2022年考研数学二真题+解析(公众号_考研小舟)公众号：考研小舟_27考研真题_考研数学一、二、三历年真题+考研数学资料（1994-2026）_考研数学真题（1987-2026）_考研数学真题（1987-2026）

2022 年全国硕士研究生招生考试 数 学（二） （科目代码：302） 考试时间：180分钟，试卷总分：150分 考生注意事项 1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指 定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。 2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书 写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试题册上答题无效。 3．填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写 部分必须使用2B 铅笔填涂。 4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。 (以下信息考生必须认真填写) 考生编号 考生姓名 数学（二）试题及解析 第1页（共16页）一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的． 1.当x0, x  , x 是非零无穷小量，给出以下四个命题. ①若 x   x  ,则2 x  2 x  . ②若2 x  2 x ，则 x   x  . ③若 x   x  ,则 x  x o   x  . ④若 x  x o   x ，则 x   x  . 所有真命题的序号： A.①③ B.①④ C.①③④ D.②③④ 【答案】选C. 【解析】 (x) 2(x) ① lim 1lim 1，正确； x0(x) x02(x) (x)  x (x)  x  (x) ③ lim 1lim lim lim 110, 正确 x0(x) x0  x  x0 x  x0 x  ④ lim  x (x) 0lim  x  lim (x) 0lim (x) 1 ,即  x   x  , x0  x  x0 x  x0 x  x0 x  正确； (x) (x)o((x)) 而lim lim 1, 取(x) x,(x)x,则②错误,故选C. x0(x) x0 (x) 2 2 y 2.  dy dx 0 y 1x3 2 1 2 2 A. B. C. D. 6 3 3 3 【答案】选D. 数学（二）试题及解析 第2页（共16页）【解析】 2 x y 2 1 1 原式  dx dy  x2 dx 0 0 1x3 0 2 1x3 21  1     1 x3 2d x31 0 6 2 1   1 1 2  2 1 x3 2 1  . 6 3 3 0 故选D. 3.设函数 f(x)在x  x 处有2阶导数，则 0 A.当 f  x  在x 的某邻域内单调增加时， f x 0 0 0 B.当 f x 0时， f  x  在x 的某邻域内单调增加 0 0 C.当 f  x  在x 的某邻域内是凹函数时， f x 0 0 0 D.当 f x 0时， f  x  在x 的某邻域内是凹函数 0 0 【答案】B. 【解析】由于 f(x)在x  x 处有2阶导数，故lim f(x)  f x 0 ， 0 0 xx 0 o xU(x ,) f x 0， f  x 在x 的某邻域内单调增加，选择B 0 0 4.设函数 f  t  连续，令F(x,y)  xy (x yt)f(t)dt，则 0 F F 2F 2F A.  ,  x y x2 y2 F F 2F 2F B.  ,  x y x2 y2 F F 2F 2F C.  ,  x y x2 y2 F F 2F 2F D.  ,  x y x2 y2 数学（二）试题及解析 第3页（共16页）【答案】选C. xy xy xy 【解析】F(x,y) x f(t)dt y f(t)dt tf(t)dt 0 0 0 F xy xy   f(t)dt xf(x y) yf(x y)(x y)f(x y)  f(t)dt x 0 0 2F   f(x y) x2 F xy xy xf(x y) f(t)dt yf(x y)(x y)f(x y) f(t)dt y 0 0 2F F F   f(x y)，故  ，故选C. y2 x y 1 lnx 5.设 p为常数，若反常积分  0 xp 1x 1p dx收敛，则 p的取值范围是 A. 1,1  B. 1,2  C. ,1  D. ,2  【答案】选A. 1 lnx 1 dx 【解析】原式为2 dx dx 0 xp(1x)1p 1 xp(1x)1p 2 lnx xp(1x)1p lim  lim xln x(0) 0 x0 1 x0 xp 1 1 2 dx收敛 p 1 0 xp lnx xp(1x)1p 1 1 lim 1与  dx同收敛 p1, 故选A. x1 1 1 (1x)p 2 (1x)p 数学（二）试题及解析 第4页（共16页）π π 6.