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2010年数学（二）真题解析
一、选择题
（1）【答案】（E）.
【解】 显然x =o,j? = 士 1为7"（工）的间断点.
由） = lim X A =哮，得工=1为f）的可去间断点,
X 一 X a/1 + JC . \/l + J? 2
由 lim/(jr ) = lim 2--------------------= — lim --------—-— =—1
工一＞0 x*O- x — 1 —工 十0一 工十1 9
T 2 一 T /l I r 2~ /l I 2~
lim f{x ） = lim —--------------------= lim -------—— = 1,得工=0 为 f {x ）的跳跃间断点,
工->°+ 工―°+ 工 一 1 乂 工*-。+ Z 十丄
由lim f（j： ）=oo,得工=-~ 1为/（x ）的无穷间断点，应选（E）.
•Z f—1
（2） 【答案】（A）.
〜 P（H ）夕1 =q（_z）,
【解】 由夕1，夕2为y + p （z ）y =q（_z ）的解得（,
3 2 + P）夕2 =9（攵）.
若小1 +〃夕2为一阶非齐次线性微分方程夕'+ p（.工=qO 的解，贝Q
（入:Vi + ”夕2）' + 力（工）（小1 十阳2）= g（z）,
整理得入［”1十〃（工）夕1］+〃［『2 +戶（2）夕2］=9（工），即（入+ p）q（H）= q（_z）,
因为q（z）H0,所以入+ 〃=1;
又若入％ 一 口》2为一阶微分齐次方程夕‘ + /（H）y =0的解，贝〔J
入［『1 + ）力］一 〃［》'2 十/（2）夕2］ = 0,
整理得（入一〃）q（z） = 0,因为<7 （x ） H 0,所以A — 11 = 0,于是入=〃 =* ，应选（A）.
方法点评：本题考查线性微分方程解的结构与性质，事实上本题可以直接应用如下性质：
设力，％，…，几 为一阶非齐次线性微分方程j/+p（H）y=q（H）的一组解，则
（1） 局加+^2^2 + ••• +^s 0,若lim )dz存在，则称反常积分| f (x )dz收敛，否则称为
J a
发散.
判别法：设lim (工一a )kf(x ) —A (H °°)，则当0 V & V 1,0 W A V+ °°时，反常积分
—a+
hfC.c)dx 收敛；当 > 1,0 < A <4-oo 时，反常积分 |A/(j7)dx 发散.
(2)设/(工)6 C[a』)，且/(工)在戈=b的左邻域内无界.
Cb—€/(J：)cLz存在，则称反常积分「yGHcLr收敛，否则称为
定义法：对任意的e > 0,若lim
发散.
判别法：设lim kb — x V f Cx ) =A (工°°)，则当0 < b V1,O£A V+ 时，反常积分
x-^b~
hf(x)dx收敛；当> 1,0 < A <+oo时，反常积分| 'bf(_z)cLz发散.
(5)【答案】(B).
【解】方法一复合函数求导法则
3z
X ------N
y n OX
F( — 9—) = 0两边对x求偏导9得一 4
2
F；= 0,解得〒=p(yF；+zF；)；
X X x JC 3C JC1^ 2
2_ —)=0两边对y求偏导9得一F1 ~\-----F； z— = 0 9解得茫=—9
F ，
X > X X oy dy 2
X
于是 2 字 +夕学=吉(卯：+ zFf2) — =N，应选(E)・
竝 dy 0 2 F2
方法二 公式法
令 GQ ,y,z) =F
(7,7)5
• 91 •
淘宝店铺：光速考研工作室由 G：= —三码— F； 9 G； =—F： G； =—F；9得
9
2 E
3C X
‘ (+笃 F； 7F，i 町
3z X x X 1 / / dz
3 j：
FT- =-------
1
;- ---- ------
=—=^ 2 (yF}
+旳)， —=~
丄肥 可'
G — —户j-a/2 y
X X
于是工 話+ 垮=寺(曲 +zF；)-专■=?,应选(B).
方法三 全微分法
F 工，三=0两边求全微分，得 f)4 f 0,
X X f
j?dv — y^jc ,厂‘ xdz — zdz . u k士
整理得F；・ ------------F2------------&------= 0,从而有
x2 x2
1 F'i
dz = —=rr(yF〕+ zF2)dj：—讦dy ,
xF 2 F 2
于是$ =冷厂
（W +川2）
ox xr 2
兀，
故工空+ v空=丄
(yF\+zF\)~yA=z9
dx±y dy F‘2
应选（E）.
