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专题 03 勾股定理的基本应用
勾股定理是中学数学几个重要定理之一。它揭示了一个直角三角形三条边之
间的数量关系，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大。勾股
定理的验证和应用在理论上占有重要地位，学好本节至关重要。
【新方法解读】
考点1 求线段长
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形 ABC的两直
角 边 长 分 别 为 a，b， 斜 边 长 为 c， 那 么
a2 b2 c2
.
考点2 求面积
类型一 直角三角形中求斜边上的高
类型二 结合乘法公式巧求面积或长度
类型三 巧妙割补求面积
类型四 “勾股树”及其拓展类型求面积
考点3 解直角三角形
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在 中， ，则 ， ，
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
考点4 利用勾股定理证明平方关系
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以 .
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以 .
【夯实基础】
1．（2022 秋•城关区校级期末）如图，两个较大正方形的面积分别为 225，
289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
【答案】D
【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ2＝225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR2＝289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2＝PQ2+QR2，
∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，
则正方形QMNR的面积为64．
故选：D．
2．（2022秋•东港市期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，则
BC的长为（ ）
A．3 B．3或 C．3或 D．
【答案】A
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
由勾股定理得： ，
∴BC的长为3．
故选：A．
3．（2022秋•渝中区校级期末）如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每
个小正方形的边长均为 1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么
△ABC中BC边上的高的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据图形可得：△ABC的面积为：16﹣ ×1×4﹣ ﹣ ＝7，
BC＝ ＝ ，
设△ABC中BC的高是x，
则 BC•x＝7，
∴x＝ ．
故选：D．
4．（2022秋•渝中区校级期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角
形都是直角三角形，若正方形 A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则
最大正方形E的面积是（ ）
A．20 B．26 C．30 D．52
【答案】B
【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S ，C、D的
1
面积和为S ，S +S ＝S ，
2 1 2 3
即S ＝6+10+4+6＝26．
3
故选：B．
5．（2022秋•丰城市校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
【答案】A
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝ ＝ ＝5，
∵CD⊥AB，
∴S ＝ AB•CD＝ AC•BC，
△ABC
∴CD＝ ＝ ＝2.4，
故选：A．
6．如图，分别以直角三角形的三边为斜边向外作三个等腰直角三角形，面积分
别是S ，S ，S ，则它们之间的关系是（ ）
1 2 3
A．S ﹣S ＝S B．S +S ＝S C．S +S ＜S D．S ﹣S ＝S
1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 1
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝90°．分别以AC，BC，AB为斜边向外作等腰直角三
角形，
∴S ＝ AC• AC＝ AC2，S ＝ BC× BC＝ BC2，S ＝
1 2 3
AB• AB＝ AB2，
∵AC2+BC2＝AC2，∴S +S ＝S ，
1 2 3
故选：B．
7．（2022春•潜山市月考）如图，点E是正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°．
若AE＝2，BE＝3，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．10 B．13 C．36 D．169
【答案】B
【解答】解：∵∠AEB＝90°，
∴AB2＝AE2+BE2＝22+32＝13，
∴正方形ABCD的面积＝AB2＝13，
故选：B．
8．（2022秋•卧龙区校级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，
现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝
2，BC＝4，则AB2+CD2＝ ．
【答案】20
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝22+42＝20．
故答案为：20．
9．（2022秋•海陵区校级期末）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，
绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示．在图 2中，若
正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形
EFGH 的 边 长 为 ．
【答案】10
【解答】解：设AH＝a，则HD＝14﹣a，
由图可得，EK＝HD，JK＝2，
∵AH＝EJ＝EK﹣JK＝14﹣a﹣2＝12﹣a，
∴a＝12﹣a，
∴a＝6，
在Rt△AEH中，
∵AH＝6，HD＝AE＝14﹣6＝8，
∴HE＝10．故答案为：10．
10．（2022秋•门头沟区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝
8．求BC边上的高的长．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝ BC＝4，
∴AD＝ ＝ ＝3，
即BC边上的高的长为3．
11．（2022秋•武侯区校级期中）已知：如图，在四边形 ABCD中，AB＝a，
BC＝b，CD＝c，DA＝12，∠ABC＝90°，且 a、b、c三边满足|2a+b﹣11|+
