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第 07 讲 抛物线 (精练）
A 夯实基础 B 能力提升 C 综合素养
A 夯实基础
一、单选题
1．抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意，抛物线 的焦点坐标为
故选：C
2．若抛物线 上的点P的横坐标为3，则点P到焦点的距离是（ ）．
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
抛物线 的焦点 ，准线为 ，由P的横坐标为3，
所以P到准线的距离为5，
故点P到焦点的距离是5．
故选：C.
3．直线 过抛物线 的焦点 ，且与 交于 两点，则 （ ）
A．6 B．8 C．2 D．4
【答案】B
因为抛物线 的焦点坐标为 ，
又直线 过抛物线 的焦点F，所以 ，抛物线 的方程为 ，由 ，
得 ，所以 ，所以 ．
故选：B
4．已知抛物线 的焦点F、M是抛物线 上位于第一象限内的一点，O为坐标原点，若
的外接圆D与抛物线 的准线相切，则圆D与直线 相交得到的弦长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D因为 的外接圆与抛物线 的准线 相切，
所以 的外接圆的圆心到准线 的距离等于圆的半径，
又因为圆心在 的垂直平分线上， ，
所以圆的半径为 ，圆心的横坐标为 ，所以圆心的纵坐标为 ，
所以圆心到直线的距离 ，
所以圆 与直线 相交得到的弦长为 .
故选：D.
5．已知点 是抛物线 的焦点，点M为抛物线上的任意一点， 为平面上定点，则
的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
由题意得 ，准线方程为 ，设点 在准线上的射影为 ，
根据抛物线的定义可知 ，
要求 取得最小值，即求 取得最小，
当 三点共线时 最小，即为 .所以 的最小值为 .
故选：B.
6．已知抛物线 ： 焦点为 ， 是抛物线 上一点，且点 到抛物线的准线的距
离为3，点 在抛物线 上运动，则点 到直线 ： 的最小距离是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
抛物线的准线为 ，由 到抛物线的准线的距离为3，知 ，所以抛物线 的方程
.
设点 ，点 到直线 ： 的距离为 ， ，当且仅当 时，
点 到直线 ： 的距离有最小值 .
故选：D.
7．已知点 是抛物线 上一点， 是抛物线的焦点， 是圆 的圆心，则
的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
解：设抛物线 的准线方程为 ， 为圆 的圆心，
所以 的坐标为 ，
过 作 的垂线，垂足为 ，根据抛物线的定义可知 ，
所以问题求 的最小值，就转化为求 的最小值，
由平面几何的知识可知，当 ， ， 在一条直线上时，此时 ， 有最小值，最小值为
，
故选：B．8．已知过抛物线 的焦点 且倾斜角为 的直线交 于 两点（ 在 的右边）， 为 上
一点， ，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】A
由题意，抛物线 ，可得焦点 ，
又因为直线的倾斜角为 ，可得斜率 ，
故直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
设 ，解得 ， ，
因为 ，所以
可得 ，
过点 作 垂直于准线于点 ，根据抛物线的定义，得 ，
当 三点共线且与 轴平行时， 有最小值，最小值 ，
所以 的最小值为3.
故选：A.二、多选题
9．在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为抛物线上一点， ， 为
垂足.若直线 的斜率 ，则下列结论正确的是（ ）
A．准线方程为 B．焦点坐标
C．点 的坐标为 D． 的长为3
【答案】BC
由抛物线方程为 ，
焦点坐标 ，准线方程为 ，A错B对；
直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，
当 时， ，
，
， 为垂足，
点 的纵坐标为 ，可得点 的坐标为 ，C对；根据抛物线的定义可知 ，D错.
故选:BC.
10．抛物线 的焦点为 ，点 都在抛物线上，且 ，
则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线方程为
B． 是 的重心
C．
D．
【答案】ABD
对于A，由 在抛物线上可得 ，即抛物线方程为 ，正确；
对于B，分别取 的中点 ，则 ， ，即 在中线 上，同理可得
也在中线 上，所以 是 的重心，正确；
对于C，由抛物线的定义可得 ，
所以 .
由 是 的重心，所以 ，即 ，
所以 ，不正确；
对于D， ， ；
同理 , ，
所以 ，正确.