（6）【答案】（D）.
1
【解】取。=｛（
2 9
夕）|oWeW19OW»W1｝，/（d）=—、人一|—
9
（1十X 1十夕）
n 1
由若若（小）；+°=异（ ，根据二重积分的定义得
2-
1 + 1 +
5 / _
牙若 Cn + z ) (
n
??2 + j 2 ) ,j/)djrdy =
：(i+J】+7^'应选s
o
D
方法点评：用定积分、重积分等的定义求极限是极限计算的一种重要类型，重点考查定
积分定义求极限.
（1）定积分的定义求极限：lim丄
/(a* )dj?.
n
齐丄 n+j^
【例】求极限lim l+'W? + F i +
【解】
• 92 •
淘宝店铺：光速考研工作室dt
(2)二重积分的定义求极限：lim (o- ,y )cLr djy ,
祝*一8
D
其中 D — {(jc , y) | Wl,OWyWl}.
(7)【答案】(A).
【解】 因为向量组I可由向量组n线性表示，所以r(I)Cr(n),且r(H) Ws.
若向量组I线性无关，则厂(1)=厂，所以r 应选(A).
方法点评：本题考查向量组的秩的性质，应熟练掌握以下几个性质：
(1) 设向量组I可由向量组H线性表示，则r(IXr(II)；
(2) 任何向量组的秩不超过其所含向量的个数；
(3) 向量组线性无关的充分必要条件是该向量组的秩与向量个数相等；向量组线性相
关的充分必要条件是向量组的秩小于向量的个数；
(4) 若向量组I可由向量组II线性表示，但反之不成立，则r( I ) < r( II ).
(8)【答案】(D).
【解】 令AX=AX(XHO),
由(A2 +A)X = (A2 +A)X -0 且X 工0 得入'+入=0,于是入=0 或 A =-1.
1 |
因為小吹込⑷“删“T拓難征值如〜「T
应选(D).
二、填空题
(9) 【答案】Cie2j + C2cos +C3 sin^-(C1,C2,C3 为任意常数).
【解】 特征方程为A3 — 2A 2 + A — 2 = 0,解得特征根为A ! = 2,入2,3 = 士 i，
则原方程的通解为y =CxeT + C2cos x + C3sin x (C] ,C2 »C3为任意常数).
(10) 【答案】y =2x.
"V / 彳 \ — Q 了
【解】 由 lim — = 2 , lim (夕 一 2工)=lim (—勺~(---- 2jc I = lim —-------= 0，
工〜00 X 工〜8 1 / x*°°- X _|— 1
n 3
得曲线y =-F-7的渐近线方程为》=2工.
x + 1
• 93 •
淘宝店铺：光速考研工作室(11)【答案】 -2"(n-l)!.
【解】方法一归纳法
o3 n ■
出
由丿
，
一匸
2
L
〃 22
Iff
::、3'…'根据归纳法得
(1 — 2工严" （1 一 LX ）
；!，于是 3/2(0)= —2” •(77-1)!.
（H）
方法二 麦克劳林公式法
2 (—1)”T
由 ln(l+_z)=H —专- + ••• + ------------X + 0 （工"），
n
o2 r 2 9n
得 y = ln( 1 一 2工)=—2o:-----------\~ ---------xn + o (工")9
L n
(.n) (r\\ (n) / n \ o
又由 =3/(0) + j/(0)«z + … + --------Xn + O (")，得--- -
n ! n ! n
于是y（5(0) = — 2" • G — 1)!.
（12）【答案】I V2(en - 1).
【解】 由 ds = Jt" d + r'2 (0 ) d0 = J2 e° ,得弧长为
丿厂2 (0) + 厂"(0) d9 =麗 e°d0 = (en _ 1).
J 0 a/2~
0
（13）【答案】 3 cm/s.
& dw
【解】矩形对角线长度为z=Vl2+w2 M— =2，〒一=3,
dt dt
d/ dw
/ — + w —
dz dz 12X2 + 5X3 c
等式z = 两边对t求导，得手=
----, -=3,
at Jl2 +w2 (12,5) yi22 +52
故对角线增加的速率为3 cm/s.
