文档内容
2014年数学（二）真题解析
一、选择题
（1）【答案】（B）.
丄 _丄 L
【解】ln°（］ +2乞）〜2a xa , （1 — cos x ） ° 〜2 a oc ° ,
［a > 1,
由丿2 得1 Va<2,应选（E）.
_〉1,
a
l
（2）【答案】（C）.
,• 1
x 十 sin —
［解］ 由 lim ------------- = 1. lim + sin------工）=0 得
•rf00 X 工—8 \ X '
y =x +sin丄的渐近线为y =oc ,应选（C）.
x
⑶【答】（D）.
【解】方法一 令卩（工）=f（x ） 一gCz ） = /（J?）—/（0）（l—J?）—/（l）j；且（p\x ） = f'（3C ）,
当 f'\x ） $ 0 时,（p"（工）—f" ） $0,曲线 y =（p（jc）为凹函数，
因为爭（0）=0,爭（1）=0,所以当z G ［0,1］时，爭（工）£0,
即 /'（•z ） W g （攵）,应选（D）.
方法二 如右图所示，当/"（工）$ 0时,y =/（j?）为凹函数，
因为y =g（_z）为连接A（0,f（0））与B（l,/（1））的直线，所以
f O Wg（_z）,应选（D）.
方法点评：本题考查函数大小比较.
利用凹凸性证明不等式是不等式证明的重要方法，设函数f（x）在［a ,b］上二阶可导，
且 /"（h ）N0（W0）， 若 /（a）— f（.b） = 0,贝» 当工 € ［a,b］时，/'（工）£0（^0）.
⑷【答案】（C）.
务 h 扫
【解】 由 號 叨十壬得 一
（ ） （ ） 2
dS__d 1 + f d 1 + 7 A
dr /
dx2 dx dt
/ -| _i ‘2）2
曲率半径 R =—\~^t\— = 10\/T5~，应选（C）.
b I
⑸【答案】（D）.
【解】 由f，® = J' I,得arctan工=厂：壮，解得孑 x 1,
1+F 1+W arctan x
则 lim 勺=lim x 一 arctan x =h , 巴 x -- - 一 - - a - rc — tan jc =lim---------„ X =〒，应选（D）.
x->0 X J*-0C- jc 2 arctan jc 工 f ° 3C z—o 3x 3
• 131 •
淘宝店铺：光速考研工作室（6）【答案】（A）.
含 2 -n2 n2
【解】 在区域D内任意驻点处因为£十^4=0,所以A =-C,
dxdy dx 3yi
即在区域D内任意驻点处AC-B2 <0,区域D内无极值点，故的最大值和最小
值都在D的边界上取得，应选（A）.
（7）【答案】（B）.
() a b 0
a 0 /> a 0 b
a 0 0 b
【解】 =——a 0 d 0 + b 0 c 0
0 c d 0
c 0 d c 0 d
C 0 0 d
ad {ad be ) + be (ad be )
=一 一 一
a2d2 + 2abcd — b2c2 = (ad be)2
=一 一 一
应选（E）.
⑻【答案】（A）.
【解】若线性无关,
I1 °\
由(a】+ ka 3 ,a 2 +/«3)=(ai ,«2'a3)0 1 ,
I'
I1 °\ A
因为(a] ,a2 ,a3)可逆，所以s + ka3,a2 +心3的秩与矩阵0 1的秩相等,
'iz」
I1 °\ Z1 °\ 斗
因为Io 1两列不成比例，所以r 0 1 | = 2,故 a 1 + ka 3 ,a2 la3 线性无关.
1 J
L
反之，若a 1 + ka^a2+ la 3线性无关,a i ,a2 ,a3不一定线性无关，
如a】,a2线性无关,ch = 0,显然a〕+ka3 ,a2 +加线性无关，但5 ,a2 »a3线性相关，应选（A）.
二、填空题
3
（9）【答案】琴tt.
O
djr 11 +1)
【解】
jr2 + 2j? + 5 -2? + (工 +1)2
1 工 +111
盲arctan 丁
（10）r答案】1.
【解】 由 f'（工）=2〈工—1）得 /（j- ） = （j- — I）2 + C 6 [0,2].
因为/（工）为奇函数，所以/（0） =0,故/'（工）=工2一2工，工6 [0,21
因为/（攵）以4为周期，所以/（7）=/（-1）-_/（1）=1.
• 132 •
淘宝店铺：光速考研工作室（11）【答案】-- cLz------dy.
