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第02讲 常用逻辑用语
【知识点总结】
一、充分条件、必要条件、充要条件
1．定义
如果命题“若 ，则 ”为真(记作 )，则 是 的充分条件；同时 是 的必要条件.
2．从逻辑推理关系上看
（1）若 且 ，则 是 的充分不必要条件；
（2）若 且 ，则 是 的必要不充分条件；
（3）若 且 ，则 是 的的充要条件(也说 和 等价)；
（4）若 且 ，则 不是 的充分条件，也不是 的必要条件.
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质： ，则 是 的充分条件，同时 是
的必要条件.所谓“充分”是指只要 成立， 就成立；所谓“必要”是指要使得 成立，必须要 成立
(即如果 不成立，则 肯定不成立).
注：根据互为逆否命题等价.若有 ，则一定有 .
3．从集合与集合之间的关系上看
设 .
（1）若 ，则 是 的充分条件( )， 是 的必要条件；若 ，则 是 的充分不必要
条件， 是 的必要不充分条件，即 且 ；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小 大”.
（2）若 ，则 是 的必要条件， 是 的充分条件；
（3）若 ，则 与 互为充要条件.
二、全称量词与存在童词
（1）全称量词与全称命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”
表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题“对 中的任意一个 ，有 成立”可用符号简记为
“ ”，读作“对任意 属于 ，有 成立”.
（2）存在量词与特称命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“
”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.特称命题“存在 中的一个 ，使 成立”可用符号简
记为“ ”，读作“存在 中元素 ，使 成立”（特称命题也叫存在性命题）.
三、含有一个量词的命题的否定（1）全称命题的否定是特称命题.全称命题 的否定 为 ， .
（2）特称命题的否定是全称命题.特称命题 的否定 为 .
注：全称、特称命题的否定是高考常见考点之一.
区别否命题与命题的否定:
①只有“若 ，则 ”形式的命题才有否命题，而所有的命班都有否定形式(在高中阶段只对全称、特称命
题研究否定定形式)；命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ，而否定形式为“若 ，则 ”.
②一个命题与其否定必有一个为真，一个为假；而一个命题与其否命题的真假无必然联系.
【典型例题】
例1．（2021·江苏省前黄高级中学高三阶段练习）设集合 、 是全集 的两个子集，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】
如图所示， ，
同时 .
故选:C.
【点睛】
本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题.
例2．（2022·全国·高三专题练习（文））若关于x的不等式 成立的充分条件是 ，则实数
a的取值范围是（ ）
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
【答案】D
【详解】
成立的充分条件是 ，则 ，
，所以 .
故选：D例3．（2022·全国·高三专题练习）设 ，集合 是奇数集，集合 是偶数集，若命题
，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
根据全称命题与存在性命题的关系，可得全称命题的否定一定是存在性命题，
可得命题“ ”的否定为：“ ”
故选：C.
（多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有（ ）
A． ，
B．所有的正方形都是矩形
C． ，
D．至少有一个实数 ，使
【答案】AC
【详解】
对于A，原命题的否定为： ， ，是全称命题；
， 命题的否定为真命题，A正确；
对于B，原命题为全称命题，其否定为特称命题，B错误；
对于C，原命题的否定为： ， ；
， 恒成立，
则命题的否定为真命题，C正确；
对于D，原命题的否定为：对于任意实数 ，都有 ；
当 时， ， 命题的否定为假命题，D错误.
故选：AC.例5．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，若p是q的充分不必要条件，则实
数m的取值范围是_________．
【答案】【详解】
∵由 ，得 ，
由 是 的充分不必要条件知： 有解，故 ，
即原不等式可化为： ，
解得： ，
设 ， ，
是 的充分不必要条件，
是B的真子集,
则 且等号不同时成立，解得： ，
故 的取值范围是 ．
故答案为： .
例6．（2022·全国·高三专题练习）若 恒成立，则实数 的取值范围为________.
【答案】 .
【详解】
由题意，命题 恒成立，
可得 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【技能提升训练】
一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知 上函数 ，则“ ”是“函数 为奇函数”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【分析】
考虑两者之间的推出关系后可得正确的选项.
