折，使点 落在 上的点 处；再将边
沿 翻折，使点 落在 的延长线上的点 处，两条折痕与斜边 分别交于点 、 ，则线段
的长为
A． B． C． D．
16．如图，已知正方形 的边长为12， ，将正方形的边 沿 折叠到 ，延长 交
于 ，连接 ．现有如下3个结论：① ；② ；③五边形 的周长
是44，其中正确的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
17．如图的实线部分是由 经过两次折叠得到的．首先将 沿高 折叠，使点 落在斜边
上的点 处，再沿 折叠，使点 落在 的延长线上的点 处．若图中 ， ，
，则 的长为 ．18．如图所示， 为边长为1的正方形， 为 边的中点，沿 折叠使 点落在 上的 处，
连接 并延长交 于 点，则 的长为
A． B． C． D．
19．矩形 中， ， ，点 在线段 上．点 在线段 上
（1）沿 折叠，使 落在 边上的 处（如图），若 ，求 的长；求 的长；
（2）若按 折叠后，点 落在矩形 的 边上，请直接写出 的范围．
20．如图所示，在矩形 中， ， ，
（1）如图①， 、 分别为 、 边上的点，将矩形 沿 翻折，使点 与点 重合，设
，则 （用含 的代数式表示）， ，在 △ 中，利用勾股定理列方程，
可求得 ．
（2）如图②，将 沿 翻折至△ ，若 交 于点 ，求此时 的长；
（3）如图③， 为 边上的一点，将 沿 翻折至△ ， 、 分别交 边于 、 ，
且 ，请直接写出此时 的长．题型二 勾股定理中的旋转问题
21．（1）（操作发现）
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的三个顶点均在格点上．请按要求画图：
将 绕点 按顺时针方向旋转 ，点 的对应点为 ，点 的对应点为 ，连接 ，则
．
（2）（问题解决）
如图2，在等边三角形 内有一点 ，且 ， ， ，求 的度数和等边三角形
的边长；
（3）（灵活运用）
如图3，在正方形 内有一点 ，且 ， ， ，求 的度数．
22．定义：如图1，点 ， 把线段 分割成 ， 和 ，若以 ， ， 为边的三角形
是一个直角三角形，则称点 ， 是线段 的勾股分割点．
（1）已知点 ， 是线段 的勾股分割点，若 ， ，求 的长．
（2）如图 2，在等腰直角 中， ， ，点 ， 为边 上两点满足
，求证：点 ， 是线段 的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，
陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把 绕点 逆时针旋转
试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程．23．在 中， ， ， 为 上一点，连接 ，将 绕 点逆时针旋转
至 ，连接 ，过 作 交 于 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）求线段 、 、 之间的数量关系．
（3）若 ， ，求 ．
24．（1）问题：如图①，在 中， ， 为 边上一点（不与点 ， 重合），将线段
绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则线段 ， ， 之间满足的等量关系式为 ；
（2）探索：如图②，在 与 中， ， ，将 绕点 旋转，使点 落
在 边上，试探索线段 ， ， 之间满足的等量关系，并证明结论；
（3）应用：如图3，在四边形 中， ．若 ， ，求 的
长．