+c2+169＝26c．
（1）求a、b、c的值；
（2）求四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）|2a+b﹣11|+ +c2+169＝26c，整理可得：|2a+b﹣11|+ +（c﹣13）2＝0，
由非负性可得：c＝13，2a+b＝11，4a﹣5b＝1，
解得：a＝4，b＝3，c＝13；
（2）连接AC，
∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，
∴AC＝ ，
∵CD＝13，DA＝12，
即DA2+AC2＝CD2，
∴△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝ ＝ ．
12．（2022春•兰山区期末）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有
两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由，C到A的路现在已经不通，
某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H（A，H，B在一条直线
上），并新修一条路CH，测得CB＝3km，CH＝2.4km，BH＝1.8km．求原来
的路线AC的长．
【解答】解：∵CH2+BH2＝2.42+1.82＝9，BC2＝32＝9，
∴CH2+BH2＝BC2，∴△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°，
∴∠CHA＝90°，
∴AC2＝AH2+CH2，
∵AB＝AC，
∴AH＝AB﹣HB＝AC﹣1.8，
∴AC2＝（AC﹣1.8）2+2.42，
解得：AC＝2.5，
答：原来的路线AC的长为2.5km．
13．（2022秋•南关区校级期末）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得 AB
＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°．求阴影部分的面积．
【解答】解：如图，连接AC．
在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝ ＝10．
∵CD＝24，AD＝26，AC＝10，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S ＝S ﹣S ＝ ×10×24﹣ ×6×8＝120﹣24＝96．
阴影 △ACD △ABC
故阴影部分的面积是96．
14．（2022秋•临汾期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是 1，点A、
B、C、D都在格点上．
（1）线段AB的长度是 ，线段CD的长度是 ．（2）若EF的长为 ，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三
角形，并说明理由．
【解答】解：（1）由图可得，
AB＝ ＝ ，CD＝ ＝2 ，
故答案为： ，2 ；
（2）以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形，
理由：∵AB＝ ，CD＝2 ，EF＝ ，
∴CD2+EF2＝（2 ）2+（ ）2＝8+5＝13＝AB2，
∴以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形．
15．（2022•南京模拟）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每
个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的△ABC，请你根据
所学的知识回答下列问题：
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求BC边上的高．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，理由：∵正方形小方格边长为1，
∴AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25．
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
（2）设BC边上的高为h，
△ABC的面积＝4×4﹣ ×1×2﹣ ×4×3﹣ ×2×4＝16﹣1﹣6﹣4＝5，
∴ ×h×5＝5；
∴h＝2．
16．（2022秋•杨浦区期中）如图（1）所示，大正方形ABCD是由四个大小、
形状都一样的直角三角形和小正方形EFGH拼成，设直角三角形较长的直角
边（如：AF）为a，较短直角边（如：BF）为b．
（1）用含a，b的代数式表示大正方形ABCD的面积S；
（2）图（2）是由图（1）变化得到，它是由八个大小、形状都一样的直角
三角形和小正方形 MNKT 拼接而成．记图（2）中正方形 ABCD、正方形
MNKT的面积分别为S 、S 若S +S ＝10，S ﹣S ＝8，求直角三角形与正方形
1 2 1 2 1 2
EFGH的面积．
【解答】解：（1）由勾股定理知CD2＝DF2+CF2＝a2+b2，
则正方形ABCD的面积S＝CD2＝a2+b2；
（2）设八个全等的直角三角形的面积均为a，则S ＝S ﹣4a，S ＝S +4a，
正方形EFGH 1 正方形EFGH 2
两式相加可得2S ＝S +S ＝10，
正方形EFGH 1 2
∴S ＝5，
正方形EFGH
两式相减得，S ﹣S ﹣8a＝0，
1 2
∵S ﹣S ＝8，
1 2
∴a＝1，
故直角三角形与正方形EFGH的面积分别为1，5．
17．（2022秋•滕州市校级月考）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的
数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公
式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释．
（1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；
（2）如图 2，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以
Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为 S ，S ，S ，试猜想S ，S ，S
1 2 3 1 2 3
之间存在的等量关系，直接写出结论．
（3）如图3，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第
（2）问的结论是否成立？请说明理由．
（4）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，三边分别为5，12，13，分别以
它的三边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）S +S ＝S ；
1 2 3
（3）成立，设直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c．∴S ＝ 2＝ ，S ＝ （ ）2＝ ，S ＝ （ ）2＝ ，
2 3 1
π π π
∵ + ＝ ，
∴S +S ＝S ；
1 2 3