已知数列{x },  x  .则( ) n 2 n 2 A.当limcos(sinx )存在时，limx 存在 n n n n B.当limsin(cosx )存在时，limx 存在 n n n n C.当limcos(sinx )存在时，limsinx 存在，但limx 不一定存在 n n n n n n D.当limsin(cosx )存在时，limcosx 存在，但limx 不一定存在 n n n n n n 【答案】选D π 2 【解析】x (1)n  x 发散. limcos  sinx cos , n 4 n n n 2 2  π limsin  cosx sin ，limsin(1)n 不存在，故选D. n n 2 n  4 1 x 1ln(1 x) 1 2x 7.已知I  dx,I  dx,I  dx.则 1 0 2(1cosx) 2 01cosx 3 01sinx A. I  I  I B. I  I  I C. I  I  I D. I  I  I 1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 1 【答案】选A x 1 1 x1 【解析】 f(x) ln(1x)， f(x)   0,x(0,1) 2 2 1x 2(1x) x f(0)0 ln(1x),I  I . 2 1 2 2ln(1x) 2x 现比较I 和I ，即比较 与 2 3 2(1cosx) 1sinx 数学（二）试题及解析 第5页（共16页）x x cos sin ,x(0,1) 2 2 2 2  x  x x  2cos   cos sin   2  2 2 x 4cos2 1sinx 2 2(1cosx)1sinx 1 1 即  2(1cosx) 1sinx 而2ln(1x)2x x(0,1) 则I  I . 2 3 故选A. 1 0 0   8.设A为3阶矩阵，  0 1 0  ,则A的特征值为1，1，0的充分必要条件是   0 0 0 A.存在可逆矩阵P,Q,使得A PQ B.存在可逆矩阵P ,使得A PP-1 C.存在正交矩阵Q ,使得AQQ-1 D.存在可逆矩阵P ,使得A PPT 【答案】选B 【解析】根据相似对角化定义，B选项可以直接推出 A的特征值为1，1，0，又若 A的 特征值为1，1，0，互不相同，则A一定可相似对角化，可推出B.故选B. 1 1 1  1     9.设矩阵A= 1 a a2,b2,则线性方程组Ax=b解的情况为     1 b b2  4 A.无解 B.有解 C.有无穷多解或无解 D.有唯一解或无解 【答案】选D 1 b 1 1   【解析】(A,b) 1 a a2 2     1 b b2 4 数学（二）试题及解析 第6页（共16页）1 1 1 | A| 1 a a2   ba  b1  a1  1 b b2 | A|0r  A r(A,b)3，有唯一解 | A|0r  A  r(A,b)无解，故选D.  1 1  1          10.设 1, , 1, ,若向量组,,与,, 等价，则 1 2 3 4 1 2 3 1 2 4         1 1     2  的取值范围是 A.  0,1  B.  R, 2  C.  R, 1, 2  D.  R, 1  【答案】选C 【解析】    1 1 1  1  1      1  1  0 1 1 2     1 1  2    0 0 (2)(1) (1)  12     1r ,,r ,, r ,,, 1 ，等价 1 2 3 1 2 4 1 2 3 4 0 r ,,r ,, r ,,, 3 ，等价 1 2 3 1 2 4 1 2 3 4 1 r ,,3，r ,, 2 ，不等价 1 2 3 1 2 4 2 r ,,2，r ,, 3 ，不等价 1 2 3 1 2 4 其他时，r ,,r ,, r ,,, 3 ，等价 1 2 3 1 2 4 1 2 3 4 故{∣R, 1, 2}，故选C. 二、填空题（11-16小题，每小题5分，共30分） cotx 1ex  11.lim   . x0 2  1 【答案】 e2 数学（二）试题及解析 第7页（共16页）【解析】 cosx cotx cosx 1exsinx lim   1ex   lim   1ex   sinx lim e ln  2   x0 2  x0 2  x0 ex li  m 0 c s o in s x x     1 2 ex 1    ex li  m 0 cos 2 x s ( i e n x x 1) (ex1) x 1 lim lim ex0 2x ex02x  e2 1 原式e2 12.