文档内容
第 03 讲 圆中的切线方程、切点弦方程及圆系方程
（高阶拓展、竞赛适用）
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
切线长
2024年新Ⅱ卷，第10题,6分 圆中切线问题 根据抛物线方程求焦点或准线
直线与抛物线交点相关问题
给值求值型问题
2023年新I卷，第6题,5分 圆中切线问题
余弦定理解三角形
2022年新I卷，第14题,5分 圆的公切线方程 判断圆与圆的位置关系
2021年新I卷，第11题,5分 切线长 直线与圆的位置关系求距离的最值
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等，分值为5-6分
【备考策略】1.熟练掌握圆中切线问题的快速求解
2.熟练掌握圆系方程的快速求解
【命题预测】本节内容是新高考卷的拓展内容，需要大家掌握二级结论来快速解题，需强化练习知识讲解
一、圆中切线问题
1. 已知圆方程为: ,
若已知切点 在圆上,则切线只有一条,其方程是:
2. 已知圆方程为: ,
若已知切点 在圆上,则该圆过 点的切线方程为 ;
3. 已知圆方程为圆: .
(1)过圆上的 点的切线方程为 .
(2)过圆外一点 作圆的两条切线,则切点弦方程为 .
4. 过圆外一点 引圆(标准方程,一般方程)的切线长度
一般方程 (标准方程)
二、常见的圆系方程
1、同心圆圆系
(1)以 为圆心的同心圆圆系方程: ;
(2)与圆 同心圆的圆系方程为: ;2、过线圆交点的圆系
过直线 与圆 交点的圆系方程为:
;
3、过两圆交点的圆系
过两圆
交点的圆系方程为 ,此圆系不含
)
(1)特别地,当 时,上述方程为一次方程,两圆相交时,表示公共弦方程;两圆相切时,表示公切线方程.
(2)为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过 ,可等价转化为过圆 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:
考点一、 过圆上一点的切线问题
1．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）过点 作圆 的切线l，求切线l的方程
2．（23-24高三下·福建·开学考试）过点 的直线l与圆 相切，则直线l的方程
为（ ）
A． B． C． D．
1．（22-23高二上·上海浦东新·期中）已知圆 ，则过点 的圆的切线方程为 .
2．（11-12高二上·浙江杭州·期中）圆 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
考点二、 过圆外一点的切线问题1．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）过点 且与圆 ： 相切的直线方程为
2．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）过点 作圆 的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
3．（2023·全国·模拟预测）已知圆 ，过点 作圆 的两条切线，切点分别为
A，B，则 的正切值为（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆 ，则过点 的圆 的切线方程是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高二上·湖南岳阳·期中）经过 向圆 作切线，切线方程为（ ）
A．
B．
C． 或
D． 或
3．（2024高三·全国·专题练习）设过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
考点三、 切点弦方程
1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆 外一点 ，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 和 ，则直线 的方程为 .
2．（2024·浙江·模拟预测）过点 作圆 ： 的两条切线，切点分别为 ， ，则原
点 到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·全国·模拟预测）已知圆 ： ，点 ，若直线 分别切圆 于
两点，则直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆 外一点 ，过点 作圆 的两条
切线，切点分别为 和 ，则直线 的方程为 .
考点 四 、 切线长
1．（2024·四川攀枝花·三模）由直线 上的一点 向圆 引切线，切点为 ，则 的最
小值为（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知P为直线 上一点，过点P作圆 的一条切线，
切点为A，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
1．（24-25高三上·陕西·开学考试）由直线 上的一点向圆 引切线，则切线段的最小
值为（ ）
A．3 B． C． D．
2．（24-25高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知圆 ，过直线 上的动点 作圆
C的一条切线，切点为A，则 的最小值为（ ）A．2 B．4 C． D．3
考点 五 、 圆中的公切线问题（含根轴）
1．（23-24高三下·山东·开学考试）圆 和圆 的公切线
方程是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
2．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）（多选）已知直线 与圆 ： 和圆 ：
都相切，则直线 的方程可能为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·河北张家口·三模）圆 与圆 的公切线的方程为
．
2．（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）与圆 和圆 都相切的直线方程是
．
考点 六 、 圆系方程
1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆系方程 （ ，m为参数），这些圆的公
切线方程为 .