（4）根据（3）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积等于斜边为直径的
半圆面积．
∴阴影部分的面积＝直角三角形面积
∴阴影部分的面积＝5×12÷2＝30．
18．（2022 秋•二道区校级期末）定义：如图，点 M，N 把线段 AB 分割成
AM、MN、NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称
点M、N是线段AB的勾股分割．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，
BN＝6，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝30，
AM＝5，求BN的长．
【解答】解：（1）点M、N是线段AB的勾股分割点．理由如下：
∵AM2+BN2＝2.52+62＝42.25，MN2＝6.52＝42.25，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点；
（2）设BN＝x，则MN＝30﹣AM﹣BN＝25﹣x，
①当MN为最长线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（25﹣x）2＝x2+25，
解得x＝12；
②当BN为最长线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝25+（25﹣x）2，解得x＝13．
综上所述，BN＝12或13．
【能力提升】
19．（2022 秋•南京期末）如图，在等腰 Rt△ACB 中，∠ACB＝90°，AC＝
BC，且AB＝2 ，以边AB、AC、BC为直径画半圆，其中所得两个月形图
案AFCD和BGCE（图中阴影部分）的面积之和等于（ ）
A．8 B．4 C．2 D．4
【答案】C
【解答】解：在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2 ，
∴AC2+BC2＝AB2＝8，
∴AC＝CB＝2，
∴S ＝ AC•BC＝2，
△ACB
∴S ＝ （ ）2+S ﹣ （ ）2
阴影 △ACB
＝ +2﹣
π π
＝2，
π π
故选：C．
20．（2022秋•辉县市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC
的三边为边向外做正方形 ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，
CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为
S ，S ，若S ＝4，S ＝7，则S ：S 等于（ ）
1 2 1 2 △ACP △BCPA．2： B．4：3 C． ： D．7：4
【答案】A
【解答】解：如图所示，过点 P 作 PM⊥CB，交 CB 的延长线于点 M，作
PN⊥CA，交CA的延长线于点N，
由题可得，∠BCG＝45°，CP⊥CG，
∴∠BCP＝45°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP＝45°，即CP平分∠ACB，
又∵PM⊥BC，PN⊥AC，
∴PM＝PN，
∵正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S ，S ，且S ＝4，S ＝7，
1 2 1 2
∴正方形BCFG的面积＝7﹣4＝3，
∴正方形ACDE和正方形BCFG的面积之比为4：3，
∴AC：BC＝2： ，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
即S ：S 等于2： ．
△ACP △BCP
故选：A．21．（2022秋•增城区期末）如图，Rt△ABO中，∠A＝90°，AO＝2，AB＝1．
以BC＝1，OB为直角边，构造Rt△OBC；再以CD＝1，OC为直角边，构造
Rt△OCD；…，按照这个规律，在 Rt△OHI 中，点 H 到 OI 的距离是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABO中，∠A＝90°，AO＝2，AB＝1，
根据勾股定理得OB＝ ＝ ＝ ，
在Rt△OBC，根据勾股定理得OC＝ ＝ ＝ ，
在Rt△OCD，根据勾股定理得OD＝ ，
按照这个规律，在Rt△OHI中，根据勾股定理得OI＝ ＝2 ，
如图，作HM⊥OI于点M，∴ OI•HM＝ OH•HI，
∴ ×2 ×HM＝ × ×1，
∴HM＝ ，
∴点H到OI的距离是 ．
故选：B．
22．（2022秋•佛山校级期末）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，
AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间
为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，
∴BC＝8（cm）；
（2）由题意知BP＝2tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；
②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，
AP2＝62+（2t﹣8）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，
解得：t＝ ，
故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝ ；
（3）①当AB＝BP时，t＝5；
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；
③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，
解得：t＝ ，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝ ．
23．（2022•渠县校级开学）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，
点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．
（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长；
（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵BC＝10，
∴BD＝5，
Rt△ABD中，∵AB＝13，
∴AD＝ ＝ ＝12，
在Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF＝BD＝5，
∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；
（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH，在△CHB和△AEF中，
，
∴△CHB≌△AEF（SAS），
∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，
∴∠CEF＝∠CHE，
∴CE＝CH，
∵BD＝CD，FD⊥BC，
∴CF＝BF，
∴∠CFD＝∠BFD＝45°，
∴∠CFB＝90°，
∴EF＝FH，
在Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，
∴BF2+EF2＝AE2．
