2022年考研数学三真题+解析(公众号_考研小舟)公众号：考研小舟_27考研真题_考研数学一、二、三历年真题+考研数学资料（1994-2026）_考研数学真题（1987-2026）_考研数学真题（1987-2026）

2022 年全国硕士研究生招生考试 数 学（三） （科目代码：303） 考试时间：180分钟，试卷总分：150分 考生注意事项 1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指 定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。 2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书 写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试题册上答题无效。 3．填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写 部分必须使用2B 铅笔填涂。 4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。 (以下信息考生必须认真填写) 考生编号 考生姓名 数学（三）试题及解析 第1页（共15页）一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的． 1.当x0, x  , x 是非零无穷小量，给出以下四个命题. ①若 x   x  ,则2 x  2 x  . ②若2 x  2 x ，则 x   x  . ③若 x   x  ,则 x  x o   x  . ④若 x  x o   x ，则 x   x  . 所有真命题的序号： A.①③ B.①④ C.①③④ D.②③④ 【答案】选C. 【解析】 (x) 2(x) ① lim 1lim 1，正确； x0(x) x02(x) (x)  x (x)  x  (x) ③ lim 1lim lim lim 110, 正确 x0(x) x0  x  x0 x  x0 x   x (x)  x  (x) (x) ④ lim 0lim lim 0lim 1 ,即 x   x  , x0  x  x0 x  x0 x  x0 x  正确； (x) (x)o((x)) 而lim lim 1, 取(x) x,(x)x,则②错误,故选C. x0(x) x0 (x) 1 n 2.已知a  n n   n1,2,...  ,则 a  n n n A.有最大值，有最小值 B.有最大值，没有最小值 C.没有最大值，有最小值 D.没有最大值，没有最小值 【答案】选A 数学（三）试题及解析 第2页（共15页）1 1 1  1 lnx  【解析】令 f(x) xx  ，则 f(x) ex (1lnx)1 ，易知当 x 充分大时， x x2   f(x)0，即 f(x)单减； 1 1 1  1 lnx  令g(x) xx  ，则g(x) ex (1lnx)1，易知当x充分大时，g(x)0，即g(x) x x2   g(n) n 2k 单减；又 lim f(x) lim g(x)1，a  x x n f(n) n 2k 1 故前有限项必存在最值，综上 a 必存在最大最小值，选A. n 3.设函数 f  t  连续，令F(x,y)  xy (x yt)f(t)dt，则 0 F F 2F 2F A.  ,  x y x2 y2 F F 2F 2F B.  ,  x y x2 y2 F F 2F 2F C.  ,  x y x2 y2 F F 2F 2F D.  ,  x y x2 y2 【答案】选C xy xy xy 【解析】F(x,y) x f(t)dt y f(t)dt tf(t)dt 0 0 0 F xy xy  f(t)dtxf(x y) yf(x y)(x y)f(x y) f(t)dt x 0 0 2F   f(x y) x2 F xy xy xf(x y) f(t)dt yf(x y)(x y)f(x y) f(t)dt y 0 0 数学（三）试题及解析 第3页（共15页）2F F F   f(x y)，故  ，故选C. y2 x y 1 x 1ln(1x) 1 2x 4.已知I   dx,I   dx,I   dx.则 1 0 2(1cosx) 2 01cosx 3 01sin x A. I  I  I B. I  I  I C. I  I  I D. I  I  I 1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 1 【答案】选A x 1 1 x1 【解析】 f(x) ln(1x)， f(x)   0,x(0,1) 2 2 1x 2(1x) x f(0)0 ln(1x),I  I . 