（14）【答案】 3.
| 旷 | = ||AB+E|
【解】 方法一 |A+ B 1 |= \ABB~1 + B 1 | = |AB + E | •
1 1 Q
=y|ab +aat|=
》|
a|・ |b +"|= y|a-] +b|= 3.
方法二 由 A +B 1 =(B !B)A + =B~ (B +A_1)A ,得
|A+ Bm |B+「|・ |A| =骨• |B +「| = 3.
三、解答题
2
(15)[解】f(x)= {jc 2 一 t )e z At = jc2 J te ck 9
J 1 1
2 2 _2
「dz + 2«z3 e-^ — 2工 3「丁 = 2工 e 1 di = 0,得 z = —1口= 0口= 1.
i
方法一 当当 工z e (-OO, - 1)时,y'Q) V 0,当 2 6 (—1,0)时，/'(工)> 0,
W (― oo,
当工 e(0,1)时，/■'&)v o,当工 e(1, + *)时,/7^)> o,
则f(x)的单调增区间为(一1,0)及(1, +*), 单调减区间为(-oo, — 1)及(0,1).
• 94・
淘宝店铺：光速考研工作室fl 2 1
的极小值为于(土 1)=0,极大值为 /(0) = te~' dr = — (1 — e_1).
Jo L
2
方法二 f" a）= 2 e_z dr + 4乂 $ e~x
1
因为 f(± 1) =— > 0,厂(0) = —2〔 1L ck V 0
9
e J
0
所以x = — l,z = 1为 )的极小值点，极小值为/(+ 1) = 0,
/(jc
\e~f2df =^(1 -丄I
x = 0为）的极大值点 极大值为f CO）=
9 2 e
o
/ (工)的单调减区间为(一00 , — 1)及(0,1) 的单调增区间为(一 1,0)及(1, +oo).
方法点评：本题考查变积分限形式表示的函数的单调性与极值.
对变积分限形式的函数，有两个习惯步骤：一是将被积分函数中去除上下限所含的变量
（如本题被积函数中去除工），二是对变化后的函数求导数.本题求单调区间与极值都属于基
础知识范畴.
(16)[解】(I)当 0 < t < 1 时,ln(l +z) < t.
则当 t e (0,1)时，I In / I [ln(l +/)]" < r I In ^ |.
于是J I In / I [ln( 1 + t)]" d/ £ I 1Zn I In r I d/.
J 0
（n）方法一 由(I)得 |lnt|[ln(l+t)]"ckW In t | dr 即
9
J 0
n t | ck
9
而[广| In / | ck 1 *ln zd(r+1) 1 1
n+1In t tndt
J 0 7Z + 1 o z? + 1 0
1 # ”+l 1 J.
lnz o + TTTI)7
1
7+T= 一丄雪严
因为 lira广+" In = lim ~r~ = lim
丄
lo+ lo+ r—o+
,”+l ”+2
ndDn（1+刀了曲w訂行
所以 n / | dt = -----/ ；，从而 0 £
(n + 1) 0
由夹逼定理得limf I In Z I Eln(l + r)]"ck=O.
n->ooJ 0
方法二 0 | In £ | [ln(l + £ln”2j | In £ | d£ 即 0 un ^lnn2 | 1 | In Z | dz ,
9
J 0 0
而 | | In f | dz = — In tdt = — t\n t 1 1
+ At = —t\n t + 1
9
J 0 J 0 0 J 0 0
1
由 limHn t = lim —— = lim ------ = lim (— t) =09 得 n f | ck = 1
9
r—o+ lo+ lo+_____lo+ '
~7 — P
于是0 w win" 2,注意到limlnn2=0,由夹逼定理得lim“” =0.
n —► oo jj ―► oo
• 95 •
淘宝店铺：光速考研工作室dy _^y / At _ 0' ( £ )
(17)【解】
djc dj? / ck 2 + 2t
(2 + 2/)°〃(t) — 2/U)
(2 + 2z)2 = (l+/)0〃(t)—/&)
dx2 djr / dr 2 + 2/ 4(l+z)3
市 d? j/ 3 /曰(1 + /) 0〃(t) — 0，(£) 3
由時=4(1+/)，侍 4(1 + 刀3 = 4(1 + /)，
(1 + t )中"(t) —
~3 9
于是得满足初始条件的微分方程为丿 (1 + °
5
°(1) = —, /'(I) = 6.
