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专题 03 勾股定理中的折叠和旋转问题
题型一 勾股定理中的折叠问题
1．如图，矩形纸片 中， ， ，折叠纸片使 边与对角线 重合，折痕为 ，则
的长为
A．1 B． C． D．2
【解答】解：由已知可得， △ ，
， ， ，
在 △ 中， 可得， ．
则 ．
故选： ．
2．如图，矩形 中， ， ，将矩形沿 折叠，点 落在点 处，则重叠
部分 的面积为 1 0 ．
【解答】解：易证 ，
，设 ，则 ，
在 中， ，
解之得： ，
，
．
故答案为：10．
3．如图将矩形 沿直线 折叠，顶点 恰好落在 边上 处，已知 ， ，则
6 ．
【解答】解：由折叠的性质知： ， ；
在 中， ， ，由勾股定理可得： ，
若设 ，则 ， ；
在 中，由勾股定理可得：
，解得 ，
故 ．
故答案为：6．
4．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边 ， ，将直角边 折叠使它落在斜边 上，
折痕为 ，则 3 ．
【解答】解：设点 落在 上的 点处，连接 ，如图所示，为直角三角形， ， ，
根据勾股定理得： ，
设 ，由折叠可知： ， ，
可得： ， ，
在 中，
根据勾股定理得： ，
解得： ，
则 ．
故答案为：3．
5．如图，四边形 是边长为9的正方形纸片，将其沿 折叠，使点 落在 边上的 处，点
对应点为 ，且 ，则 的长是
A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5
【解答】解：设 ，
连接 ， ，
在 中， ，
在 中， ，
，
，即 ，
解得 ，
即 ，
故选： ．
6．如图，将边长为 的正方形 折叠，使点 落在 边的中点 处，点 落在 处，折痕为
，则线段 长是
A． B． C． D．
【解答】解：设 ，则 ，由折叠的性质知 ，
而 ，在 中，由勾股定理可知 ，即 ，
整理得 ，所以 ．
故选： ．
7．如图，将矩形 的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 ， ，
，则边 的长度等于A． B． C． D．
【解答】解：如图所示：设 上两个点分别为 、 ，
点是 点对折过去的，
为直角， ，
， ，
同理 ，
，
，
点也是 点对折过去的，
，
，
， ，
，
，
，
．
故选： ．
8．已知，如图长方形 中， ， ，将此长方形折叠，使点 与点 重合，折痕为，则 的面积为
A． B． C． D．
【解答】解：将此长方形折叠，使点 与点 重合， ．
．
，
根据勾股定理可知 ．
解得 ．
的面积为 ．故选： ．
9．如图， 的三边分别为 ， ， ，将 沿 折叠，使 落在 上．
（1）试判断 的形状，并说明理由；
（2）求折痕 的长．
【解答】解：（1） 是直角三角形；（1分）
，（2分）
；
是直角三角形．（1分）
（2）设折叠后点 与 上的点 重合．
设 ，则 ， ， ， ；
，在 中， ，
解得： ，（3分）
．（3分）
10．如图，把矩形纸片 沿 折叠后，使得点 与点 重合，点 落在点 的位置上．
（1） 是等腰三角形吗？试说明理由；
（2）若 ， ，求 的长度．
【解答】解：（1）由翻折的性质得： ，
四边形 为矩形，
．
．
．
．
是等腰三角形；
（2）利用勾股定理可得 ，
由（1）可得 ，
所以 ．
11．如图，在长方形纸片 中， ， ，将它沿着对角线对折，使 折到 ，求：
（1）线段 的长度；
（2）求点 到直线 的距离．【解答】解：（1） ，
，
由折叠的性质可知， ，
，
，
在 中， ，即 ，
解得， ；
（2）设点 到直线 的距离为 ，
，
由三角形的面积可知， ，
则 ．
12．如图，将矩形 沿直线 折叠，顶点 恰好落在 边上 点处，已知 ， ，
求图中阴影部分的面积．
【解答】解：由折叠可知 和 关于 成轴对称，
故 ， ．
所以 ，
设 ，则 ．在 中，由勾股定理，得 ．
解得 ，故 ．
所以阴影部分的面积为： ．
13．如图，将边长为 的正方形 折叠，使点 落在 边的中点 处，点 落在
处，折痕为 ．
（1）求线段 长．
（2）连接 ，并求 的长．
【解答】解：（1）设 ，则 ．由翻折的性质可知： ．
在 中，由勾股定理可知： ， ，
解得： ，即 ．
（2）如图所示，连接 ．