2 1 2 2ln(1x) 2x 现比较I 和I ，即比较 与 2 3 2(1cosx) 1sinx x x cos sin ,x(0,1) 2 2 2 2  x  x x  2cos   cos sin   2  2 2 x 4cos2 1sin x 2 2(1cosx)1sinx 1 1 即  2(1cosx) 1sinx 而2ln(1x)2x x(0,1) 则I  I . 2 3 故选A. 1 0 0   5.设A为3阶矩阵，  0 1 0  ,则A的特征值为1，1，0的充分必要条件是   0 0 0 A.存在可逆矩阵P,Q,使得A PQ B.存在可逆矩阵P ,使得A PP-1 C.存在正交矩阵Q,使得AQQ-1 数学（三）试题及解析 第4页（共15页）D.存在可逆矩阵P ,使得A PPT 【答案】选B 【解析】【解析】根据相似对角化定义，B选项可以直接推出A的特征值为1，1，0，又 若A的特征值为1，1，0，互不相同，则A一定可相似对角化，故可推出B.故选B. 1 1 1  1     6.设矩阵A= 1 a a2,b2,则线性方程组Axb解的情况为     1 b b2  4 A.无解 B.有解 C.有无穷多解或无解 D.有唯一解或无解 【答案】选D 1 b 1 1   (A,b) 1 a a2 2     1 b b2 4 【解析】 1 1 1 | A| 1 a a2  ba  b1  a1  1 b b2 | A|0r  A r(A,b)3，有唯一解 | A|0r  A r(A,b)无解，故选D. 7. 设  1 1  1           1, , 1, , 1 2 3 4         1 1     2  设向量组,, 与,, 等价，则的取值范围是（ ）. 1 2 3 1 2 4 A. {0,1} B. {∣R, 2} C. {∣R, 1, 2} D. {∣R, 1} 【答案】选C 【解析】    1 1 1  1  1      1  1  0 1 1 2      1 1  2    0 0 (2)(1) (1)  12      1r ,,r ,, r ,,, 1 ，等价 1 2 3 1 2 4 1 2 3 4 数学（三）试题及解析 第5页（共15页）0 r ,,r ,, r ,,, 3 ，等价 1 2 3 1 2 4 1 2 3 4 1 r ,,3，r ,, 2 ，不等价 1 2 3 1 2 4 2 r ,,2，r ,, 3 ，不等价 1 2 3 1 2 4 其他时，r ,,r ,, r ,,, 3 ，等价 1 2 3 1 2 4 1 2 3 4 故{∣R, 1, 2}，故选C.  1 8.设随机变量X  N  0,4  ,随机变量Y ~ B3, ，且X 与Y不相关，则D  X 3Y 1   3 A.2 B.4 C.6 D.10 【答案】选D  1 1 2 2 【解析】X ~ N(0,4),Y ~ B3, , DX 4,DY 3    3 3 3 3 则D(X 3Y 1) DX 9DY 10.故选D. 1 x , x 1, 9.设随机变量序列 X ,X X ,独立分布且 X 的概率密度为 f(x) 则 1 2 n 1  0, 其他， 1 n 当n时， X2 依概率密度收敛于 n i i1 1 1 1 1 A. B. C. D. 8 6 3 2 【答案】选B 【解析】 1 1 1 2 1 1 EX2   x2(1|x|)dx 2 x2dx2 x3dx    1 0 0 3 2 6 1 n  1 1 1 E X2   n  ,故选B. n i  n 6 6 i1   10.设二维随机变量 X,Y 的概率分布为 数学（三）试题及解析 第6页（共15页）X 0 1 2 Y 1 0.1 0.1 b 1 a 0.1 0.1 若事件{max{X,Y}2}与事件{min{X,Y}1}相互独立，则cov(X,Y) A. 0.6 B. 0.36 C. 0 D.0.48 【答案】选B 【解析】由题意，得 P  max{X,Y}2,min{X,Y}1  P  max{X,Y}2  P  min{X,Y}1  P  max{X,Y}2 b0.1，P  min{X,Y}1 0.10.10.2 P  max{X,Y}2,min{X,Y}1 0.1 故0.2  b0.1 0.1b0.4 又ab10.40.6，故a 0.2， Cov(X.Y) EXY EXEY 0.10.80.10.2(0.60.4)(0.21) 0.61.20.20.60.240.36 故选B. 