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2010年数学（三）真题解析
一、选择题
（1）【答案】（C）.
【解】方法一由lim P- 1 [. 1 一 (1 一 ax )e
------a lim----------------------
LO \_x x X—0 x
lim + ae" ) = 一 1 + a 1,
•*0T~
得a = 2，应选（C）・
方法二 由 = 1 + + o （j?）得
(------a ) e" =------1 — a — ax +0(2)9
er = 一 1 + a + ax + o (h )，
x
由lim e" =1 得一l+a=l,故 a =2,应选(C).
（2）【答案】（A）.
【解】 若入％ +刖2为一阶非齐次线性微分方程y'+/（z）y=q（H）的解，则入+〃 =1,
又若入y 1 —阳2为一阶齐次线性方程》'+卫（攵）夕=0的解，则入一“ =0,于是入=卩=—,
应选（A）.
方法点评：本题考查非齐次线性微分方程解的结构.注意如下两个重要结构：
若爭1 （工），爭2（H ）,…，Q ）为非齐次线性微分方程$5’ + a ”_1 （工）夕5 " + ... +
a 1 （工）_y'+ a。（広）夕=7"（工）的一组解，则
（1） 菇爭1（工）+孔爭2（工）+ ••• + k s（ps （x ）为非齐次线性微分方程的解的充分必要条件
是 ki +怂 + …+ ks — ll
（2） k \ （工）+紅卩2（才）+…+怡、卩、（工）为非齐次线性微分方程对应的齐次线性微分
方程的解的充分必要条件是匕+紅 —+匕=0.
（3） 【答案】（E）.
【解】 因为g&°）=a为）的极值，所以g'Q。）=0.
丄L/（g（Z））］| =F（g（#o）） • /（工0）=0，
T-ltf I =/'〃（g（Ho）） • g'2（zo）+F（g（#o）） • g"Qo）=/，（a）g，/（^o），
dr I工=工（）
因为当 /'（a） > 0 时，））1 VO,所以当 /'（a）> 0 时，工。为 7"（g（z））的
ajr x=x0
极大值点，应选（E）.
（4） 【答案】（C）.
f（X） In10x In.9x 1
【解】 因为 lim 厶熙=lim -------= 10 lim ——= 10! lim —=0,
工_>+ g \x） Hf+x X X X
8 X*+o-o x*+-°olim lim -^ = 10 lim 2=0,
Hf+oo h— h-*+8 io
e e
所以当z充分大时，/(jc) 0), axCa > 1)当工-*+ 00时都趋于无穷大，但
In x x a
1. 1 Uli ......... 0 9 ] [ m 0 .
*f+oc a 工+4-oo q *
(5) 【答案】(A).
【解】 因为向量组I可由向量组II线性表示，所以向量组I的秩W向量组II的秩.
若向量组I线性无关，则向量组I的秩为r，于是向量组II的秩Mr，
因为向量组II的秩Ms，所以r <5，应选(A).
(6) 【答案】(D).
【解】令AX=AX(XH()),
由(A2+A)X = (A2+A)X=()且 XH 0，得入2 + 入=o,于是入=o 或 A
=-1.
-1 '
—1
因为A可对角化且厂(A) = 3,所以A =-1为三重特征值，故A〜
—1
0,
应选(D).
方法点评：本题考查定义法求特征值及相似矩阵•注意如下几点：
(1)设A为”阶矩阵，且入1心…入”工0, A ”+i =••• =A ” =0 ,r (A)不一定等于非零特征值
(0 1 — 1 \
0 0 1 ，显然入 1=1,入2 =入3 =0,但 r(A) = 2Hl.
0 0 1 '
但当A为n阶可对角化矩阵且入1入2…入『工0, Ar+1 =•••=入” =0,则r(A) =r.
(2)与实对称矩阵相似的对角矩阵即由特征值构成的对角矩阵.
(7)【答案】(C).
【解】 P{X-=1}=F{X<1}-P{X<1}=F(1)-F(1-O)
。 厂厂。
T — ―
，
所以选(C).
方法点评：本题需要熟练掌握随机变量分布函数的性质.
设X为随机变量，其分布函数FQ)具有如下四个特征：
(01) £F(h) < 1;
(F2Q)) 单调不减；
(F3Q)) 右连续；
(F4() — °°) =0,F (+ °°) = 1.
反之，若F(工)具有(1)〜(4)的特 ， F )为分布函数.另夕卜，若FQ)为分布函数，则
(1) P{X +8 e In 工 j: - 1 - - 一 - I - n - I - x n -- - x --—— 1 9
x
1
故 lim ( z 攵 一 1
e・
(16)【解】 如图所示，由奇偶性得
J (j?3 3x2y + + 3/3 )djr dj/ = + 3xy2 )djr dy
D D
5/1+3/2
=2fd.
(73 + 3a:y2 )dx
J 0 42 y
•于+討b
2
丄 ■1 fl
[(1 + y2)2 — 4j/4]dj/ + 3 I [j/2 (1 + y 2 )—2^4]dj/
0
丄 1 14
(1 ~h 2y2 一 3j/4 ) dj; + 3 | (y2 —y4 )dy
=15'
0
(17)【解】 令 FQ，" —入)=xy + 2yz + A (jc2 + 夕2 +/ — 10),
F： =y + 2Xx = 0 9
Ff = x + 2^ + 2Aj/ = 0,
由由丿丿：： 得可能的最值点为
F z = 2y + 2入 n = 0 9
F； =jc2 + j/2 +^2 - 10=0,A(1,a/^,2), B (—1 ,—2), C(l,—a/^,2), D (—1,—,—2), E (2扼,0,—麗),
尸(一 施, 施)，
2 0,
在点A ,D处"=5岛；在点B ,C处"=—5岛，在点E,F处u —0,
故"max =5 站， "min = — 5 岛.
(18) 【解】(I )因为当 0 < 1 时，ln(l +/) £ / ,
所以 |lnt|[ln(l+t)]"W/Tln/|，于是[|ln/|[ln(l+/)]"ckw[t"|ln/|dt.
J 0 J 0
(II)因为 0 W [ | In / | [ln(l + / )]" dt W [ /"|lnt|ck ,
J 0 J 0
而]广| In £ | ck =----- J In td(t卄】)=-------In t | _J 广 d£ )
1 , 1 1 盲，
=-------tn+i In t + --------------
兀 + 1 (72 + I)'
o
t _ _1_
因为 limZz,+1 In t =—= — lim ―^- = 0：所以 \ | In | dz =-----------,
/->0 工*+°-° 工“ Jo (7?+1)
故 | In / | [ln(l +/)]"山 W --- ,
(w + 1)
Jo
由夹逼定理得 lim“” = lim | | In Z | [ln( 1 + /)]" d/ = 0.
8 “fOoJ 0
方法点评：本题考查不等式的证明与夹逼定理求极限.不等式证明过程中注意使用如下
常用不等式：
(1) 当卫 W(0,守)时，sin 広 < 工 V tan x ；
(2) 当乂 $ 0 时 9 sin 无 £ 乂 ；
(3) 当 x >0 时 9 ln( 1 + j;)
