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专题 05 两直线的位置关系
（知识点梳理+典例剖析+变式训练）
【知识点梳理】
1.两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行（表示符号
“∥”）
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来
也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）判断同一平面内两直线的
位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）
2.对顶角：我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且角的两边互
为反向延长线的两个角叫做对顶角。对顶角的性质：对顶角相等。
3.余角：定义：如果两个角的和是900，那么称这两个角互为余角。
性质：同角或等角的余角相等。
4.补角：定义：如果两个角的和是1800，那么称这两个角互为补角。
性质：同角或等角的补角相等。（了解邻补角）
5.垂线
⑴定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直
线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点
C
叫做垂足表示符号“⊥”。
符号语言记作：如图所示：AB⊥CD，垂足为O:
A O B
⑵性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D
⑶性质 2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最
短。简称：垂线段最短。
6、垂线的画法：
⑴过直线上一点画已知直线的垂线；
⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意：
①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；
②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。
垂线的画法（以线段外过一点做线段的垂线，垂足不在线段上为例）
用直角三角板画垂线，可简单地说成：“一落”、“二过”、“三画”、“四
标”．
如图1，线段BC，过 点A作线段BC的垂线，垂足为点
D.
图1
“一落”： 将三角板一条直角边紧贴已知直线上.
我们要过点A作线段BC的垂线，获得垂线段AD，可先用三角板的一条直角边与
BC重合在一起，另一条直角边落在点A的同一侧；不盖住点A．(如图2)
“二过”： 使三角板的另一直角边经过已知点．
用铅笔尖点住A点，使三角板保持与BC重合，沿线段BC慢慢移动，到三角板
的另一直
角边刚好
靠近点
A(铅笔尖)时停下来。(如图3)
图2 图3 图4
“三画”： 沿已知点所在直角边画直线．
按紧平移后的三角板，用铅笔从A点开始沿这条直角边画直线，很明显这条直线不与线段BC相交，于是我们只需把BC延长(或反向延长)与这条直线相交．
(如图4)
“四标”：标出直角标号“┓”
由画出的延长线与作的直线相交而获得了垂足，我们可在交点处标上垂直符号
“┓”，并标上字母符号“D“．(如图4)到此，垂线段AD便作出了．
7.点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
如图，PO⊥AB，同P到直线AB的距离是PO的长。PO是垂线段。PO是点P到直
线AB所有线段中最短的一条。
注意：距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。
现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。
【经典题型】
考点1 余角和补角
【典例1】（2021秋•巫溪县期末）若∠A＝48°，则∠A的补角的度数为（ ）
A．42° B．52° C．132° D．142°
【答案】C
【解答】解：180°﹣48°＝132°．
故选：C．
【变式1-1】（2021秋•临汾期末）两直角三角板按如图所示方式摆放，若∠1＝25°，则
∠2等于（ ）
A．45° B．55° C．60° D．65°
【答案】D【解答】解：由图可知，∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝25°，
∴∠2＝90°﹣25°＝65°，
故选：D．
【变式1-2】（2021秋•滑县期末）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O
点，若∠AOD＝30°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
【答案】A
【解答】解：由题意可知：∠AOD+∠DOB＝∠COB+∠DOB＝90°，
∴∠COB＝∠AOD＝30°，
故选：A．
【变式1-3】（2021秋•东莞市期末）若∠A＝64°24′，则∠A的补角等于（ ）
A．25°36′ B．25°24′ C．115°24′ D．115°36′
【答案】D
【解答】解：∠A的补角度数为180°﹣∠A＝180°﹣64°24′＝115°36′，
故选：D．
考点2 相交线
【典例2】（2020秋•奉化区校级期末）观察如图，并阅读图形下面的相关文字：
两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最
多有6个交点……
像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（ ）
A．100个 B．135个 C．190个 D．200个
【答案】C【解答】解：2条直线相交最多有1个交点，1＝ ×1×2，
3条直线相交最多有3个交点，3＝1+2＝ ×2×3，
4条直线相交最多有6个交点，6＝1+2+3＝ ×3×4，