已知函数 y  y  x  由方程x2 xy y3  3确定，则 y(1) . 31 【答案】 32 【解析】 2xxy y3y2y0(①) 将x1代入x2xy y3 3,得y 1 3 将x1,y 1代入,得y 4 对①两边求导： 2 yxy+y+6yyy3y2y0, 3 代入y 1,x1,y , 4 31 解得y(1) 32 1 2x3 13. dx . 0 x2 x1 8 3 【答案】 π 9 数学（二）试题及解析 第8页（共16页）【解析】 1 2x3 12x14  dx dx 0 x2 x1 0 x2 x1 1 1   1 4   d x2 x1  dx 0 x2 x1 0 x2 x1  1 1 1 ln x2x1 4 dx 0 0 x2 x1 1 1  1 4 dx  0  1 2  3 2  2 x     2  2  1 1 x 1 8 3 2 4 arctan  π. 3 3 9 2 2 0 14. y2y5y0,通解 y  x  . 【答案】 C ex(C cos2xC sin2x) 1 2 3 【解析】特征方程为r32r2 5r 0，分解因式，则r(r2 2r5)0，得 r 0,r 12i，则通解为y C ex(C cos2xC sin2x) . 1 2,3 1 2 3   15.已知曲线L的极坐标方程为r sin3 0 ，则L围成有界区域的面积为 .  3 π 【答案】 12 【解析】 π 1 π1 S  3 sin23d 3 sin23d3 0 2 0 6 1 π 1 π 1 π   sin2udu 2   . 6 0 6 2 2 12 16.设A为3阶矩阵，交换A的第2行和第3行，再将第2列的1倍加到第一列，得到矩阵 数学（二）试题及解析 第9页（共16页）2 1 1   1 1 0   ，则A1的迹tr  A1   .   1 0 0   【答案】1 1 0 0 1 0 0 2 1 1       【解析】 0 0 1 A 1 1 0  1 1 0             0 1 0 0 0 1  1 0 0 1 0 02 1 11 0 0     A= 0 0 1 1 1 0 1 1 0         0 1 0 1 0 00 0 1 2 1 11 0 0 1 1 1       1 0 0 1 1 0  1 0 0            1 1 0 0 0 1  0 1 0   0 1 0  A1   0 0 1  ;tr  A1  1.      1 1 1 三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分） f  ex2  3f  1sin2x  已知函数 f(x)在x 1处可导，且 求 f(1). lim 2, x0 x2 【解析】 f  ex2  3f  1sin2x  lim 2 x0 x2 由题意，得： lim  f  ex2  3f  1sin2 x  0 f(1)0   x0 数学（二）试题及解析 第10页（共16页）f  ex2  3f  1sin2x  f  ex2   f(1) ex2 1 lim lim  x0 x2 x0 ex2 1 x2   f 1sin2x  f(1) sin2 x 3lim  x0 sin2 x x2  f(1)3f(1) 2  f(1)1 18.（本题满分12分） 1 设函数 y(x) 是微分方程 2xy4y 2ln x1, 满足条件 y(1)= 的解，求曲线 4 y  y(x)  1 xe  的弧长. 【解析】 2 dx  2lnx1 2 dx  y e x   e x dxC  2x   2lnx1   x2  dxC    2x3  1  lnxCx2 2 1 1 1 代入x 1，得：C  ，所以： y  lnx x2 . 4 2 4 则： 2 e  1 x s   1     dx 1  2x 2 e1 1     x dx 1 2 2x 1 1  e2 4 4 19.（本题满分12分）   (x y)2 已知平面区域D (x,y)| y2 x 4 y2,0 y2 ，计算I   dxdy. x2  y2 D 【解析】 数学（二）试题及解析 第11页（共16页）  (x y)2 已知平面区域D (x,y)| y2 x 4 y2,0 y2 ，计算I   dxdy . x2  y2 D x2 2xy y2 I  d x2  y2 D  2xy   1 d  x2  y2  D 2xy d d x2  y2 D D 补线x y 2（图中虚线），根据对称性 2xy  d d x2  y2 D D 2  2 22d 2rcossindr 2 0 sincos  4  224 cossind 0  (sincos)2    2sin2 222sin2d2 d 0 0 1sin2 22222. 