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1998年数学（三）真题解析
一、填空题
(1) 【答案】e-1.
【解】yf L = i =兀9曲线；y = jcn在点(1,1)处的切线为y — 1 = z? (Jr — 1).
令歹=0得化=1----,
77
则 lim爲=lim (1----) = lim「(1----) ~| = e_1.
"->8 ”foo \ Ti / n-*oo L' 7?)
(2) 【答案】一肛+ C.
X
【解】J 山：「1山=-pin 乂 - l)d(y) = — h ；_ 1 + J = _牛
(3) 【答案】yt = C(— 5)，+ — ^----) “°为任意常数).
5
【解】 将 2—+1 + 10y — 5/ = 0 化为卩+1 + 5y = —t,
y+i + 5yt = 0 的通解为 yt = C(— 5)';
X+i + 5y = —t的特解为y * = at + b ,代入得=辽』=一元，
故2%+i +10% —5t = 0的通解为兀=C(—5)' +脣(t —+)(C为任意常数).
$ 0 0
（4）【答案】 —4 0
'o
0 2
【解】 □ 1 = —2,
由 A' BA = 2BA - 8E .得 A A BA = 2ABA -84,即一2BA = 2ABA 一 8A
整理得 BA = — ABA + 4A,
因为A可逆，所以由BA =—ABA + 4A ,得 B = - AB + 4E,
解得 (E +A)B ==4E,
/2 0 °\
故 B = 4(E + A)-1 = 0 —4 0 •
'o 0 2'
⑸【答案】肃2.
【解】 因为X] ,X2,X3,X4服从正态分布N(0,22)且相互独立，
所以 Xi — 2X?〜N(0,20), 3X3 - 4X4 〜N(0,100),
从而
X] —「 2X 2
〜N(0,l), —
3X3
^ ―
— 4
-一
X4
〜N(0,l)且相互独立，
720 10
于是^-(X1 -2X2)2 +-^-(3X3-4X4)2 〜X2(2),二、选择题
(1) 【答案】(D).
【解】由山⑴丁一)= ”—⑴ =>(1) = — 1得八1) = —2,
■rf0 Lh L 0 — X L
再由 /(5) = /(l)得 /(5) = —2,应选(D).
(2) 【答案】(B).
【解】 当|z|Vl时，/'(広)=1+広；
当 | j? | > 1 时，/(z) = 0,
'1 + x , | JC | < 1»
0, | 乂 | > 1,
再由 /(— 1 ) = 0 ,/( 1) = 1 得 /(■!)= 5
0, 工=—1,
、1 , X = 1.
由/(I -0) = 2 /(1 + 0) = 0得工=1为间断点，应选(B).
(3) 【答案】(C).
【解】 由 AB = O 得 r(A) +r(B) < 3,
因为BHO,所以从而r(A) < 3,于是| A | = 0,
A 1 A2
由 1 A 1 =0 得 A = 1,
1 1 A
由 A HO得 r(A) 1,从而 r(B) < 2 < 3,于是 | B | = 0,应选(C).
(4) 【答案】(B).
【解】|A | = [G — l)a + l](l — a)"T,
由 r (A ) ) = 1,
从而a — 6 = 19 应选(A).
三、【解】 = 2x e —arctan J y_ 一 (2 + j/2 )e _—arctan — ] (-pV- J\ = (2«z +y)e — arctan — J
2
1 +也
x2
—arctan — - _ —arctan — ] —arctan —
Y = 2ye: ’ 一(乂2 + /用 工 —=(2jy — x)e
dy X
1 + L
—arctan 2.
则dz = e J E(2jc +))(1z + C2y — ]・
d2z —arctan — —arctan — 1 1 夕2 _ _arctanZ
3工3y
e J — (2j? + j/ ) e
l +「 F
-----
工
--
2
- -
十
----
》
--
2
- ----e
丄I X2
x = rcos 9 ,
四、【解】方法一 令 ---W&W 牙，0£ 厂 W cos 0 )，则
y = rsin d
'cos 0 A y 8
jj djr dy = r 2 J cos 0 dr cos30d0 = 77・
D _7 ' o o 15方法二 D {(%,』)I OWzWl,— J 工 _ x1 W y W \/ x — x2 },则
jj Vx~dj' dy = J -J~jc dr
dy = 2 x v 1 — x dj;
0
D
— X = t 2「（1 —八）.（_2八）曲=4『（t 1_1 8
t2 — z4 )dr = 4 3 5 =15
五、【解】 以连续复利计息，这批酒窖藏t年末售出的总收入R的现值为
2_
A (z) =Re~rt = R° e5
晋 R尸 i得'=汾
厂
因为当OV Y右时普＞0；当t＞右时普＜0,
所以当£ = /时，总收入的现值最大,
当厂=0. 06时昇=〜11 （年）.