故选：ABD.
三、填空题
11．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物
线的一部分．该桥的高度为 米，跨径为 米，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为________米．
（结果用 ， 表示）【答案】
如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为 轴建立直角坐标系 ，
结合题意可知，该抛物线 经过点 ，则 ，解得 ，故桥形对应的抛物
线的焦点到准线的距离为 ．
故答案为： ．
12．已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ， 为 上一点， 与 轴垂直， 为
轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为______．
【答案】
抛物线 的焦点 ，
为 上一点， 轴，所以 ，将 代入抛物线的方程可得 ，
不妨设 ，因为 为 轴上一点，且 ，所以 在 的右侧．
又 ，得 ，即点 ，所以， ，
因为 ，所以 ， ， ，
所以抛物线 的准线方程为 ．
故答案为： ．
四、解答题
13．若 ， 为抛物线 的焦点， 为抛物线上任意一点，求 的最小值及取得最小值
时的 的坐标．【答案】最小值为 ， 点的坐标为 ．
解：将 代入抛物线方程 ，得 ，
因为 ，所以点 在抛物线内部，
设抛物线上的点 到准线 的距离为 ，
由抛物线的定义可得 ，
由图可知，当 时， 最小，最小值为 ，此时点 的纵坐标为2，
代入 ，得 ，所以P点的坐标为 ．
14．图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水面下降1m后，水面宽多少？
（精确到0.1m，参考数据 ）．
【答案】
解：建立如图所示的坐标系，根据题意知点 的坐标为 ，
设抛物线解析式为 ，
将点 代入，得： ，
解得： ，
，
当 时，有 ，
解得： ，
水面的宽度为 ．
B 能力提升
1．已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，直线 交 轴于点 ，若 ，
则点 到准线 的距离为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
解：如图，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，由题知 ，即
因为 ，所以
所以 ，所以点 到准线 的距离为 .
故选：B2．已知抛物线 的焦点为 ， 点 为抛物线 上一点，点 ，则 的最小值为
（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
抛物线 的准线l： ，显然点A在抛物线C内，过A作AM⊥l于M，交抛物线C于P，如图，
在抛物线C上任取不同于点P的点 ，过 作 于点N，连PF，AN， ，
由抛物线定义知， ，
于是得 ，即点P是过A作准线l的垂线与抛物线C的交点时，
取最小值，
所以 的最小值为3.
故选：D
3．已知点M（0，4），点P在曲线 上运动，点Q在圆 上运动，则 的最小值是
（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】C抛物线 的焦点坐标 ，该点就是 的圆心，设 ，
要使 最小，则 取得最大 ，
的最小值即 的最小值，令
即 ，
当 时取得最小值，此时 .
故选：C
C 综合素养
1．已知抛物线 ， 是抛物线上一点，设点 （ ），求| |的最小值，并指出此时点
的坐标.
【答案】见解析.
设 ，因为 ,所以
又 ,
所以 ，
当 时， ，
在 上是增函数，所以当 时， 最小值为 ，此时 ；
当 时， ，
在 上是减函数，在 是增函数，
所以当 时， 最小值为 ，此时 .
2．已知椭圆C ： (a>b>0) 的左、右焦点分别为F、F，其中F 也是抛物线C ：y2＝4x的焦点，
1 1 2 2 2
M是C 与C 在第一象限的交点，且|MF |＝ .
1 2 2(1)求椭圆C 的方程；
1
(2)点P是椭圆上一点，且 ，求 的面积.
【答案】(1) (2)
(1)设 ， ， .
由抛物线定义， ， ，
， ， ，
∵M在C 上，∴
1
又 ， ， 或 （舍去）．
，∴椭圆C 的方程为 ；
1
(2)由椭圆定义， ，则 ，
由余弦定理， ，
整理可得 ，
所以 面积为 .
3．已知 ，若点 是抛物线 上任意一点，点 是圆 上任意一点，求
的最小值．
【答案】
解：抛物线 的焦点为 ，准线为 ．
圆 的圆心为 ，半径 ．
过点 作 垂直准线 ，垂足为 ，由抛物线的定义可知 ，则 ，
当 、 、 三点共线时， 取最小值，
所以， ，因此， 的最小值为 ．