20. （本题满分12分） f(u,v) f(u,v) 已知可微函数 f(u,v)满足   2  uv  e uv ,且 f(u,0)u2eu. u v g(x,y) （1）记g(x,y) f(x,y x)，求 ； x （2）求 f(u,v)的表达式和极值. 【解析】(1) g(x,y)  f f x u v 2(x yx)ey 2(2x y)ey (2) 数学（二）试题及解析 第12页（共16页）g(x,y) 2(2xy)eydx 2x2ey 2xyey (y) f(x,yx) 2x(x y)ey(y) f(x,yx) f(u,v)2uve(uv)(uv) 代入v 0，得(u)u2eu，有： f(u,v)2uve(uv)(uv)2e(uv)   u2 v2  e(uv) f2ue(uv)  u2v2 e(uv) u f2ve(uv)  u2v2 e(uv) v 2uu2 v2 0  u v 2vu2 v2 0 代回有：u(u1)0得：u v 0或 u v1 A f  2e(uv)2ue(uv)2ue(uv)  u2v2  e(uv) uu   24uu2v2 e(uv) B 2ue(uv)2ve(uv)  u2v2  e(uv)   u2v22u2v  e(uv) C  f    24vv2u2 e(uv) vv 代入坐标有： A  0,0 2 A  1,1 0 B  0,0 0 B  1,1 2e2 C  0,0 2 C  1,1 0 对于 0,0 点，有ACB2 40,A0，这一点取得极小值0， 对于 1,1 点，有ACB2 0，不是极值. 21.（本题满分12分） 数学（二）试题及解析 第13页（共16页）设函数 f(x)在（-，）内具有2阶连续导数，证明：f(x)0的充分必要条件是对 ab 1 b 不同的实数a,b， f( )  f(x)dx. 2 ba a 【解析】证明：由泰勒公式： ab ab ab 1 ab ab f(x) f( ) f ( )(x ) f  (x ) 2，介于x与 之间 2 2 2 2 2 2  b f(x)dx  b f( ab ) f( ab )(x ab ) 1 f (x ab )2  dx   a a  2 2 2 2 2   f( ab )(ba) b1 f (x ab )2  dx   2 a 2 2  必要性：若 f(x)0，则 f 0，有 f   ab   1  b f  x  dx  2  (ba) a 充分性：若存在x 使得 f(x )0，因为 f (x)有二阶连续导数，故存在0使得 f(x)在 0 0  x ,x  内恒小于零，记a  x ,b x ,此时： 0 0 0 0  b f(x)dx f( ab )(ba) b1 f (x ab )2  dx f( ab )(ba)   a 2 a 2 2  2 矛盾，故 f(x)0.综上，充分性必要性均得证. 22.（本题满分12分） 已知二次型 f(x ,x ,x ) 3x24x23x22x x . 1 2 3 1 2 3 1 3 (1)求正交变换x =Qy将 f(x ,x ,x )化为标准形; 1 2 3   f x (2)证明min  2. x0 xTx 【解析】(1)已知： 3 0 1   A 0 4 0    1 0 3  数学（二）试题及解析 第14页（共16页）3 0 1 EA  0 4 0 1 0 3 3 1   (4) (4) 2 691 1 3   (4) 268 (2)(4)2 1 0 1 1 0 1 1       2 时，2EA 0 2 0  0 1 0 ，解得：  0 ；     3          1 0 1 0 0 0  1  1 0 1 0 1       4时，4EA 0 0 0 ，解得：  1 ,  0 ；   1   2         0 0 0  0 1 已正交，直接单位化：  1   1       0 2 2            1 ,  2   0 ,  3   0  1 1   2  3        0 2  1  3  1       2  2  令：  1 1  0    2 2   Q 1 0 0    1 1 0     2 2  得标准型： f 4y24y22y2 1 2 3 (2)证明：因为Q可逆： 数学（二）试题及解析 第15页（共16页）f f min min x0 xTx y0 (Qy)TQy f min y0 yTy 4y2 4y2 2y2 min 1 2 3 y0 y2  y2  y2 1 2 3 4y2 4y2 2y2 2y2 2y2 2y2 1 2 3 1 2 3 2 y2  y2  y2 y2  y2  y2 1 2 3 1 2 3 令： y2 0 1  y2 0 2  y2 1  3 得： f 2 故最小值为2. 数学（二）试题及解析 第16页（共16页）