【解】 方法一 当工=¥，夕=+时，e*"+ + + + *= £，解得z =0・
7 0 n 3 之
e2yz + x + 丿2 + n =—两边对 x 求偏导 9 得 2J/e2yz ----1 + -— = 0 ?
4 doc ox
将 x=^y=^z= 0 代入'得等| （*,* ）=_ + ；
7 / d z \ z
e2yz -\-x+y2+z= —两边对 y 求偏导，得 e2yz \2z + 2y 厂）+ 2夕+尹=0：
1 1 0代入，得字 1
将工=D 2 =z —2 = 3y 1 （14） ——一 2 ，
故dz J =—J_dz -長
（14） 2
=* 代入尹 7
方法二 将工 + x + y2 + z =—中，得 Z =0,
4
7
e2yz + x + y2 + n =—两边求微分 9 得 2e2yz （zdy ydz） + dj? + 2ydy + c!n = 0 ,
将 Z = *，》=* ，z=0 代入，得 dz| （丄丄）=—*d_z — ydj/.
2 jr
（12）【答案】y =------J? + —.
7T Z
【解】 L的参数方程为 l [x = =0 0sCiOnS 0 9 , , 当t 7t 时9 L上对应的点为A4（）（0 9㊁）
* dy / dO sin 9 + 3 cos 0 2_
由
djr djc / d6 cos 6 一 9 sin 9 7t
7T 2 2 7T
切线方程为y-- =------（工——0）,即y =------x +可.
Z 7T 7T Z
（13）［答案】井
xp （工）djc
【解】 0
X
「
Q （工）djC
J 0
由 p （无）djr = 乂 2 + 2工 + 1） dj? = 9
（一
Jo J 3
0
j1 fi 11 — 11
xp （工）dj? = （ x3 + 2 + 工）dr =而 9 得工
一
J 0 J o 12 20'
（14）【答案】［—2,2］.
I1 0
【解】A = 0 - 1 2 , | A | =a2 4.
一
J 2 O’
因为A的负惯性指数为1,所以|A|<0.
• 133 •
淘宝店铺：光速考研工作室由 |a|<0 得一2Va V2.
若 |A | = 0 得 q = — 2 或 a = 2 9
当q= —2时，由|AE -A | = 0得入］=—3,入2=0 “3 =3,负惯性指数为1；
当<2 = 2时9由|入恵一A| = 0得入i = 0,A2 = 3,入3 = —3 9负惯性指数为J故一2£q《2.
三、解答题
(15)【解】方法一
丄
dt dt
x
lim lim
j：2ln（ 1 + •Zf+°° ln（l + —
\ x
dt
1
lim lim X 2 e7-l 一 x
e —\ — t e — 1 1
=lim x2
t2 L0
d/
lim
x
x-*H-°°
1
lim x1 2 e7 -1 lim x2 7+z?+o
x-
lim x2
I'
:f+8
i — 2
(16)【解】 方法一 由
Z $ +
y2yf = ^— yf
得：/ = ■ ■--—.
1
十夕
1 -a-2 -,
令 A -------7 = 0,得夕=》（工）的驻点为工=土1.
1 +夕
当 •Z <- 1 时V 0；当一 1 < 工 V 1 时，3/ > 0；当工 > 1 时V 0,
则 工=一1为y = y》C(工x）)的的极极小小值值点点,2=1为y —y（.oc'）的极大值点.
由 x2 + y2y' = 1 — y',得（1 + 2） = （1 — 2） djr，积分得 y + -y^3 ~x----z3 + C ,
9 1 1 2
由夕⑵=0得C =彳,故满足初始条件的特解为夕+才/ =工一yx3 +彳.
将z = — 1, Jr = 1代入得y =》(工)的极小值为y (— 1) = 0,极大值为夕(1)= 1.
方法二 由鼻2 + y2 yf =1 — y'得(1 十 j/)dy=(l — jc 2 ) d j?,
积分得 y + +夕3 =jc----Jr3 + C.
9 1 1 9
由$（2）=0得0=亍故夕+ 尹彳=jc — —x3 +
1 _ 2
由『=-—^7 = 0得工=± 1.
1十夕
• 134 ・
淘宝店铺：光速考研工作室〃 —2jc(1+j/2) — (1—j?2) • lyy'
，=-----------------(r+7^ ，
当工=—i时,y (—1)=2〉o,则x = —i为极小值点，极小值为》(一1)= o；
当工=1时,y// = — l < 0,则_z = 1为极大值点，极大值为_y(1) = 1.
