文档内容
第 03 讲 平面向量基本定理及其拓展
（“爪子定理”）（高阶拓展）
（3 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023年全国乙卷文数，第6 数量积的运算律
用基底表示向量
题,5分 数量积的坐标表示
2022年新I卷，第3题,5分 用基底表示向量 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1.理解平面向量基本定理及其意义
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
3.掌握基底的概念及灵活表示未知向量
4.会综合应用平面向量基本定理求解
【命题预测】本节一般考查平面向量数量积基本定理的基底表示向量、在平面几何图形中的应用问题，易
理解，易得分，需重点复习。
知识讲解1.平面向量基本定理
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一
1 2
对实数λ ，λ ，使a＝λ e ＋λ e .
1 2 1 1 2 2
其中，不共线的向量e ，e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
1 2
（1）．基底e ，e 必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
1 2
（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
应用平面向量基本定理应注意的问题
(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．
(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、
减运算或数乘运算.
3. 形如 条件的应用（“爪子定理”）
“爪”字型图及性质：
A
（1）已知 为不共线的两个向量，则对于向量 ，必存在 ，使得
。则 三点共线
B D C
当 ，则 与 位于 同侧，且 位于 与 之间
当 ，则 与 位于 两侧
时，当 ，则 在线段 上；当 ，则 在线段 延长线
A
上
（2）已知 在线段 上，且 ，则
B m D n C
3、 中 确定方法
（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定
（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程 ，可考虑两边对同一向量作数
量积运算，从而得到关于 的方程，再进行求解
（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于 的方
程，再进行求解
考点一、 基底的概念及辨析1．（2024高三·全国·专题练习）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2024高三·全国·专题练习）如果 是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作
为平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
3．（2023高三·福建·阶段练习）下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
1．（2023·陕西西安·一模）设 ，下列向量中，可与向量 组成基底的向量是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高三·全国·专题练习）设 为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是
（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
考点二、 平面向量的基本定理综合
1．（2022·全国·高考真题）在 中，点D在边AB上， ．记 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（全国·高考真题）在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则A． B．
C． D．
3．（2024·陕西安康·模拟预测）在 中， 是 的中点， 与 相交于点 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
1．（广东·高考真题）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与
CD交于点F，若 ， ，则
A． B． C． D．
2．（2024·山西吕梁·三模）已知等边 的边长为1，点 分别为 的中点，若 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）在 中，点 是 的中点， 点分 的比为
与 相交于 ，设 ，则向量 （ ）
A． B． C． D．
考点三、 “爪子定理”的综合 应用
1．（全国·高考真题）设 为 所在平面内一点，且 ，则（ ）
A. B.C. D.
2. 如图，在 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为（
）
A. B. C. D.
3. 如图，在 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为（
）
A. B. C. D.
1．（2024·云南昆明·一模）在 中，点 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·广东广州·一模）已知在 中，点 在边 上，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，在 中，点 在 的延长线上，
，如果 ，那么（ ）A． B．
C． D．
4．（2023·江苏苏州·模拟预测）（多选）在 中，记 ， ，点 在直线 上，且
.若 ，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．2
1．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量 、 ，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底
的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
2．（2024·浙江绍兴·二模）已知四边形 是平行四边形， ， ，记 ， ，
则 （ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形 中， ，记 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·山东济南·二模）在 中， 为边 的中点， ，则 （ ）
A． B．C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知等边三角形 的边长为2， 为 的中心， ，垂足为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陕西安康·模拟预测）在梯形 中， 为线段 的中点， ，则
（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·四川·模拟预测）已知平行四边形 中， 为 中点. 为线段 上靠近点 的四等分点，
设 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在梯形 中， 且满足 ，E为 中点，F为线段
上靠近点B的三等分点，设 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
9．（2024·广东汕头·三模）已知四边形 是平行四边形， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·广东佛山·模拟预测）在 中， ，若 ，线段 与
交于点 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
一、单选题1．（2024·福建漳州·模拟预测）在 中， 是边 上一点，且 是 的中点，记
，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁·二模）已知平行四边形ABCD，点P在 的内部（不含边界），则下列选项中，
可能的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·湖南·一模）在 中，点 满足 为 重心，设 ，则 可
表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高三上·全国·阶段练习）在平行四边形 中， ， ，若
，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在菱形 中， ， ， 分别为 上的点，
， ．若线段 上存在一点 ，使得 ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·河北衡水·模拟预测）在 中， 是 的中点，直线 分别与 交于点 ，
且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2024·宁夏银川·模拟预测）在 中， ，过点 的直线分别交直线 、 于点 、 ，且 ，其中 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2024·河北廊坊·模拟预测）如图，在矩形 中， 是 的中点， 是 上的一
点，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）如图，在 中， ，点 是 的中
点，点 在边 上， 交 于点 ，设 ，则 ；
点 是线段 上的一个动点，则 的最大值为 ．
10．（2024·天津·模拟预测）如图，在 中， ， ， ，D是边 上一点，
且 .若 ，记 ，则 ；若点P满足 与
共线， ，则 的值为 .1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点（如图所示），设
， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．（全国·高考真题）在 中， ， ．若点 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（·全国·高考真题）在 中， 是 边上一点.若 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
4．（全国·高考真题） 中，点 在 上， 平分 ．若 ， ， ， ，
则
A． B． C． D．
5．（安徽·高考真题）在 中， ，M为BC的中点，则 _______．
（用 表示）
6．（北京·高考真题）在△ABC中，点M，N满足 ，若 ，则x＝
，y＝ .
7．（江苏·高考真题）如图，在 中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点 .
若 ，则 的值是 .
