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2014年数学（三）真题解析
一、选择题
(1)【答案】(A)
【解】 由 lima” =a 得lim | a” | = | a | ,
jl Ji
—► OO ―► oo
取航=屮，总存在N>0,当”>N时，
I丨a” I —丨a | | < ,从而再丄< | a” | V彳 丨，应选(A).
⑵【答案】(C)
【解】对y =x + sin丄，
X
由 lim — = lim (1 + —sin 丄)=1，
lim (y 一 工)=limsin — = 0
X
8 X*°O-
得曲线y =jc + sin丄有斜渐近线y =x，应选(C).
x
(3) 【答案】(D)
【解】 方法一 令/(J?) = — tan x ,
因为p (兀)一 tan x是比工3高阶的无穷小，所以/(O) =/■'(())=厂(0),
而 f'O —b + 2cz + 3dx2 一 sec2x , f”(工)=2c + — 2sec2x tan x ,
则 a —Q,b = l,c = 0,应选(D).
方法二 因为 tan x —x —oc3 + o (re 3 ),
所以卫(z ) - tan x —a + (6 一 1)h ex2 + {d----x3 + o (a:3 ),
于是 a =0,6 = l,c =0 ,d = £，应选(D).
方法三 由 lim[/> (re ) 一 tan x~\= 0 得 a=0；
x*0-
p Joe) 一 tan x =bx ex2 dx3 一 tan x
9
由]im 小)—tan° =。得：_ 】=°,即 5 =1；
x
■Zf 0
丄 1p (h ) — tan x 1. (z — tan 工)+ cz' + dx3 小丿口 小
由 lim ------------------= lim--------------------------------------= 0 得 c = 0 ；
X JT
x*o- X*O-
亠 pCz)—tan x Cz—tan jc) + dx3 .. 1一 sec2jc . - _ 1 丿曰 丁 1
pq lim 2 — lim 2 — lim i d — d ~ — 0 彳寸 d — ~~，
x x 3 3
•z—0 h-*o lo
应选(D).
(4) 【答案】(D).
【解】 方法一 令(p(jc)— /(j?)—/(0)(l—a-)—/(l)j;且爭"Q) = ■/'(•z),当 f" Joe ) $ 0 时, + =
矗
力 3 1 3 3 + 1
9
.1 、0 &3 .
012,
一^i+2 _ k2 + 6 ~k3-l
2紅一1 2b 2 — 3 2孔+ 1
故B (ki ,k2 jk3为任意常数).
3k j 一 1 3k 2 — 4 3k 3 + 1
kz b 3
方法点评：求未知矩阵一般有如下三种情形：
(1) 矩阵方程经过化简得AX =B或XA =B,其中A可逆，则X =A B或X =BA 1 ;
(2) 矩阵方程经过化简得AX=B,其中A不可逆或A不是方阵，则一般将AX=B拆成
几个方程组，求每个方程组的通解，将通解合成矩阵X；
(3) 矩阵对角化法
设A的特征值为入1 ,入2，…，入”，其对应的线性无关的特征向量为a i皿2,…，a”，
右 0 … 0 '
0 A 2 …0
P C(x ),P 可逆，且 P^1 AP =. . :,
i * ct 29 * * *
、0 0 …入”，
0 … Q
11
0 入
于是A =P 2
0 0 …入”
1 1 ― 1 ' 0 •• 0 1'
1 1 - 1 0 ・・ 0 2
(21)【证明】令71 = ,B =
1 1 … 1丿 .0 •• 0
由|AE -A | = 0得A的特征值为入 =入”_ =0 9入” =n
1 =… 1
由|AE - B 1-0得B的特征值为入 =…=入” =0 9入" =n.
_1
因为at=a,所以a可对角化；
因为r(OE -B) =r(B) =1,所以B可对角化，
因为特征值相同且都可对角化，所以A ~B.方法点评：本题考查矩阵相似.
设为两个72阶矩阵，若A〜B.则A,B的特征值相同；反之，若A.B的特征值相同，
两矩阵不一定相似，即特征值相同是两个矩阵相似的必要而非充分条件.
注意如下结论：
(1) 若特征值相同，且A,B都可相似对角化，则A〜B；
(2) 若特征值相同，但A,B中一个可相似对角化，另一个不可相似对角化，则两矩
阵一定不相似.
(22)【解】(I )
FY(y) =P{Y y} =P{X =1}P{Y y | X=1}+P{X =2}P{Y< 3/ | X =2}
= ^P{Y^y | X=l} +*P{YS 丨 X=2},
当 y VO 时,Fy (j>) = 0 ；
当01时,F心)=* •宇+ *・ 汁罟；
当 l£yV2 时,Fy (》)*= + * • y = y + y;
当夕 $2 时,Fy (j/) = 1 ,
0, 夕V0,
3^
T 0G < 1,
故随机变量Y的分布函数为Fy(y) =2
f + 7, IS V2,
1, 夕$ 2.
7 0 <3/ < 1,
(D)随机变量Y的密度函数为fYCy) =K
7 ll}=l — P{X=l,Y = l}=l — g=百.