5条直线相交最多有10个交点，10＝1+2+3+4＝ ×4×5，
…
n条直线相交最多有交点的个数是： n（n﹣1）．
20条直线相交最多有交点的个数是： n（n﹣1）＝ ×20×19＝190．
故选：C．
【变式2-1（2021春•自贡期末）在墙上要钉牢一根木条，至少要钉两颗钉子．能解释这一
实际应用的数学知识是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．直线比线段长
D．两条直线相交，只有一个交点
【答案】B
【解答】解：在墙上固定一根木条，至少需要钉两颗钉子．能解释这一实际应用的数学
知识是两点确定一条直线．
故选：B．
【变式2-2】（2021秋•滨湖区期末）在同一平面内的三条直线，它们的交点个数是 ．
【答案】 0 个或 1 个或 2 个或 3 个
【解答】解：当三条直线互相平行，交点是个0；
当两条直线平行，与第三条直线相交，交点是2个；
当三条直线两两相交交于同一点，交点个数是1个；
当三条直线两两相交且不交于同一点，交点个数是3个；
故答案为：0个或1个或2个或3个．
【变式2-3】（2021春•饶平县校级期末）观察图形，并阅读相关的文字，回答：10条直线
相交，最多有 交点．【答案】45
【解答】解：∵10条直线两两相交：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多
有6个交点，
5条直线相交最多有10个交点，而3＝ ×2×3，6＝ ×3×4，10＝1+2+3+4＝ ×4×5，
∴十条直线相交最多有交点的个数是： n（n﹣1）＝ ×10×9＝45．
故答案为：45．
考点3 垂线段最短
【典例3】（2021秋•溧阳市期末）点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，PA
＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线l的距离（ ）
A．小于2cm B．等于2cm C．不大于2cm D．等于4cm
【答案】C
【解答】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离≤PA，
即点P到直线l的距离不大于2．
故选：C．
【变式3-1】（2021秋•石狮市期末）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，则点C
到直线AB的距离是（ ）
A．线段AC的长度 B．线段CB的长度
C．线段CD的长度 D．线段AD的长度
【答案】C
【解答】解：点C到AB的距离是线段CD的长度．
故选：C．【变式3-2】（2021春•龙口市期末）如图，要把河中的水引到水池 A中，应过点A作
AB⊥CD于河岸B，这样做依据的几何学原理是（ ）
A．垂线段最短 B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短
【答案】A
【解答】解：因为直线外一点与直线上各点所有的连线段中垂线段最短，所以最能节约
成本．
故选：A．
【变式3-3】（2021春•新化县期末）如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，
AC＝4cm，BC＝5cm，则点A到BC的距离是（ ）
A．1.2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【解答】解：过D点作BC的垂线，垂足为D，由“面积法”可知，
AD×BC＝ AB×AC，即AD×5＝3×4，
∴AD＝2.4，即点A到BC的距离是2.4cm．
故选：B．
考点4 平行线
【典例4】（2021秋•鼓楼区校级期末）下列说法正确的是（ ）A．不相交的两条直线叫做平行线
B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
C．平角是一条直线
D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线
【答案】B
【解答】解：A．应强调在同一平面内，错误；
B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确；
C．直线与角是不同的两个概念，错误；
D．过同一平面内三点中任意两点，能画出3条直线或1条直线，故错误．
故选：B．
【变式4-1】（2021秋•淅川县期末）下列说法中正确的是（ ）
A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
B．在同一平面内，不相交的两条线段必平行
C．两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等
D．两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行
【答案】D
【解答】解：（1）∵a⊥b，b⊥c，∴a∥c，故A选项错误；
（2）两条不相交的直线必平行，但是线段的长是有限的，故不相交的两条线段不一定
平行，故B选项错误；
（3）只有两条平行的直线被第三条直线所截，所得的同位角才相等，故C选项错误；
（4）如图：
∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠CFE．
∵EN平分∠BEF，FM平分∠CFE，
∴∠NEF＝ ∠BEF，∠MFE＝ ∠CFE，
∴∠NEF＝∠MFE，∴EN∥FM．故D选项正确；
故选：D．
【变式4-2】（2021•杭州校级模拟）在同一平面内，两条直线的位置关系是（ ）A．平行或垂直 B．平行或相交
C．垂直或相交 D．平行、垂直或相交
【答案】B
【解答】解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交，
故选：B．
【变式4-3】（2019春•博白县期末）在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系
是 ．
【答案】 a ∥ c
【解答】解：∵a⊥b，b⊥c，
∴a∥c．
故答案为a∥c．
考点4 角度运算