2．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆 与圆 相
交，我们把经过圆 和圆 交点的圆称为圆 、圆 的圆系方程，其方程可设为
．根据以上信息，解决如下问题：已知圆
与 交于 两点，则以 为直径的圆的一般方程为 ．1．（2023高三·全国·专题练习）（多选）已知圆 和圆 相交于
两点，下列说法正确的是（ ）
A．所有过点 的圆系的方程可以记为 （其中 ，
）
B．直线 的方程为
C．线段 的长为
D．两圆有两条公切线 与
一、单选题
1．（23-24高二上·江苏连云港·期中）圆 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高三·全国·专题练习）过点 向圆 引两条切线，切点是 、 ，
则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
3．（23-24高三上·浙江·阶段练习）过圆 上点 的切线方程为 ．
4．（2023·天津武清·模拟预测）已知点 ， ，经过点 作圆 的切线与 轴交
于点 ，则 ．
5．（23-24高三上·湖北·开学考试）已知过点 作圆 的切线，则切线长为 .
6．（23-24高三上·河北邢台·期末）已知圆 ，过 作圆 的切线 ，则直线 的倾斜角
为 ．
7．（2023·江西·二模）已知圆 ，圆 .请写出一条与两圆都相切的直线方程：.
8．（2023·河南·模拟预测）写出与圆 和圆 都相切的一条直线的方程
.
9．（22-23高二上·河北邢台·期末）已知圆 的方程为 ，则过点 的圆 的切线方程为
.
三、解答题
10．（2024高三·全国·专题练习）平面上有两个圆，它们的方程分别是 和
，求这两个圆的内公切线方程．
一、单选题
1．（23-24高三上·广西百色·阶段练习）圆 ，圆 ，则两圆的
一条公切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二上·江西·阶段练习）过点 作圆 ： 的切线 与 轴交于点 ，过
点 的直线 与 ， 轴及 轴围成一个四边形，且该四边形的所有顶点都在圆 上，则点 到直
线 的距离为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
3．（23-24高二上·广东·期末）在平面直角坐标系 中，已知圆 ，若圆
上存在点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足 ，则实
数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知圆M： ，P为x轴上的动点，过点P作圆
M的切线切 ， ，切点为A，B，则四边形 面积的最小值为（ ）
A．2 B． C．2 D．5．（23-24高三上·浙江·开学考试）过圆 上一点 作圆 的两条切线
，切点为 ，当 最大时，直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
6．（2023·全国·模拟预测）已知圆C： ，P是直线l: 上的一个动点，过点P作圆C
的切线PA，PB，切点分别是A，B，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆C上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长PA的最小值为1
C． 的最小值为 D．直线AB恒过定点
7．（2023·广西·模拟预测）已知圆 ： ，点 为直线 ： 上一动点，点 在圆 上，
以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线 与圆 相离
B．圆 上有2个点到直线 的距离等于1
C．过点 向圆 引一条切线 ，其中 为切点，则 的最小值为
D．过点 向圆 引两条切线 、 ， 、 为切点，则直线 经过点
三、填空题
8．（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）写出与圆 和圆 都相切的一
条直线的方程 .
9．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）过点P向圆 作切线，切点为A，过点
P向圆 作切线，切点为B，若 ，则动点P的轨迹方程为
10．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知圆 ，过直线 上一动
点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则 的最小值为 ．
1．（2024·全国·高考真题）（多选）抛物线C： 的准线为l，P为C上的动点，过P作
的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）A．l与 相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当 时，
D．满足 的点 有且仅有2个
2．（2023·全国·高考真题）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）写出与圆 和 都相切的一条直线的方程
．
4．（2021·天津·高考真题）若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则
．
5．（2021·全国·高考真题）（多选）已知点 在圆 上，点 、 ，则
（ ）
A．点 到直线 的距离小于
B．点 到直线 的距离大于
C．当 最小时，
D．当 最大时，
6．（2020·全国·高考真题）已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动点，
过点 作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