二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分． cotx 1ex  11. lim   . x0 2  1 【答案】 . e2 【解析】 cosx cotx cosx 1exsinx lim   1ex   lim   1ex   sinx lim e ln  2   x0 2  x0 2  x0 ex li  m 0 c s o in s x x     1 2 ex 1    ex li  m 0 cos 2 x s ( i e n x x 1) (ex1) x 1 lim lim ex0 2x ex02x  e2 1 原式e2 数学（三）试题及解析 第7页（共15页）2 2x4 12.  dx_______. 0 x2 2x4 3 【答案】ln3 π 3 【解析】 2 2x4 2 2x26 2 2x2 2 dx .  dx dx 6 0 x2 2x4 0 x2 2x4 0 x2 2x4 0 x2 2x4  2 2 dx ln x22x4 6 0 0 (x1)2 ( 3)2 2 1 x1 ln12ln46 arctan 3 3 0 3 ln3 π. 3 13.已知函数 f  x esinx esinx,则 f(2π) ________. 【答案】0 【解析】 因为 f  x 为偶函数，则 f x 为奇函数，故 f 0 0，又因为 f  x 以2π为周期，故 f 2π  f 0 0 14.已知函数 f  x    ex, 0 x1, 则  dx  f  x  f  yx  dy  . 0, 其他，   【答案】e2 2e1 【解析】 exeyx,0 x1,0 yx1 f(x) f(yx)  0,其他  1 dx x1 exeyxdy  1 ex1ex  dx 0 x 0 e2 e(e1) e2 2e1 15.设A为3阶矩阵，交换A的第2行和第3行，再将第2列的1倍加到第一列，得到矩阵 数学（三）试题及解析 第8页（共15页）2 1 1   1 1 0   ，则A1的迹tr  A1   .   1 0 0   【答案】1 1 0 0 1 0 0 2 1 1       【解析】 0 0 1 A 1 1 0  1 1 0             0 1 0 0 0 1  1 0 0 1 0 02 1 11 0 0     A= 0 0 1 1 1 0 1 1 0         0 1 0 1 0 00 0 1 2 1 11 0 0 1 1 1       1 0 0 1 1 0  1 0 0            1 1 0 0 0 1  0 1 0   0 1 0  A1   0 0 1  ;tr  A1  1      1 1 1 16. A,B,C 为随机事件，且 A与 B 互不相容， A与C 互不相容， B 与C 相互独立， P  A  P  B  P  C  1 ,则P  BC ABC   . 3 5 【答案】 8 P(AB)0,P(AC)0,P(BC)P(B)P(C) P[(BC)(ABC)] P(BC∣) (ABC)  P(ABC) P(B)P(C)P(BC)  P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC) 【解析】 1 1 1   3 3 9  1 1 1 1   00 0 3 3 3 9 2 1 5  3 9 9 5    . 1 8 8 1 9 9 数学（三）试题及解析 第9页（共15页）三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分） 1 设函数 y(x)是微分方程y y  2 x 满足条件 y(1)3的解，求曲线 y y(x) 2 x 的渐近线. 【解析】  1 dx   1 dx  y e 2 x (2 x)e 2 x dxC   e x (2 x)e xdxC    e x 2e xdx xe xdxC    e x  2xe x  xe xdx  xe xdxC    2xCe x 代入x1，2Ce1 3C e，所以y 2xe1 x. 2xe1 x k  lim 2,b lim 2xe1 x 2x0. x x x 斜渐近线为： y2x. 18.（本题满分12分） 1 1 设某产品的产量Q由资本投入量x和劳动投入量 y决定.生产函数为 Q12x2y6 ，该产 品的销售单价P与Q的关系为P11601.5Q.若单位资本投入和单位劳动投入的价格分 别为6和8.求利润最大时的产量. 【解析】 数学（三）试题及解析 第10页（共15页） 1 1 1 1 L PQ6x8y  11601512x2y612x2y66x8y    L 1  1 1 令 1160y66x 2 1218y3 60 x L 1  5  2 1160x22y 6 18x4y 3 80 y x256  解得y 64  Q 384 19.