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2010年数学（一）真题解析
一、选择题
(1)【答案】(C)・
)(工+
(■r—a 6) z[(a—b)j~+a6]
X 2 (a —b)工 + ab (a—6)x+a6 \ (x—a) (x+6)
【解】lim lim
工f 8 (re — a ) (jc + b ) Hf 8 (j? 一 a )(工 + b)
应选（C）.
（2）【答案】（E）.
【解】方法一复合函数求导法则
dz
jr --- — n
F （—»—） = 0两边对工求偏导，得一三尺----三 F； = O9解得乎=（yF{ + zFf2）；
\工工） x x °工 jcF2
F ） = 0两边对y求偏导，得丄F： +丄F； — 0 9解得护=—』・
\x x f x x dy dy r 2
于是工 另 + y 拿=^rCyF\ + nF； ） — =z ,应选（E）.
方法二 公式法
令 GQ,y,z) =F(2
由 G； = — F\-----F；, G'y = —F\ ‘ G； = —F；,得
x x u x
；
Wf +
3z_
G：
x x
F；
=丐（歼；+汀；）,
3jc
x
于是 工+ y 子=+ zF；） — = z，应选（E）.
方法三 全微分法
-）=0两边求全微分，得F#（工$ ）+ F；d（［z ）
F (- =0,整理得
\«z X x， 3C /
F； •迪打 2 虫+冗• 攵dz — zAx =0 宀 ,
X 2 X 2
1 F‘
从而有dz =尹(厨 +zF；)d_z —詁切
于是 J = -^z(yF： + zF；), 字=—?,
ox xr cJy r 2
2
故 jc # + ^―=寺(yF： + zF；) - = z ,应选(B).(3)【答案】(D).
1如些迈
【解】工=0及工=1为反常积分
dr的瑕点,
0
1 \/ln2 (1 — jr ) i \71n2 (1 — jr ) 1 yin2 (1 — jc )
dx = dj? 十 1 ~zz 9
0 o :匚 i 77
丄 \/ln2 (1 — j? ) [口 1 2 4如「)山收敛
因为lim z厂万 ------------------=1且&=------- <1,所以
VT n m
_r—o+
1 m[\~2(] ~~ 2
又因为 lim (1 ― x ) 2 • ——--------- = lim \/1 — x • ln/z, (1 — x )
工—
1
一 'Ujc 才—厂
2
]\ -
1 — X In t \ 万
- — lim —^― 0
加 lo+ -T-1 /
且a=t VI,所以「:。叮「)山收敛，故 1如府工)山收敛，应选(D).
/ J T ° a/z
方法点评：对积分区间有限但函数有无穷间断点的反常积分的敛散性判断通常有定义法
和判别法.
(1)设 /(x ) G C(a,b],且/'(■z)在 =a 的右邻域内无界.
定义法：对任意的E >0,若lim|C h /(jr)dz存在，则称反常积分Pf(j;)dz收敛，否则称为发散.
°+J a+e J a
判别法：设lim (j: — a y fCx ) = A(工°°),则当0 < k < 1,0 A V+ °°时，反常积分
•r f a
hf(x)dx收敛；当k 1,0 < A W+*时，反常积分| 'b/(工)山 发散.
(2)设/(^) 6 C：a,6),且y(z)在工=b的左邻域内无界.
定义法：对任意的e >0,若lim| 'b—£/(a-)dz存在，则称反常积分「yGJdz收敛，否则称为发散.
Lo+J a J a
判别法：设 lim (b — jc ~)k f {jc ) = A (工 °°)，则当 0 1,0 < A 时，反常积分| 'b/Q)cLz发散.
a
(4)【答案】(D).
1
【解】 取 D = {(x ,y) | 0€工 Wl’OWjyWl},
(1+工)(1+0'
由乞£厂+ ：)：+2) 七乞 1
有，根据二重积分的定义，得
(兀十 十丿) 兀
,=1 ； = 1 "(72 ,=1 7 = 1 1 + 1 +
< n /
lim S S (丰 •)： 2 亠 .2) ：市7)；1 + 0切
00 ’ = 1 丿 =1 (7?十 Z)(72 + J ) 0
D
应选(D).方法点评：用定积分、重积分等的定义求极限是极限计算的一种重要类型，重点考查定积
分定义求极限.
(1)定积分的定义求极限：lim — f (丄)=[fCa: )djr'・
1 1 1
【例】求极限嶼齐万予+齐皐¥ + 7
n + 一 772
【解】
dt
托
7 cos x T sm t dz = ~2 sm x dj：，
o sm x 十 cos jc o sm t 十 cos t o sin x + cos oc
(5)【答案】(A).
【解】r(AB) =r(E) =m.
因为 r(AB ) r(A )且 r (AB ) r (B ),所以 r(A ) m ,r (B ) m.
又显然 r (A ) < m ,r(B) m ,故 r(A)=/*(B)=加'应选(A).
方法点评:本题使用矩阵秩的两个性质：
(1) r(AB) < min{r(A),r(B)},研究矩阵秩的时候，如果出现矩阵的积，使用此性质；
(2) 设 A 为加 X n 矩阵，则 r(A ) W min{?7? ,n }.
(6) 【答案】(D).
【解】 令AX=AX(XH0),由(A'+ A)X = (A2 +入)X= 0且XH0得入'+入=0,于是
A = 0或入=一1.因为A可对角化且r(A ) =3 ,所以入=—1为三重特征值，
故A〜 _1 _] ，应选(D).
' o'
(7) 【答案】(C).
【解】p{X= 1}= P{X<1}-P{X<1}= F(l)-F(l-0)= 1-e-1 - j=
应选(C).方法点评：本题需要熟练掌握随机变量分布函数的性质.
设X为随机变量，F(_z)具有如下四个特征：
(1) 0 WFQ) < 1；
(2) FQ)单调不减；
(3) F(h)右连续；
(F4() —°°)=0, F(+*)=l.
反之，若FQ)具有(1)〜(4)的特征，则FQ)为分布函数.
另夕卜，若FQ)为分布函数，则
(1) P{X Va} =F(a —0)；
(2) P{X =a } = P{X Wa} — {X 0,_/"(0) = — 2 fl e ' 2di