【详解】
取 ，则 ，但 ，
所以函数 不是奇函数；
故“ ”推不出“函数 为奇函数”，
若函数 为奇函数，则 即 ，
故“函数 为奇函数”能推出“ ”.
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）设集合M＝{x|x＞2}，P＝{x|x＜6}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
“x∈M或x∈P”即x∈M∪P，再利用x∈M∩P与x∈M∪P之间的关系即可判断出结论．
【详解】
“x∈M或x∈P”即x∈M∪P，M∪P＝{x|x＞2}∪{x|x＜6}＝R，M∩P＝{x|2＜x＜6}．
∴x∈M∩P x∈M∪P，反之不成立．
∴“x∈M或⇒x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．
故选：C．
3．（2022·浙江·高三学业考试）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
由 是否得出 ，判定充分性；由 是否推出 ，判定必要性是否成立．
【详解】∵ 等价于 ，当 或 时， 不成立；
∴充分性不成立；
又∵ 等价于 ，有 ；
∴必要性成立；
∴“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知命题 ： ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】
根据特称命题的否定变量词否结论即可得正确答案.
【详解】
命题 ： ， ，则 为 ， ，
故选：C.
5．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中，真命题的是（ ）
A．函数 的周期是 B．
C．函数 是奇函数. D． 的充要条件是
【答案】C
【分析】
选项A，由 可判断；
选项B，代入 ，可判断；
选项C，结合定义域和 ，可判断；选项D，由 得 且 ，可判断
【详解】
由于 ，所以函数 的周期不是 ，故选项A是假命题；当 时 ，故选项B是假命题；
函数 的定义域 关于原点对称，且满足 ，故函数 是奇函数，即选项
C是真命题；
由 得 且 ，所以“ ”的必要不充分条件是“ ”，故选项D是假命题
故选：C
6．（2022·浙江·高三专题练习）给出下面四个命题：
①函数 在(3，5)内存在零点；
②函数 的最小值是2；
③若 则 ；
④命题的“ ”否定是“ ”
其中真命题个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
对选项进行判断得解
【详解】
①函数 在(3，5)内存在零点；
，所以①正确
②函数 的最小值是2；
当且仅当 时等号成立，此时无解
所以②不正确③若 则 ；
由不等式性质知③不正确
④命题的“ ”否定是“ ”故④不正确
故选：A
7．（2022·全国·高三专题练习（文））已知命题 ： ， ，若 是假命题，则实数 的
取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题设条件由 的最小值大于0即可得解.
【详解】
依题意， ，当且仅当x=-a时取“=”，
因命题 是假命题，即没有实数使得 成立，从而有 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：C
8．（2022·全国·高三专题练习（理））下列命题中，真命题是（ ）
A．在 中“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
C．对任意 ，
D．“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”
【答案】C
【分析】
利用正弦定理、命题的否定和否命题的关系、基本不等式分别对选项A、B和D、C进行判断即可求解．
【详解】
解：对于 ：在 中，当“ ”时，则 ，所以由正弦定理有“ ”，
当“ ”时，由正弦定理得 ，故 ，所以“ ”是“ ”的充
分必要条件，故 错误；
对于 ：命题“ ， ”的否定是“ ， ”故 错误；
对于 ：对任意的 ， （当且仅当 时等号成立），故 正确；
对于 ：“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”，故 错误；
故选：C．9．（2022·全国·高三专题练习）已知命题 ， ，命题 ， ，则（ ）
A． 是假命题 B． 是真命题C． 是真命题 D． 是假命题
【答案】C
【分析】
判断出命题 与 的真假，再结合真值表可得答案.
【详解】
因为 ，所以命题 为真命题，
因为当 时， ，所以命题 为假命题，所以 为真命题，
所以 是真命题.