在 三角形 中， ．由翻折的性质可知 ．
14．如图，折叠矩形 的一边 ，使点 落在 边上的点 处，已知 ，
，
（1）求 长度；
（2）求 的长度．
【解答】解：（1）设 ， ，
在 中， ，
（2） ．
在 中， ，即 ，
解得 ．
故 的长为 ．
15．如图， ， ， ，将边 沿 翻折，使点 落在 上的点 处；再将边
沿 翻折，使点 落在 的延长线上的点 处，两条折痕与斜边 分别交于点 、 ，则线段
的长为A． B． C． D．
【解答】解： 中， ， ， ，
由勾股定理可得 ，
将边 沿 翻折，使点 落在 上的点 处，
， ，
，
，
，
在 中， ，
将边 沿 翻折，使点 落在 的延长线上的点 处，
， ，
，
，
又 ，
，
，
，
，
故选： ．
16．如图，已知正方形 的边长为12， ，将正方形的边 沿 折叠到 ，延长 交
于 ，连接 ．现有如下3个结论：① ；② ；③五边形 的周长是44，其中正确的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：由折叠可知：
， ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，故①正确；
，
，
由折叠可得， ，
，故②正确；
正方形边长是12，
，
设 ，则 ， ，
由勾股定理得： ，
即： ，
解得： ，
， ， ，五边形 的周长是： ，故③正确．
故选： ．
17．如图的实线部分是由 经过两次折叠得到的．首先将 沿高 折叠，使点 落在斜边
上的点 处，再沿 折叠，使点 落在 的延长线上的点 处．若图中 ， ，
，则 的长为 ．
【解答】解： ， ， ，
，
，
，
，
在 中， ，
由折叠得， ， ， ， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为： ．18．如图所示， 为边长为1的正方形， 为 边的中点，沿 折叠使 点落在 上的 处，
连接 并延长交 于 点，则 的长为
A． B． C． D．
【解答】解：连接 ．
四边形 是正方形，
， ，
，
，
由翻折不变性可知： ，，
， ， ，
，
，设 ，则 ，
在 中， ，
，
，
故选： ．
19．矩形 中， ， ，点 在线段 上．点 在线段 上
（1）沿 折叠，使 落在 边上的 处（如图），若 ，求 的长；求 的长；
（2）若按 折叠后，点 落在矩形 的 边上，请直接写出 的范围．
【解答】解：（1）设 ，则 ，
在 中，
解得 ，所以
过 作 于 ，设 ，
则 ．在 中，
，解得 ，
（2）若沿 翻折后，点 落在矩形 的 边上，观察图像可知 的最大值为6，
与 重合时，最小， ，综上所述： ．
20．如图所示，在矩形 中， ， ，
（1）如图①， 、 分别为 、 边上的点，将矩形 沿 翻折，使点 与点 重合，设
，则 （用含 的代数式表示）， ，在 △ 中，利用勾股定理列
方程，可求得 ．
（2）如图②，将 沿 翻折至△ ，若 交 于点 ，求此时 的长；
（3）如图③， 为 边上的一点，将 沿 翻折至△ ， 、 分别交 边于 、 ，
且 ，请直接写出此时 的长．
【解答】解：（1）如图①中，连接 ．
根据对称性可知 ，设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得 ，
， ，
故答案为 ， ．（2）如图②中，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，设 ，
在 中， ，
解得 ，
．
（3）设 ．
， ， ，
△ ，
， ，
，
， ， ，
在 中， ，
解得 ，
．题型二 勾股定理中的旋转问题
21．（1）（操作发现）
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的三个顶点均在格点上．请按要求画图：
将 绕点 按顺时针方向旋转 ，点 的对应点为 ，点 的对应点为 ，连接 ，则
．
（2）（问题解决）
如图2，在等边三角形 内有一点 ，且 ， ， ，求 的度数和等边三角形
的边长；
（3）（灵活运用）
如图3，在正方形 内有一点 ，且 ， ， ，求 的度数．
【解答】解：（1）如图1所示，连接 ，将 绕点 按顺时针方向旋转 ，
， ，
，
故答案为： ；
（2） 是等边三角形，
，
将 绕点 顺时针旋转 得出 ，如图2，
， ， ， ，
，
，