方法一 由----- ——■~二-------=3,得。(/)一 一屮(/)=3(1+/),
(1+» 1+/
解得/⑺=『3(1 +讥卜丘"曲+Ci］」卜币"= 0(1 +/) + 3/(1 +/),
由力(1) = 6 得 G =。9于是 =3/(1 +1)，
积分得。(上)=”/(1 + t )dr = —t2 + r3 + C? 9
5 3
由 (1)=—得。2=。9 故。(£)= —t2 + 上3・
S'得/ ［帛〔=3'从而豊2 =別+°，
方法二
(1 + z)2
或 0Z(z) = 3/(1 + /) + Ci(l + /).
由 °'(1) = 6 得 Ci =。9于是 /(£)=3/(1 +1) 9
积分得 / (f) = j*3^ (1 + /)df = —t2 + t3 + C2 ?
5 3
由 °(1)=㊁得 C? =。9故 0(才)=—t2 + t3・
方法点评：本题是参数方程求导数与微分方程综合问题，先求导数9根据所给条件得到
微分方程，解微分方程，并根据初始条件求出未知函数，本题微分方程的解法二注意掌握.
(18)【解】 建立如图所示的坐标系，油罐底面为椭圆方程3 + ^ = 1，
a b
方法一 工轴下方的半椭圆面积为S*7ria=b,
设工轴上方的阴影部分面积为S2，
・96・
淘宝店铺：光速考研工作室ab 6 (1 + cos 2t) ck = ab T + Tsin
o 血 o
截口面积为S=S|十S2 = （竽+晋 必体积为—俘+
abl 9
故油的质量为m =pV
方法二 设油面高度上方截口面积为Si，
2ab^ : cosLdt
t • 6 cos t^t
•| + *sin 2t T 7T
ab n (1 + cos 2才)dr =ab
7
石
孚+的
43
油面截口面积为S =nab —ab 7T
2
孚+ abl ,故油的质量为m =pV = 兀 ^3
体积为V = Sl ablp.
T + T
CQ\r的、 3u —3u 韭丄 3“ 3r] _3u du
(19)【解】 狂=亦•狂+石•狂=亦+斫
dx
乜 du 3^: ,dduu ddr) dduu du
• ----1 _ =tz — + 6 ,
3y 0 E d y)3r) SyJ d3g^ dr/
d2 U a2 U 弋 _ d2u a77 , 32u 3^ d2 u 3r)_^u 32 u , 32u
dj： 2 d^ — 2 • 。工 |~- - d - ^ -- d - r - j - •-- d -- x - --| F 3 c rjd c ^ . - • dx d _ r 2 l * 狂—走十2 3^dr）吋 9
可
d2u /32u 3^ d2 u 92 U 二+乜.辺
+ b
时=° \3^2 d y dgdrj d y dr]d^ dy (?^2 3y /
2 W d2 u 2 d2u
=a T皆TT + 2ab --------H b
d^dr) 3r)2 9
32 U d2 u 3f d2 U + -d2 —u • 33^^ d2 u 3r)
• -—H c — • — —| ---- •——
dj： dy dy ' d^drj dy ' dr/3^ dyJ Qr)2 d y
d2 u d2 U
=CL —- +(Q + b )
此2
代入原方程得
护 g2 d2u
(5(22 + 12a +4) —- + [_10ab + 12(a + b) + 8] + (5胪 + 12b+4) —7 0,
d^drj 3V
5q2 + 12q + 4 = 0 9 =—2， £
a
由题意得・ 562 + 126+4=0, £或
lOtzZ? + 12(q + b) + 8 H O9 b = 一 2.
方法点评：（1）变换前函数关系为u -/（a- ,3/）,在变换 +ay,r/=x +by下，函数
& — t （工 v ）
关系变为u = u（E,r］）, 即W诃为中间变量，利用复合函数求导数的法则可求
4 =少（尤,夕）,
• 97 •
淘宝店铺：光速考研工作室卩
出__2 _U ____II_ d_ 2 _U_