六、【证明】 令h(jc) = e ) = ex # 0(a < x < 6),由柯西中值定理，存在rj (a,b),使得
g— g _ 厂5)nn/(6)-/(a) _ 厂5)
h(b) — h(a) F (r/) 9 eh — ea e7 '
f(b) — fS = J _e“ . F®
从而
b — a b — a e7 ，
心）一/（a）
再由拉格朗日中值定理，存在W G （a,&）,使得f，® =
b — a
即八_ 1 •牛'故供=戸
e_,
b — a e7 J v 7) b — a
f 2 . 1
\y = nx -|-----,
______ • 兀 …c2 _ 1 1
七、【解】（1）由 得工
n 丿x (z? + 1)
y = Cn + 1)j?2 d-----
7?十1
由对称性得
S” = 2 2 + 丄 一(” + 1) "2 ~^___+£_ dz = 2
n
4___________1
3 7? (n + 1) VnCn + 1)
⑵
ng
丄
S' = —------1-----------1- ... -I--------1____ = 1-----------
部分和
” 1X22X3 ndn + 1) n + V
因为怏s： = 1，所以g ff-yS ^TFI)=专
:J f2 (工)dz ,
八、【解】V（t） = 7T
由题意得-y-Ez2/(^ ) —/(!)]=兀]f2(J； )djf , Bp t2 f(.t) — /(l) = 3J f2)d;r ,
两边对t求导得
2tf(t)+ t2f(t)= 3/2(n,从而y = )所满足的微分方程为2jcy + x2yf = 3y2.
由 2xy x2 yf = 3y2 yf = —2 — + 3(—) ,
x \工)
令况三乂，代入得u jc 学=—2u + 3u2，整理得yd"、 • = 3—,
x djr ulu 一 1) oc
积分得 In ------ = In jt3 + Ci，解得----=C2J?3 ,通解为 y — jc = C2t3y ,
u u
将初始条件代入得C2 = — 1,所求的解为y — x = —x3y.
九、【解】(1)由a fi = 0得a l_p.
则 A2 = afi1 ・ apr = a(fila )/T = O.
(2)令AX =入X(X为非零向量)，
由 A2X = X2X =()得入i =& =…=入"=0.
不妨设ax HO,山HO?矩阵A的属于特征值入1=入2 =八・=入”=0的特征向量即为方程组(OE — A)X = 0
的非零解,
b„、
1 r
b\
由 0 JE — A — 0 0 O 得入=0对应的线性无关的特征向量为
10 0 0 .
故属于入=0的全部特征向量为I +紅a 2 +…+觴一1。”一1(紅，怡2，・・・，紅-1不全为零).
A - 1 0 -1
十、【解】由\ XE — A \ = 0 A — 2 0 =A (A — 2严，得矩阵A的特征值为入1 = 0,入2 =入3 = 2,
_ 1 0 A -1
/° 0 °\
则存在正交矩阵Q,使得 QrAQ =0 2 0 '
'o
0 2'
lk 0 0
从而 QTCkE+A)Q = 0 k+2 0
'0
0 k+2
于是 QVBQ = QTCkE +A)2Q = QTCkE+A)Q ・ QTCkE+A)Q
/k2 0 0 \
=0 4+2)2 0 ,
0 0 以+2严
F
0 0
得 A = 0 (k +2严 0
' 0
0 (:k +2严
因为矩阵A的特征值为A ! = 0,入2 =入3 = 2,
所以= (kE + A )2的特征值为入i =疋，入2 =入3 = 4+ 2)2.
显然〃为实对称矩阵，故〃为正定矩阵的充分必要条件是H〉0,以+2严〉0,即怡HOM工一2・十一、【解】设获利为Z,根据题意得
(1 OOOY, YWX,
z = |
11 000X + 500(Y-X), Y> X,
因为X,Y相互独立且都服从［10,20］上的均匀分布，所以X,Y的联合概率密度为
1
10 W 工 w 20,10 < 3/ < 20,
Too
/(D)=
0, 其他，
令 D] = {(无，，)| 10 = 2£20,10冬夕£无},£)2 = {(工，歹)丨 10W«zW20,«zW3/W20},
E⑵=訓
则 000ydzdy +而』j 500(j: y)dx dy
D1 D,
「20 *20 f20
10 pdz | ydy + 5 djr (工 + y)dy
10 10
f20 f20「 400 — 7721
= 5 (j?2 — 100)dr + 5 Lr (20 —工)----- ---- Ajc
J 10 J 10 L 2 」
=14 166. 67(元).
十二、【解】(1)令4 = {取第I个地区}(0 = 1,2,3),
B, = {第i次取到女生报名表}(: = 1,2),
显然 P(AJ = P(A2) = P(A3)= *，
3 7 5
P(Bi I A】)=—, PCB} | A2) = —, P(B】I A3)
25
P = P(5)= £p(A，)P® 丨 A,) = +任 + 召+ 丹 29
则
90*
卩(时2)
(2)g = P (B{ | B2)
P(B?)
/ M ---- Q I
由 P(B2)= P(BQ = — J# P(B2) = 1-P(B2)=—,
3 7 7
由 P(B^ 1 A1)= ToxT = bo5
,A 、 7 8 8
P(B瓦
,4 x 5 20 1 5 5
P(d瓦 1 A" _ 25 % 24 _ 5 % 6 _ 30’
得P(B|瓦')=P(AQP(Bi勇 | A,) + P(A2)P(B,B7 1 A2) + P(A3)P(B1B? | A3)
1 / 7 8 5 \ 2
= T^30 + 30 + 30^ = T，
2 9”0” 20
故g = TX?T
61 61-