是等边三角形，， ，
， ，
，
，则△ 是 直角三角形；
；
过点 作 ，交 的延长线于点 ，
， ，
由勾股定理得： ，
，
由勾股定理得： ．
（3）如图3，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，
与（1）类似：可得： ， ， ， ，
，
，
由勾股定理得： ，
， ， ，
，
，
；22．定义：如图1，点 ， 把线段 分割成 ， 和 ，若以 ， ， 为边的三角形
是一个直角三角形，则称点 ， 是线段 的勾股分割点．
（1）已知点 ， 是线段 的勾股分割点，若 ， ，求 的长．
（2）如图 2，在等腰直角 中， ， ，点 ， 为边 上两点满足
，求证：点 ， 是线段 的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，
陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把 绕点 逆时针旋转
试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程．
【解答】（1）解：当 最长时， ；
当 最长时， ，综合以上可得 的长为 或 ；
（2）证明：如图，把 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，
△ ，
， ， ，
，
，
，
△ ，
，
， ，
，
，
，
在 △ 中， ，
，
点 ， 是线段 的勾股分割点．
23．在 中， ， ， 为 上一点，连接 ，将 绕 点逆时针旋转
至 ，连接 ，过 作 交 于 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）求线段 、 、 之间的数量关系．
（3）若 ， ，求 ．【解答】（1）证明：将 绕 点逆时针旋转 至 ，可得 是等腰直角三角形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解： ；
理由：如图，连接 ，
， 是等腰直角三角形，
是 的垂直平分线，
，
又 ， ，
，
，
在 中， ，
；
（3）解： ， 是等腰直角三角形，，
， ，
，
，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
解得 ，
．
24．（1）问题：如图①，在 中， ， 为 边上一点（不与点 ， 重合），将线段
绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则线段 ， ， 之间满足的等量关系式为
；
（2）探索：如图②，在 与 中， ， ，将 绕点 旋转，使点 落
在 边上，试探索线段 ， ， 之间满足的等量关系，并证明结论；
（3）应用：如图3，在四边形 中， ．若 ， ，求 的
长．
【解答】解：（1） ，
理由如下： ，
，即 ，在 和 中，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2） ，
理由如下：如图②，连接 ，
，
，即 ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
在 中， ，
又 ，；
（3）如图③，作 ，使 ，连接 ， ，
，
，
在 与 中，
，
，
，
， ，
，
，
， ，
．
25．【问题提出】如图1，在等边三角形 内部有一点 ， ， ， ．求 的度
数．
【数学思考】当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．
【尝试解决】（1）将 绕点 逆时针旋转 ，得到△ ，连接 ，则 为等边三角形．， ， ，
，
为 直角 三角形，
的度数为 ．
【类比探究】（2）如图2，在等边三角形 外部有一点 ，若 ，求证： ．
【联想拓展】（3）如图3，在 中， ， ．点 在直线 上方且 ，
，求 的长．
【解答】（1）解：如图1，将 绕点 逆时针旋转 ，得到△ ，连接 ，则 为等边三
角形．
， ， ，
．
为直角三角形．
的度数为 ．
故答案为：直角； ．
（2）证明：如图2中，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ．， ，
是等边三角形，
， ，
由旋转的性质可知： ，
， ，
，
，