故选：C
10．（2022·全国·高三专题练习）下列叙述中正确的是（ ）
A．命题“∃x
0
∈R，2021x
0
2-2x
0
+1≤0”的否定是“∃x
0
∈R，2021x
0
2-2x+1>0”
B．“a2=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0垂直”的充分而不必要条件
C．命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0且n≠0”
D．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假
【答案】D
【分析】
对各个选项中的命题逐一分析判断即可得解.
【详解】
对于A选项：命题“∃x
0
∈R，2021x
0
2-2x
0
+1≤0”的否定是“∀x∈R，2021x2-2x+1>0，A错误；
对于B选项：若直线x+y=0和直线x-ay=0垂直，则1·1-a=0得a=1，而a2=1是a=1或a=-1，
即“a2=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0垂直”的必要不充分条件，B错误；
对于C选项：命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”，C错误；
对于D选项：若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为
假命题，于是p，q一真一假，D正确.
故选：D
11．（2022·全国·高三专题练习）已知命题 ﹔命题 ﹐ ，则下列命题中为真
命题的是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】
由正弦函数的有界性确定命题 的真假性，由指数函数的知识确定命题 的真假性，由此确定正确选项.
【详解】
由于 ，所以命题 为真命题；
由于 在 上为增函数， ，所以 ，所以命题 为真命题；
所以 为真命题， 、 、 为假命题.
故选：A．
12．（2022·全国·高三专题练习（理））命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是（ ）
A．所有奇函数的图象都不关于原点对称 B．所有非奇函数的图象都关于原点对称
C．存在一个奇函数的图象不关于原点对称 D．存在一个奇函数的图象关于原点对称
【答案】C
【分析】
根据全称命题的否定形式否定即可.
【详解】
全称命题“所有奇函数的图象关于原点对称”的否定是特称命题，
所以命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是“存在一个奇函数的图象不关于原点对称”.
故选:C
二、多选题
13．（2022·全国·高三专题练习）“关于x的不等式 对 恒成立”的一个必要不充分条
件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
由关于x的不等式 对 恒成立，可求得 ，再由真子集关系，即可得到答案；
【详解】由题意得： ，所选的正确选项是 的必要不充分条件，
是正确选项应的一个真子集，
故选：BD
14．（2022·全国·高三专题练习）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，
则实数 可以是（ ）
A．-8 B．-5 C．1 D．4
【答案】ACD
【分析】
先解两个不等式，得到 是 的真子集，解不等式 或 ，即得解.
【详解】
，解得 ，
即 ，解得 或 ，
由题意知 是 的真子集，
所以 或 ，
所以 或 ，
即 .
故选：ACD
15．（2022·全国·高三专题练习（文））下列选项中，正确的是（ ）
A．命题“ ”的否定是“ ”
B．函数 （ 且 ）的图象恒过定点
C．“ ”是“ ”的充分不必要条件
D．若不等式 的解集为 ，则
【答案】AD
【分析】
根据全称命题的否定为特称命题判断选项A，根据指数函数的性质判断选项B，求解一元二次不等式的解集，利用充分必要条件判断选项C，根据三个二次之间的关系以及韦达定理求解 ，即可判断选项D.
【详解】
由全称命题的否定为特称命题，所以“ ”的否定是“ ”，故A正
确；令，得 ，所以 ，所以函数所过的定点是 ，故B错误；不等式
的解集为 ，所以“ ”不能推出“ 或 ”，反之也不能，所以“
”是“ ”的既不充分也不必要条件，故C错误；由不等式的解集可得 ，得
，所以 ，故D正确.
故选：AD.
16．（2022·全国·高三专题练习）命题“ ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
求出给定命题为真命题的a的取值集合，再确定A，B，C，D各选项所对集合哪些真包含于这个集合而得
解.
【详解】
命题“ "等价于 ，即命题“ ”为真命题所对集合为 ，
所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合真包含于 ，显然只有 ，{4}
,
所以选项AC不符合要求，选项BD正确.
故选：BD
17．（2022·全国·高三专题练习）下列说法中正确的个数是（ ）
A．命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
B．命题“ ”是全称量词命题；C．命题“ ， ”是存在量词命题．
D．命题“不论 取何实数，方程 必有实数根”是真命题；
【答案】BC
【分析】
根据存在量词命题和全称量词命题的定义判断ABC，根据判别式判断D.
