文档内容
第 07 讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：离散型随机变量....................................................................................................................2
题型二：求离散型随机变量的分布列................................................................................................3
题型三：离散型随机变量的分布列的性质........................................................................................4
题型四：离散型随机变量的均值........................................................................................................5
题型五：离散型随机变量的方差........................................................................................................8
题型六：决策问题................................................................................................................................9
02 重难创新练....................................................................................................................................12
03 真题实战练....................................................................................................................................25题型一：离散型随机变量
1．5件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（ ）
A．取到产品的件数 B．取到正品的概率
C．取到次品的件数 D．取到次品的概率
【答案】C
【解析】对于A，5件产品中有3件次品，从中任取2件，取到产品的件数是一个常量不是变量，
BD也是一个定值，而C中取到次品的件数可能为0、1、2是随机变量.
故选：C
2．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用 表示甲的得分，则
表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢两局
C．甲、乙平局两次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】D
【解析】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
则 有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：D.
3．对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为( )
A．第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
B．第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
C．前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
D．前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
【答案】D
【解析】由题意 表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为 ，因此前 次检测到的都是正品，第
次检测的是一件次品.
故选D.
4．下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（ ）
①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数 ；②一个沿直线 进行随机运动的质点离坐标原点的距离 ；
③某同学射击3次，命中的次数 ；
④某电子元件的寿命 ；
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】C
【解析】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；
对于②，沿直线 进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，故②不是离散型随
机变量；
对于③，某同学射击3次，命中的次数可以一一列举出来，故③是离散型随机变量；
对于④，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量；
故选：C.
题型二：求离散型随机变量的分布列
5．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有 个红球，则随机变量 的概率分布为：
．
0 1 2
【答案】见解析
【解析】根据题意由等可能事件的概率计算公式可知：
，
故答案为：
0 1 2
6．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行
时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为 ．
【答案】ξ 0 1
P
【解析】正方体的12条棱中任取两条共有 种情况，若两条棱相交，则交点必在正方体的顶点处，过任
意一个顶点的棱有3条，共有 对相交棱，若两条棱平行，则它们的距离为1或 ，而距离为 的共
有6对，ξ的可能取值为0，1， ，分别求出其概率即可．ξ的可能取值为0，1， ．
若两条棱相交，则交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，所以
P（ξ＝0）＝ ＝ ，
若两条棱平行，则它们的距离为1或 ，而距离为 的共有6对，
则P（ξ＝ ）＝ ＝ ，
P（ξ＝1）＝1－P（ξ＝0）－P（ξ＝ ）＝1－ － ＝ ，
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ 0 1
P
故答案为：
ξ 0 1
P
题型三：离散型随机变量的分布列的性质
7．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量 的分布列 ，则 .
【答案】
【解析】因为 ，可得 ，解得 ，因此 .
故答案为： .
8．已知随机变量X的可能取值是 ，已知 （其中 ），又 ，则
．
【答案】 /0.1
【解析】由题意得， ，
又 ，
解得 ， ，故 .
故答案为：
9．（2024·高三·上海·单元测试）设随机变量 可能的取值为 ， ．又
的期望 ，则 ．
【答案】
【解析】由题意可得 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
题型四：离散型随机变量的均值
10．在 维空间中 ，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为 维坐标
，其中 .定义：在 维空间中两点 与 的曼哈顿
距离为 .在 维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量 为所
取两点间的曼哈顿距离，则 .
【答案】【解析】对于 维坐标 ，其中 .即 有两种选择 ，
故共有 种选择，即 维“立方体”的顶点个数是 个顶点；
当 时，在坐标 与 中有 个坐标值不同，即有 个坐标值满足 ，剩
下 个坐标值满足 ，
则满足 的个数为 .
所以 .
故分布列为：
则 .
故答案为： .
11．在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量（单位：台）”与“当年的月份”
线性相关.根据统计得下表：
月份 1 2 3 4 5 6
销量 4
10 19 31 55 68
5
(1)根据往年的统计得，当年的月份 与销量 满足回归方程 .请预测当年7月份该品牌的空调可
以销售多少台？
(2)该销售商从当年的前6个月中随机选取2个月，记 为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求
的分布列和数学期望
【解析】（1）因为 ，
，
又回归直线过样本中心点 ，
所以 ，得 ，所以 ，
所以当 时， ，
所以预测当年7月份该品牌的空调可以销售73台；（2）因为 ，所以销量不低于前6个月的月平均销量的月份数为 ，
所以
所以
所以 的分布列为：
0 1 2
故数学期望
12．袋中有大小完全相同的7个白球，3个黑球.