【典例 5】（2021 秋•晋江市校级期末）如图，AB⊥CD 于点 O，OE 平分∠AOC，若
∠BOF＝18°，则∠EOF的度数为（ ）
A．116° B．117° C．118° D．127°
【答案】B
【解答】解：∵AB⊥CD于点O，
∴∠AOC＝90°，∠COB＝90°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠EOC＝45°，
∵∠BOF＝18°，
∴∠COF＝90°﹣18°＝72°，
则∠EOF＝∠EOC+∠COF＝45°+72°＝117°．
故选：B．
【变式5-1】（2021秋•封丘县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，
若∠2＝40°，则∠1﹣∠3的度数为（ ）A．30° B．25° C．20° D．10°
【答案】D
【解答】解：∵EO⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝90°﹣∠2＝90°﹣40°＝50°，
∵∠2＝∠3＝40°，
∴∠1﹣∠3＝50°﹣40°＝10°．
故选：D．
【变式5-2】（2021秋•滨湖区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，
OF⊥OE，且∠AOC：∠COF＝2：3，则∠DOF的度数为（ ）
A．105° B．112.5° C．120° D．135°
【答案】B
【解答】解：设∠AOC＝2 ，∠COF＝3 ，
∵∠AOC＝∠BOD＝2 ， α α
∵OE平分∠BOD， α
∴∠DOE＝ ，
∵OF⊥OE，α
∴∠EOF＝90°，
∴∠DOE+∠EOF+∠COF＝180°，∴ +90°+3 ＝180°，
∴α＝22.5°α，
∴α∠DOF＝∠EOF+∠DOE
＝90°+22.5°
＝112.5，
故选：B．
【变式5-3】（2021秋•耒阳市期末）如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若
∠CEF＝56°，则∠BED的度数为（ ）
A．24° B．26° C．34° D．44°
【答案】C
【解答】解：∵EF⊥AB于E，∠CEF＝56°，
∴∠AEC＝90°﹣∠CEF＝90°﹣56°＝34°，
∴∠BED＝∠AEC＝34°．
故选：C．
【典例 6】（2021 秋•射阳县校级期末）如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE 平分
∠BOD，OE⊥OF．
（1）若∠DOE＝32°，求∠BOF的度数；
（2）若∠COE：∠COF＝8：3，求∠AOF的度数．
【答案】（1）58° （2）126°
【解答】解：（1）∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝∠EOB，
∵∠DOE＝32°，∴∠EOB＝32°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠BOF＝∠EOF﹣∠EOB＝90°﹣32°＝58°；
（2）∵∠COE：∠COF＝8：3，
∴设∠COE＝8x，∠COF＝3x，
∴∠EOF＝5x，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∵5x＝90°，
∴x＝18°，
∴∠COF＝3x＝54°，
∴∠DOE＝180°﹣∠COF﹣∠FOE＝180°﹣54°﹣90°＝36°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOB＝72°，
∴∠AOC＝72°，
∴∠AOF＝∠AOC+∠COF＝72°+54°＝126°．
【变式6-1】（2021秋•宿城区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE把∠AOC
分成两部分．
（1）写出图中∠AOC的对顶角 ，∠AOE的补角是 ．
（2）已知∠AOC＝80°，且∠COE：∠AOE＝1：3，求∠DOE的度数．
【答案】（1）∠DOB，∠BOE． （2）160°
【解答】解：（1）∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC和∠BOD是对顶角．
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠AOE的补角是∠BOE．故答案为：∠DOB，∠BOE．
（2）∵∠COE：∠AOE＝1：3，
∴设∠COE＝x°，则∠AOE＝3x°，
∵∠AOC＝80°，
∴x+3x＝80，
∴x＝20，即∠COE＝20°，
∴∠DOE＝160°．
【变式6-2】（2021秋•公安县期末） 如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD．
（1）若∠BOD＝30°，求∠EOC的η度数；
（2）若∠BOD：∠EOC＝1：3，求∠AOD的度数；
（3）在（2）的条件下，画射线OF，若∠COF＝90°，请直接写出∠BOF的度数．
【答案】（1）120° （2）144°（3）∠BOF的度数为54°或126°
【解答】解：（1）∵∠BOD＝30°，OB平分∠EOD，
∴∠DOE＝2∠BOD＝60°，
∴∠EOC＝180°﹣∠DOE＝120°；
（2）∵OB平分∠EOD，
∴∠BOD＝∠BOE，
∵∠BOD：∠EOC＝1：3，
∴∠EOC＝3∠BOE＝3∠BOD，
∵∠EOC+∠DOE＝180°，
∴3∠BOD+2∠BOD＝180°，
解得：∠BOD＝36°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝144°；
（3）作OF⊥CD（OF与OE同侧时），如图所示：∴∠COF＝90°，
由 （2）可知∠AOC＝∠BOD＝36°，
∴∠BOF＝∠BOC﹣∠BOE＝144°﹣90°＝54°；
作OF⊥CD（OF与OE不同侧时），如图所示：
∠BOF＝∠DOF+∠BOD＝90°+36°＝126°，
综上所述，∠BOF的度数为54°或126°．