（本题满分12分）   (x y)2 已知平面区域D  (x,y) y2 x 4 y2,0 y 2 , 计算 I   dxdy. x2  y2 D 【解析】 x2 2xy y2 I  d x2  y2 D  2xy   1 d  x2  y2  D 2xy d d x2  y2 D D 补线x y 2（图中虚线），根据对称性 2xy  d d x2  y2 D D 2  2 22d 2rcossindr 2 0 sincos  4  224 cossind 0  (sincos)2    2sin2 222sin2d2 d 0 0 1sin2 22222. 数学（三）试题及解析 第11页（共15页） 4 n 1 20.求幂级数 x2n的收敛域及和函数S  x  . 4n 2n1  n0 (4)n11 4n(2n1) 1 【解析】lim x2n2   x2 , n 4n1(2n3) (4)n 1 x2n 令 x2 1，得x2 1 x1,1  ，代入x1,1，显然收敛，则收敛域为x1,1  . 当x 0时,  (1)n  1  x 2n S(x) x2n    2n1 2n12 n0 n0 x 1 1 2 1 2  arctanx  ln x x 2 x 1 2 1 2x   arctanxln  x 2x  当x 0时，S(x)2. 1 2x   arctanxln  x0, 所以S(x)x 2x    2 x0. 21.已知二次型 f(x ,x ,x )3x2 4x2 3x2 2x x . 1 2 3 1 2 3 1 3 (1)求正交变换x =Qy将 f(x ,x ,x )化为标准形; 1 2 3   f x (2)证明min  2. x0 xTx 【解析】(1)已知： 3 0 1   A 0 4 0    1 0 3  数学（三）试题及解析 第12页（共15页）3 0 1 EA  0 4 0 1 0 3 3 1   (4) (4) 2 691 1 3   (4) 268 (2)(4)2 1 0 1 1 0 1 1       2 时，2EA 0 2 0  0 1 0 ，解得：  0 ；     3          1 0 1 0 0 0  1  1 0 1 0 1       4时，4EA 0 0 0 ，解得：  1 ,  0 ；   1   2         0 0 0  0 1 已正交，直接单位化：  1   1       0 2 2            1 ,  2   0 ,  3   0  1 1   2  3        0 2  1  3  1       2  2  令：  1 1  0    2 2   Q 1 0 0    1 1 0     2 2  得标准型： f 4y2 4y2 2y2 1 2 3 (2)证明：因为Q可逆： 数学（三）试题及解析 第13页（共15页）f f min min x0 xTx y0 (Qy)TQy f min y0 yTy 4y2 4y2 2y2 min 1 2 3 y0 y2  y2  y2 1 2 3 4y2 4y2 2y2 2y2 2y2 2y2 1 2 3 1 2 3 2 y2  y2  y2 y2  y2  y2 1 2 3 1 2 3 令： y2 0 1  y2 0 2  y2 1  3 得： f 2 故最小值为2. 22.（本题满分12分） 设X ,X ,,X 为来自均值为的指数分布总体的简单随机样本，Y,Y ,,Y 为来自均值 1 2 n 1 2 m 为2的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中0  是未知参数.利用 样本X ,X ,,X ,Y,Y ,,Y ,求的最大似然估计量ˆ，并求D  ˆ . 1 2 n 1 2 m 【解析】总体X 的概率密度为： 1  1 x  e ， x0 f (x) X   0, 其他 总体Y的概率密度为：  1  1 y  e 2 ， y 0 f (y)2 Y   0, 其他 所以似然函数为： 数学（三）试题及解析 第14页（共15页）L        1   n e   1 i n 1 X i     2 1     m e  2 1   i m 1 Y j , X i 0  i1,2n 且Y j 0  j1,2m    0, 其他 当X 0  i 1,2n 且Y 0  j 1,2m  时， i j 1 n 1 m lnL nln X mln2 Y  i 2 j i1 j1 dlnL() n 1 n 1 2 m   X m  Y d  2 i  (2)2 j i1 j1 n m 2X Y dlnL() i j 令 0，得：ˆ i1 j1 d 2m2n 1  n m  Dˆ 4DX DY  4(mn)2  i1 i j1 j  1  4n24m2   4(mn)2 2  . mn 数学（三）试题及解析 第15页（共15页）