(1)若甲一次性抽取4个球，求甲至少抽到2个黑球的概率；
(2)若乙共抽取4次，每次抽取1个球，记录好球的颜色后再放回袋子中，等待下次抽取，且规定抽到白球
得10分，抽到黑球得20分，求乙总得分X的分布列和数学期望.
【解析】（1）由题意知，袋中有大小完全相同的7个白球，3个黑球
则甲一次性抽取4个球，求甲至少抽到2个黑球的概率为 .
（2）由题意，随机变量 的可能取值为 ，
其中，每次抽到白球的概率为 ，抽到黑球的概率为 ，
设4次取球取得的黑球数为 ，则 的可能取值为 ，
则 ，
所以 ； ；
；
；
，
则变量 的分布列为：
40 50 60 70 80所以期望为 .
题型五：离散型随机变量的方差
13．（2024·高三·上海·开学考试）已知随机变量 的方差 ，则随机变量 的方差
【答案】
【解析】因为随机变量 的方差 ，随机变量 ，
所以
故答案为：
14．（2024·吉林·模拟预测）已知随机变量 ，满足 ，则 .
【答案】8
【解析】易知 .
故答案为：8.
15．（2024·湖南长沙·三模）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难
的重要举措 是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程. 某校为 确保
学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支 持情况，对学生进行
简单随机抽样，获得数据如表:
男 女
支持方案
24 16
一
支持方案
25 35
二
假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支 持相互独立.
(1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设 为抽出两人中女生的个数，求 的分
布列与数学期望;
(2)在(1)中 表示抽出两人中男生的个数，试判断方差 与 的大小.
【解析】（1）记从方案一中抽取到女生为事件 ，从方案二中抽取到女生为事件 .
则 ，
则 的可能取值为 .所以 ，
，
，
所以 的分布列为:
0 1 2
所以 .
（2）依题意可得 ，
所以 ,
即 .
题型六：决策问题
16．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，在购买机器时，可以一次性额外购买几次
维修服务，每次维修服务费用300元，另外，实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次60元．在
机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修费用720元，无
需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，根据大数据统计显示，每台机器在
三年使用期内的维修次数可能是4次，5次或6次，其概率分别是 ， ， ．记X表示2台机器在三年使
用期内的维修次数，n表示购买2台机器时，一次性购买的维修服务次数．
(1)求X的分布列；
(2)以机器维修所需费用的期望值为决策依据，在 和 之中选取其一，应选用哪个？
【解析】（1）X的取值为8，9，10，11，12．
．
．
．
．．
所以X的分布列为
X 8 9 10 11 12
P
（2）法1：当 时，设 为机器维修所需费用，则 的分布列为
3180 3240 3960 4680 5400
P
于是 ．
当 时，设 为机器维修所需费用，则 的分布列为
3480 3540 3600 4320 5040
P
于是 ，
因为3645<3670，所以应选用 ．
法2：当 时，机器维修所需费用的期望值为 ，
当 时，机器维修所需费用的期望值为 ．
因为 ，所以应选用 ．
17．（2024·四川泸州·二模）强基计划校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环
节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲
大学，每门科目通过的概率均为 ；该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为 ， ，m，其中
．
(1)若 ，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，
当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m的取值范围．
【解析】（1）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件 ，该考生报考乙大学恰好通过一门笔
试科目为事件 ，根据题意可得 ， .
（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为X，报考乙大学通过的科目数为 ，
根据题意可知， ，则 ，
，
，
，
，
则随机变量 的分布列为
Y 0 1 2 3
P
，
若 ，则 ，故 ，即 的取值范围是 .
18．（2024·河南郑州·三模）据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进
入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若
某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为 ，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依
次为 ， ， ，其中 ．
(1)若 ，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决
策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求 的范围．
【解析】（1）设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件 ，则 ；
该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀为事件 ，则 ．
（2）该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为 ，依题意， ，则 ，
该同学报考乙大学达到优秀科目的个数设为 ，随机变量 的可能取值为：0，1，2，3．
，
， ，
随机变量 的分布列：
0 1 2 3
，
因为该考生更希望进入甲大学的面试，则 ，即 ，解得 ，
所以 的范围为： .