(17)【解】方法一由对称性，得
x sin(tt Jx1 y2 ) y sin(tc %/jc2 -y2 )
djjay = +》 dr dy，
•Z
D D
zsin(7r +)2 % d jj 3；sin(7r Jx1 y2 ), ,
于是 丿工' 工+夕--------djc dy
+ y
D
in(jr Jx2 y2 )djr dy = £ "rsin Trrdr =-^ '2
2 d3 ?rr sin 7trd(7rr)
1 4
0 兀
2
1 '2k 1 '2k 2x 2n
4兀 sin tdt 4兀 k d(cos t ) =一 4 -— k Zcos t K 47t J K cos tdt I
j： sin(K Jx2+)2 ) cos 6 刖 '2
方法二 +夕 dr dy = rsin ?rrdr ,
Z o sin 9 + cos 0
D
7 cos 0 T sin 9
因为 —----------------de/ = sin 0 +cos 9dd，
0 sin 9 + cos 0 o
sinec o+s 9cos^rf ~2 sin 9 + cos 0 in ?r
所以 —---------------de/ =—
sin 9 + cos 9 4
0 0
2it 丄 '2tt
又因为 rsin nr dr = —y Zsin tdt td(cos t)
7t2
----- \ tcos t 2tt + ‘2* cos tdt 3_ ，
7T TT 7T - 7X 7T
x sin(Jr Jx1 y2 ) 2
所以I = +夕 djc dy I
z
D
x sin(7t v j?2 + 3；2 ) 7 cos e 刖
方法三 工 dr dy = rsin 7crdr 9
+ y o sin 9 + cos 9
D
~2 cos 9 ln ~2 tan 9 = t g ] 1
因为 —----------------du = 1 + tan 严 ? ck
0 sin 9 + cos 9 0 o 1 + / 1 + t2
丄 1 t — 1
At
0 1+t 1+?
1
ln(l + £)----ln( 1 + Z2 ) + arctan t
2
0
+°°
1 , 1+t 7C
— In •- + —-arctan t T'
2 71+F o 2 0
'2 1 '2n ] '2tt
rsin 7trdr sin tdt =------ d(cos t)
2 兀
7t 7t
1 弋丄1俨
=-----Zcos t H-----7 cos tdt =
7T I 7T J 7T
兀
x sin(兀 /r $ + J/')] . 2
所以/ = --------a.x dy I
■Z + »
D
• 135 •
淘宝店铺：光速考研工作室x sin(7r v jc2 + y2 )chrdy =「 cos 0 '2
方法四 d0 rsin 7rrdr，
•z + y J 0 sin 9 + cos d
D
十） 7t
COS
~2 cos 9 T
因为 d(9 =—
0 sin 0 + cos 6 V2' 0 sin(0 + 書
cos(e + f)+ sin(0 +
書
丄 7
d0
2
0 sin(0 +
1 T
1 + cot ((9 +
2
0
=0 + In sin(0 +
*2rsin 7trdr =丿7 •2n
sin tdt =---
]
---
■2n
Zd(cos t)
兀 7t
1 7T -
1 2兀 1 *2n 3
-----tcos t cos tdt =-----
7T Tt | 7t 2' K 7t
x sin(7T \/x2 y2 ) . , 3
所以1 = dj? dy =——
+ y
D
x sin(7C v x2 + y2 ) ~2 cos 0 f2 .
方法五 工+夕 --------dx dy = rsin Ttrdr 9
sin 9 + cos 9
0
D
7 cos 9 dg ~2 cos 6 + sin 9 'i cos 9 — sin 6 刖
因为 sin 0 +cos 严 +
0 sin 9 + cos 9 0 o sin 9 + cos 9
_2 7T
+ In | sin 6 + cos 6
=0 1
'2 1 2tt ] '2n
rsin 7trdr t sin tdt =------ zd(cos t)
K 7t
7V
-^coSJ%A ■2n 3
cos d£
方
7T， 丨兀 7t ■
7T
x sin(7t Jx2 y2 ) dr dy = —|-
所以/ = +夕
z
D
3Z x f
（18）【解】 —=e cos y • J 9 一 eT sin y • ff ■>
dx
- 3 °- 2 --Z7 = e X c_o s y • /0 十 e2 工 cos2 3/ •厂， V 32 TQ _=_ _一_ e x cos 夕•/c f 十1 e 2x sm• 2 3/ •/ /' 〃 ,
o□ x2 j j dy
共+窪 几
=0
dx 0 y
32 z g2 z /
令况=cos y 9 由-- 7 + —r = ( 4n + cos y ) e2:r 得
djc 9 3/
(况)=4/(u) + %9或 /〃(％)— 4/(况) u ,
• 136 •
淘宝店铺：光速考研工作室解得 /(« ) =C］ e_2u + C2 e2u u.
fCj + C2 = 0»
由 y(0)=0/(0) = o 得J 1 解得 c. =-T7，c2 =—,
—2Ci+2C2—玄=0, 16 16
故 fCu) = 77(e2u — e 2u )----u.
