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专题 03 勾股定理的基本应用
勾股定理是中学数学几个重要定理之一。它揭示了一个直角三角形三条边之
间的数量关系，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大。勾股
定理的验证和应用在理论上占有重要地位，学好本节至关重要。
【新方法解读】
考点1 求线段长
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形 ABC的两直
角 边 长 分 别 为 a，b， 斜 边 长 为 c， 那 么
a2 b2 c2
.
考点2 求面积
类型一 直角三角形中求斜边上的高
类型二 结合乘法公式巧求面积或长度
类型三 巧妙割补求面积
类型四 “勾股树”及其拓展类型求面积
考点3 解直角三角形
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在 中， ，则 ， ，
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
考点4 利用勾股定理证明平方关系
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以 .
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以 .
【夯实基础】
1．（2022 秋•城关区校级期末）如图，两个较大正方形的面积分别为 225，
289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
2．（2022秋•东港市期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，则
BC的长为（ ）
A．3 B．3或 C．3或 D．
3．（2022秋•渝中区校级期末）如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每
个小正方形的边长均为 1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么
△ABC中BC边上的高的长度是（ ）A． B． C． D．
4．（2022秋•渝中区校级期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角
形都是直角三角形，若正方形 A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则
最大正方形E的面积是（ ）
A．20 B．26 C．30 D．52
5．（2022秋•丰城市校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
垂足为D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
6．如图，分别以直角三角形的三边为斜边向外作三个等腰直角三角形，面积分
别是S ，S ，S ，则它们之间的关系是（ ）
1 2 3
A．S ﹣S ＝S B．S +S ＝S C．S +S ＜S D．S ﹣S ＝S
1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 17．（2022春•潜山市月考）如图，点E是正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°．
若AE＝2，BE＝3，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．10 B．13 C．36 D．169
8．（2022秋•卧龙区校级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，
现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝
2，BC＝4，则AB2+CD2＝ ．
9．（2022秋•海陵区校级期末）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，
绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示．在图 2中，若
正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形
EFGH 的 边 长 为 ．10．（2022秋•门头沟区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝
8．求BC边上的高的长．
11．（2022秋•武侯区校级期中）已知：如图，在四边形 ABCD中，AB＝a，
BC＝b，CD＝c，DA＝12，∠ABC＝90°，且 a、b、c三边满足|2a+b﹣11|+
+c2+169＝26c．
（1）求a、b、c的值；
（2）求四边形ABCD的面积．
12．（2022春•兰山区期末）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有
两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由，C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H（A，H，B在一条直线
上），并新修一条路CH，测得CB＝3km，CH＝2.4km，BH＝1.8km．求原来
的路线AC的长．
13．（2022秋•南关区校级期末）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得 AB
＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°．求阴影部分的面积．
14．（2022秋•临汾期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是 1，点A、
B、C、D都在格点上．
（1）线段AB的长度是 ，线段CD的长度是 ．
（2）若EF的长为 ，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三
角形，并说明理由．
15．（2022•南京模拟）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的△ABC，请你根据
所学的知识回答下列问题：
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求BC边上的高．
16．（2022秋•杨浦区期中）如图（1）所示，大正方形ABCD是由四个大小、
形状都一样的直角三角形和小正方形EFGH拼成，设直角三角形较长的直角
边（如：AF）为a，较短直角边（如：BF）为b．
（1）用含a，b的代数式表示大正方形ABCD的面积S；
（2）图（2）是由图（1）变化得到，它是由八个大小、形状都一样的直角
三角形和小正方形 MNKT 拼接而成．记图（2）中正方形 ABCD、正方形
MNKT的面积分别为S 、S 若S +S ＝10，S ﹣S ＝8，求直角三角形与正方形
1 2 1 2 1 2
EFGH的面积．17．（2022秋•滕州市校级月考）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的
数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公
式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释．
（1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；
（2）如图 2，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以
Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为 S ，S ，S ，试猜想S ，S ，S
1 2 3 1 2 3
之间存在的等量关系，直接写出结论．
（3）如图3，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第
（2）问的结论是否成立？请说明理由．
（4）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，三边分别为5，12，13，分别以
它的三边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积．18．（2022 秋•二道区校级期末）定义：如图，点 M，N 把线段 AB 分割成
AM、MN、NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点
M、N是线段AB的勾股分割．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，
BN＝6，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝30，
AM＝5，求BN的长．【能力提升】
19．（2022 秋•南京期末）如图，在等腰 Rt△ACB 中，∠ACB＝90°，AC＝
BC，且AB＝2 ，以边AB、AC、BC为直径画半圆，其中所得两个月形图
案AFCD和BGCE（图中阴影部分）的面积之和等于（ ）
A．8 B．4 C．2 D．4
20．（2022秋•辉县市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC
的三边为边向外做正方形 ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，
CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为
S ，S ，若S ＝4，S ＝7，则S ：S 等于（ ）
1 2 1 2 △ACP △BCPA．2： B．4：3 C． ： D．7：4
21．（2022秋•增城区期末）如图，Rt△ABO中，∠A＝90°，AO＝2，AB＝1．
以BC＝1，OB为直角边，构造Rt△OBC；再以CD＝1，OC为直角边，构造
Rt△OCD；…，按照这个规律，在 Rt△OHI 中，点 H 到 OI 的距离是
（ ）
A． B． C． D．
22．（2022秋•佛山校级期末）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，
AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间
为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．23．（2022•渠县校级开学）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，
点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．
（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长；
（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