1．（2024·高三·山东济南·开学考试）设 ，随机变量 取值 的概率均为
，随机变量 取值 的概率也均为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，，
故 ，故A、B错误；
设 ，
则
，
同理：
，
由 ， ，故 ，
同理，则有
，
即 ，故C正确，D错误；
故选：C.
2．已知某工厂生产的某批产品的质量指标服从正态分布 ，质量指标大于或等于20的产品为优等
品，且优等品出现的概率为 ，现从该批产品中随机抽取6件，用 表示这6件产品的质量指标不在区
间 的产品件数，则 （ ）
A．0.96 B．0.48 C．1.2 D．2.4
【答案】A
【解析】由正态分布的性质得质量指标在区间 的概率为 ，
则1件产品的质量指标不在区间 的概率为 ，
所以 ，故 .
故选：A.
3．为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球
和3个白球，每位员工从中摸出2个小球.若摸到一红球一白球，可获得价值 百元代金券；摸到两白球，
可获得价值 百元代金券；摸到两红球，可获得价值 百元代金券（ 均为整数）.已知每位员工平均可
得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多（ ）百元代金券A．5.4 B．9 C．12 D．18
【答案】D
【解析】若摸到一红球一白球的概率 ，
若摸到2白球的概率 ，若摸到2红球的概率 ，
设可获得百元代金券为变量 分布列如下，
a b ab
P
,
手气最好者获得 百元代金券
即 ， ，
则 ，
当 ，即 ， 时等号成立，
所以 的最大值为 .
估计手气最好者至多获得18个百元代金券.
故选：D.
4．（2024·高三·江苏苏州·开学考试）在备战巴黎奥运会期间，教练组举办羽毛球训练比赛，派出甲、乙
两名单打主力，为了提高两名主力的能力，教练安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人
每轮分别与陪练打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关．已知甲、乙
两人每局获胜的概率分别为 ， ，且满足 ，每局之间相互独立．记甲、乙在 轮训练中训练过
关的轮数为 ，若 ，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为 （ ）
A．32 B．31 C．28 D．27
【答案】D
【解析】由题可知每一轮过关的概率:
，
因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，故 ．因为 ，所以 ，则 .
故选：D.
5．若随机变量X的分布列如下表所示，且 ，则表中a的值为（ ）
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A． B．7 C．5.61 D．6.61
【答案】B
【解析】根据随机变量 的分布列性质，可得 ，解得 ，
又由 ，解得 .
故选：B.
6．（2024·高三·浙江·开学考试）已知随机变量 的分布列如下表所示，则 （ ）
1 2 3
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由分布列可得 ，解得 ，
则 ，
所以 .
故选：C．
7．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里有1个白球，乙袋子里有5个白
球和5个黑球，现从乙袋子里随机取出 个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出一个
球，记取到的白球的个数为 ，则当 变大时（ ）
A． 变小 B． 先变小再变大
C． 变大 D． 先变大再变小
【答案】A
【解析】由题意可知，从乙盒子里随机取出 个球，其中白球的个数 服从超几何分布，则 ．故从甲盒子里随机取一球，相当于从含有 个白球的 个球中取一球，取到白
球的个数为 ，
易知随机变量 服从两点分布，故 ，
所以 ，随着 的增加， 减小.
故选：A
8．已知随机变量 的分布列为
a b
P b a
则下列说法不正确的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【解析】由题意 ，a，
对于A， ，当且仅当 时取等号，所以A正确；
对于B，一方面 ，另一方面
，所以 ，所以B正确；
对于C， ，所以C错误；
对于D，由 得 ，满足条件的a，b存在，所以D
正确．
故选：C.
9．（多选题）离散型随机变量 的分布列如下表所示， 是非零实数，则下列说法正确的是（ ）
2024 2025
A． B． 服从两点分布
C． D．【答案】ACD
【解析】对于A中，由分布列的性质，则满足 ，所以A正确；
对于B中，根据二点分布知，随机变量 的取值为 和 ，所以B不正确；
对于C中，由期望的公式，可得 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以C正确；
对于D中，由方差的公式，可得
，即 ，所以D正确.
故选：ACD.