16 4
方法点评：本题考查偏导数与二阶常系数非齐次线性微分方程.
偏导数与微分方程结合问题是一种综合和重要的题型，首先按题目要求计算出相应的
偏导数，根据给定的等量关系式将偏导数代入等式中，整理得微分方程，再根据微分方程的
类型对微分方程求解.
(19)［证明】(I)方法一 因为0 Wg(z)Wl,
所以［Ock f Id/,即 G ［a,b］.
J a Ja Ja Ja
方法二 令= x — a — \
J a
因为卩'( h) =l—g(H)NO：所以卩(工)在［a 上单调增加.
又因为(p(a) = 0 ,所以当工G 时9卩(工)$()9即］g(t)ckWz—d9
因为 g(z)$0,所以［g(t)ck$09 故当 X G 时卫冬］
J a J a
方法三 由积分中值定理得［g(/)d/=g(W)(_z—a),f G ［a,_z］,
因为 0 Wg(_z)£l,所以当工 G 时，0w］ g(/)d/£z—a.
J a
方法四 因为g(H)在［0,1］上连续，所以g(_r)在［0,1］上取到最小值加和最大值M,
因为o Wg(_z)Wi,所以o£加Wg(z)WMWi，积分得
0£加(攵 一a ) g (t)dt ^M(x 一a ) £ h —a.
J a
「
C jr a+［g(/)d/
(II)令甲(2)=］ /(u )g (w )dw — J " /(« )d« ,
因为/'(■z),g(z)在［a,b］上连续，所以甲 ( j?)在［a,b］上可导，且
爭'(z ) =/(工)g (z ) — g (_z )/" ［a + ］ g(/)ck］,
因为］gCt)dt < x —a且/'(h)单调增加，
J a
所以于［a + J g (t )ck］ W/［a + (工 一 a )］ =/(乂)，
从而 99Z(j?) = G ［a』］，
l(p(a) =0, e 1
由 z 得 、 G 厂 ［ a,6］),
\(p (2) d0(a W x £b)
f a+ P g (Z) dz f 6
从而(p(b) 0,故 " /(jc )dj： f {jc )g (jt )dj?・
J a J a
• 137 •
淘宝店铺：光速考研工作室方法点评：本题考查利用单调性证明不等式.
证明关于常数a』的不等式时，通常方法有：
(1) 中值定理；
(2) 两式相减，将b改为』，构造辅助函数，利用单调性证明.
(20)【解】 工
1+/Q) 1+2
川)
l+/2(.) 1+吐’由归纳法得几
2 7
n x
—~n~2 0 1 + 7ZJC n ' oT+7d"
ln( 1 + 77)
n2
n
(21)【解】 由-^ = 2(j/ + 1)得 f Cx ,y) — Cy + 1)? +(p(x),
由 f = + 1)2 (2 y)\ny 得申(工)=(工 2)ln x
一 一 一
故 fG Q)= Cy + l)? + (jc 2)ln 工.
一
方法一 /(工力)=0与夕轴所围图形绕夕=—1旋转所成旋转体的体积与
»2 =-(^ -2)ln工所围图形绕直线夕=0旋转所得的体积相等，
故V = n :夕 2 山=兀 (2 一 J?) In x dx =(21n 2 兀.
方法二 曲线/(j? ,y) = 0即(y + l)2=(2 — z)lnz(z € 口，2])所围图形绕直线
》=—1旋转所得旋转体的体积为
[(j/ + 1)2 djr =兀 '2 21n 2------)
V = 71 (2 一 ) In x Ajc 7T.