【详解】A中命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题,故A错误；
B中命题“ ”是全称量词命题,故B正确；
C中命题“ , ”是存在量词命题,故C正确；
D中选项中当 时，即当 时，方程 没有实数根,因此，此命题为假命题.
故选：BC
三、填空题
18．（2022·江苏·高三专题练习）下列说法错误的是_________________
①若 ，则
②若 ，则 或
③“ 是 ”的充分不必要条件
④“ ， ”的否定形式是“ ， ”
【答案】①③④
【分析】
①当 均为正数时结论是错误的；
② 出 不同时为0，故正确；
③只有 ， 时， 才可推出， ，故是错误的；
④命题的否定只否定结论，故错误.
【详解】
对于选项①：若 ， ，则 ，故①错误；
对于选项②：若 且 ，则 ，所以：若 ，则 或 ，故②正确；
对于选项③：当 ， 时，若 ，则 ，题中没有说明 的范围，所以是不充分，当
时， 不一定成立，如： ， 为 ，不成立，故“是 ”的即不充分也不必要条件，故③错误；
对于选项④：“ ， ”的否定形式是“ ， ”，故④错误.
故答案为:①③④
19．（2022·全国·高三专题练习）若命题“∃x
0
∈R，x
0
2+x
0
+m＜0”是假命题，则实数m的范围是___________．
【答案】[ ，+∞）
【分析】
命题的否定为：“∀x∈R，x2+x+m≥0“，原命题为假，则其否定为真，由 ＝1﹣4m≤0，可求出实数m的范
围．
【详解】
解：命题“∃x
0
∈R，x
0
2+x
0
+m＜0”是假命题，即命题的否定为真命题，
其否定为：“∀x∈R，x2+x+m≥0“，
则 ＝1﹣4m≤0，
解得：m≥ ，
故实数m的范围是：[ ，+∞）．
故答案为：[ ，+∞）
20．（2022·全国·高三专题练习）若命题“ ， ”为真命题，则实数m的取值范围为
________.
【答案】
【分析】
由题意可得不等式 有解，然后通过判别式即可求出实数m的取值范围.
【详解】
由题意可知，不等式 有解， ，即 ，
∴实数m的取值范围为 ，
故答案为： .
21．（2022·全国·高三专题练习（文））根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为
_______________.
13+23＝（1+2）2，
13+23+33＝（1+2+3）2，13+23+33+43＝（1+2+3+4）2，
13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2，
……【答案】∀n∈N*，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2
【分析】
观察到从1开始加，连续的几个数的三次方相加，就得其和的三次方，总结一下就是：任意从1开始的连
续n个整数的三次方和等于其和的三次方.
【详解】
解：根据已知条件的规律可得：∀n∈N*，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2.
故答案为：∀n∈N*，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2
22．（2022·全国·高三专题练习）若命题 ， 是假命题，则实数 的一个值为
_____________．
【答案】 （ 上任一数均可）
【分析】
由命题 的否定是真命题易得 的范围．
【详解】
由题意 是真命题，
所以 ，解得 ．
故答案为： （ 上任一数均可）．
23．（2022·全国·高三专题练习（文））命题“ ”为真，则实数a的范围是
__________
【答案】
【分析】
将问题转化为“不等式 对 恒成立”，由此对 进行分类讨论求解出 的取值范围.
【详解】
由题意知：不等式 对 恒成立，
当 时，可得 ，恒成立满足；
当 时，若不等式恒成立则需 ，解得 ，所以 的取值范围是 ，
故答案为： .
【点睛】思路点睛：形如 的不等式恒成立问题的分析思路：
（1）先分析 的情况；
（2）再分析 ，并结合 与 的关系求解出参数范围；
（3）综合（1）（2）求解出最终结果.
24．（2022·全国·高三专题练习）写出命题 的否定： ___________
【答案】
【分析】
根据命题的否定的定义求解．
【详解】
命题 的否定是： ．
故答案为： ．