10．（多选题）（2024·海南·模拟预测）某电子展厅为了吸引流量，举办了一场电子竞技比赛，甲、乙两
人入围决赛，决赛采用 局 胜的赛制，其中 ，即先赢 局者获得最终冠军，比赛结束.已
知甲每局比赛获胜的概率为 ，且各局比赛结果相互独立，则（ ）
A．若 ， ，则甲最终获胜的概率为
B．若 ， ，记决赛进行了 局，则
C．若 ， ，记决赛进行了 局，则
D．若 比 时对甲更有利，则
【答案】ABD
【解析】对于A，因为 ， ，
所以甲获胜的概率为 ，A正确.
对于B，因为 ， ，
由已知 的取值有 ，
， ，
所以 ，
所以 ，B正确.
对于C，因为 ， ，又 的可能取值有 ，
所以 ，
，
，
所以 ，C错误；
对于D，当 时，甲获胜的概率为 ，
当 时，甲获胜的概率为 ，
若 比 时对甲更有利，则 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，D正确；
故选：ABD.
11．（多选题）一个课外兴趣小组共有5名成员，其中有3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取3
名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】女性成员人数X的可能值为 ，
则 ，
对于A， ，A正确；
对于B， ，B错误；
对于C， ，C正确；
对于D， ，D正确.故选：ACD
12．（多选题）已知随机变量X，Y，其中 ，已知随机变量X的分布列如下表
X 1 2 3 4 5
p m n
若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】由 可得： ①，
又因为 ，故C正确.
所以 ，
则 ②，所以由①②可得： ，故A正确，B错误；
,
，故D错误.
故选：AC.
13．已知随机变量 的分布列为
0 1
若 ，且 ，则 ．
【答案】
【解析】由随机变量分布列的性质，得 ，
解得 ，
，，
，
，
，
．
故答案为： .
14．盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数．给
出下列各项：① ；② ；③ ;④ ．其中正确的
是 ．（填上所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】由题意可知X服从超几何分布， 也服从超几何分布，
．
又X的分布列为
X 0 1 2
P
，
．
的分布列为
1 2 3
P
，
．
，
∴①②④正确.
故答案为：①②④.15．已知随机变量X的分布为
1 2 3
则 的最大值为 ．
【答案】6
【解析】 ，只需求 的最大值即可，
根据题意： ， ，
，
所以
，
当 时，其最大值为 ，故 的最大值为 ．
故答案为：6．
16．抛掷一颗质地均匀的骰子，设 表示掷出的点数，则 .
【答案】 /
【解析】由已知随机变量X的取值有1,2,3,4,5,6，
， ， ，
， ， ，
∴随机变量X的分布列为：
X 1 2 3 4 5 6
P
∴随机变量X的期望 ，
∴
.故答案为： .
17．一个袋子里装有除颜色以外完全相同的白球和黑球共10个，其中白球有4个，黑球有6个.
(1)若有放回地从袋中随机摸出3个球，求恰好摸到2个黑球的概率；
(2)若不放回地从袋中随机摸出2个球，用 表示摸出的黑球个数，求 的分布列和期望与方差.
【解析】（1）摸出黑球的概率是 ，则有放回地从袋中随机摸出3个球，
恰好摸到2个黑球的概率为 ；
（2） 的可能取值为0，1，2，
则 ， ， ，
的分布列为：
0 1 2
P
期望为 ，
方差为
18．（2024·甘肃张掖·三模）春节期间电影院上映5部影片：贺岁片有《第20条》，《飞驰人生》和《热
辣滚烫》，往期电影《满江红》，《流浪地球2》.妈妈有4张电影票给了姐姐和弟弟每人2张，让他们自
己选择看哪2部电影.
(1)求姐姐恰好看了2部贺岁片的概率；
(2)求姐弟两人观看贺岁片的部数的分布列和数学期望.
【解析】（1）设事件 :姐姐恰好看了2部贺岁片.
则 ，
所以姐姐恰好看了2部贺岁片的概率为 .
（2）设 表示姐姐看了 部贺岁片 .
表示弟弟看了 部贺岁片 .
则知 .知 .
，
.
随机变量 表示姐弟二人观看贺岁片的总数 的取值有0，1，2，3，4.
，
，
，
，
.
从而随机变量 的分布列为：
0 1 2 3 4
所以 的数学期望 .
即姐弟2人观看贺岁片的部数的数学期望为2.4.