4 /
-2 3 -4 -2 3 -4 1 -2 3 -4
(沙解】 1 -1 1 1 —1 1 0 1 -1 1
' 1
2 0 -3 'o 4 —3 1 0 0 1 -3
/I -2 0 5 \ 0 0 1 \
0 1 0 -2 -A O 1 0 -2
—3/ 'o 3/
一
0 1 0 1
则方程组AX =0的一个基础解系为g = (― 1,2,3,1)1
(n)方法一
I1 -2 3 -4 1 0 °\ I1 -2 3 -4 1 0 °\
b
由(A i E)= 1 -1 1 0 1 0 -A O 1 _ 1 1 0 1 0
'1 J
2 0 -3 0 0 '0 4 —3 1 -1 0
/! -2 3 -4 ; 1 0 °\ /1 -2 0 5 ： 4 12 -3
[0 1 -1 1 0 1 ° -* ° 1 0 -2;-1 -3 1
'o 'o
0 1 -3 i -1 -4 0 1 -3 i -1 -4 1
I1 0 0 1 ;2 6 _1\
b
1 0 -2 —1 -3 1 r
'o 1 /
0 1 -3 i - 1 -4
・ 138 •
淘宝店铺：光速考研工作室2 — k 1 6 —孔 -1-^3
2紅一1 2k. 2 — 3 2^3 + 1
得B （紅，匕，匕为任意常数）.
3紅一1 3 2 — 4 3k3 + 1
怡
k2 k3
方法二 令 B =(X| ,X2，XQ, E = (e1 ,e 2, e 3),
则AB =E等价于AX】=s , AX2 仑2 9 AX3 = 仑3 9
一局+ 2
2紅一1
方程组AX = e〕 的通解为X] （紅 为任意常数），
1
3h 1 — 1
紅
—怡2 + 6
2k 2 — 3
方程组AX2 =e? 的通解为X2 （紅 为任意常数），
3怡2 — 4
k2
—紅_1
2^3 + 1
方程组AX., 的通解为X3 (怡3 为任意常数），
3紅+ 1
^3
—& ] + 2 + 6
—怡2
2紅一1 2b 2 — 3
故B = 为任意常数）.
3k! — 1 3 2 — 4
怡
k\ k2
工2
工5 工6
方法三 令B ，由AB =E得
工8 工9
2 10 •Z 11 g 12
Hl --2x 4 + 3z 7 -- 4 工 io ==1,
工 2 --2 心 + 3 広 8 -- 4 分 11 ==0,
力 3 -- 2^6 + 3jc 9 --4 厂 2 ==0,
X 7 + J7 10 = 0 ,
工4
“5 久 8 +鼻 11 = 1 ，
° 6 —工 9 +厂 2 = 0，
+ 2 4 ― 3z io = 0,
工
工2 + 2 工 5 — 3 工 11 - 0,
広3 + 2j?6 — 3z 12 = 1 ，
^1 r- r 2 —kx + 2' 工2 -r 6 —孔 + 6'
•Z4 2 + -1 2紅 -1 力5 2 + -3 2k 2 -—3
解得 =kx =k2
3 -1 3釧 -1 9 ^8 3 -4 3k 2 --4
工10, 1 0 k 1 , Z 11 . .1 .0 、怡2
• 139 ・
淘宝店铺：光速考研工作室(紅，紅，紅为任意常数).
方法点评：求未知矩阵一般有如下三种情形：
(1) 矩阵方程经过化简得AX =B或XA =B,其中A可逆，则X =A B或X ^BA~l ；
(2) 矩阵方程经过化简得AX=B,其中A不可逆或A不是方阵，则一般将AX^B拆成
几个方程组，求每个方程组的通解，将通解合成矩阵X；
(3) 矩阵对角化法
设A的特征值为入1,入2，…，入”，其对应的线性无关的特征向量为a】 ‘a?,…，a”，
0 0
0 0
令 P — (a} ,a2, ),P可逆，且P AP =
0 0
0 0
0 0
-1
于是A =P
0 0
1 1 • • 1 ，0 . .0 1
1 1 • • 1 0 . • 0 2
(23)【证明】令人= 9〃 =
1 1 • • 1 0 . .0 n
由| AE — A | = 0,得A的特征值为A ]=…=入”一i = 0,入”=”，
由| XE — B | = 0,得B的特征值为A !=…=入”_] = 0,入” =n.
因为At=A,所以A可对角化；
因为r(0E -B) =r(B) =1,所以於可对角化，
因为特征值相同且都可对角化，所以A
方法点评：本题考查矩阵相似.
设为两个"阶矩阵，若A〜则的特征值相同；反之，若A 的特征值相同，
两矩阵不一定相似，即特征值相同是两个矩阵相似的必要而非充分条件.
注意如下结论：
(1) 若A,B特征值相同，且A,B都可相似对角化，则A〜於；
(2) 若特征值相同，但A,B中一个可相似对角化，另一个不可相似对角化，则两矩
阵一定不相似.
• 140 •
淘宝店铺：光速考研工作室