19．北京冬奥会过后，迎来了一股滑雪运动的热潮，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：
滑雪时间不超过 免费，超过 的部分每小时收费标准为40元（不足 的部分按 计算）．有甲、乙两
人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过 离开的概率分别为 ， ； 以上且不超过 离开的
概率分别为 ， ；两人滑雪时间都不会超过3h．设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 ，求
的分布列与均值 、方差 ．
【解析】甲、乙两人 以上且不超过 离开的概率分别为 ， ．的所有可能取值为0，40，80，120，160，
则 ，
，
，
，
．
所以 的分布列为
0 40 80 120 160
．
.
20．某市 ， 两所中学的学生组队参加信息联赛， 中学推荐了3名男生、2名女生. 中学推荐了3名
男生、4名女生.两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取
3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛.
(1)求 中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)设 表示 中学参赛的男生人数，求 的分布列和数学期望；
(3)已知3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，3名女生的比赛成绩分别为77， ，81，若3名
男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出 的取值范围（不要求过程）.
【解析】（1）由题意知，参加集训的男、女生各有6名.
参赛学生全部从B中学中抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为 .
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为 .
（2）根据题意得，X的可能取值为0，1，2，3.
则 ，
，所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
因此，X的数学期望 .
（3）3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，平均值为80，方差为 ，
3名女生的比赛成绩为77， ，81，平均值为 ，
所以 ，
即 ，
代入检验，可知 最小为74，最大 ，故 ，
即 的取值范围 .
1．（2019年浙江省高考数学试卷）设 ，则随机变量 的分布列是：
则当 在 内增大时（ ）
A． 增大 B． 减小
C． 先增大后减小 D． 先减小后增大
【答案】D
【解析】方法1：由分布列得 ，则，则当 在 内增大时， 先
减小后增大.
方法2：则
故选D.
2．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））设 ，随机变量 的分布列如图，则
当 在 内增大时，（ ）
A． 减小 B． 增大
C． 先减小后增大 D． 先增大后减小
【答案】D
【解析】 ，
，
，∴ 先增后减，因此选D.
3．（2020年浙江省高考数学试卷）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取
球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 ，则 ；
．
【答案】
【解析】因为 对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以 ，
随机变量 ，
，
，
所以 .故答案为： .
4．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷））赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：
赌客先在标记有 ， ， ， ， 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随
后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 倍作为其奖金（单位：元）．若
随机变量 和 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 （元）．
【答案】
【解析】赌金的分布列为
1 2 3 4 5
P
所以
奖金的分布列为
9．4 10．8 11．2 12．6
P
所以
考点：数学期望
5．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷））随机变量 的取值为0,1,2，若
， ，则 .
【答案】
【解析】设 时的概率为 ，则 ，解得 ，故
考点：方差.
6．（2024年北京高考数学真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届
满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4单数
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司
赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记 为一份保单的毛利润，估计 的数学期望 ；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少 ，有索赔的保单的保费增加 ，试比较这种情况下一份保单毛
利润的数学期望估计值与（i）中 估计值的大小．（结论不要求证明）
【解析】（1）设 为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，
由题设中的统计数据可得 .
（2）（ⅰ）设 为赔付金额，则 可取 ，
由题设中的统计数据可得 ，
， ，
，
故
故 （万元）.
（ⅱ）由题设保费的变化为 ，
故 （万元），
从而 .
7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具
体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；
若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未
投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概
率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若 ， ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设 ，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【解析】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，
比赛成绩不少于5分的概率 .
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 ，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 ，
，
，
，应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩 的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩 的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
因为 ，则 ， ，
则 ，
应该由甲参加第一阶段比赛.
8．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项
目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在
三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【解析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 ，所以甲学校获得冠军的概率为．
（2）依题可知， 的可能取值为 ，所以，
,
，
，
.
即 的分布列为
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
期望 .
9．（2022年新高考北京数学高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成
绩达到 以上（含 ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、
乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【解析】（1）由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4
（2）设甲获得优秀为事件A,乙获得优秀为事件A，丙获得优秀为事件A
1 2 3
，
，
，.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴
（3）丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为 ，甲获得9.80的概率为 ，
乙获得9.78的概率为 .并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.
10．（2021年全国新高考II卷数学试题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微
生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是
相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ．
（1）已知 ，求 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：
的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【解析】（1） .
（2）设 ，
因为 ，故 ，
若 ，则 ，故 .
，
因为 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
若 ，因为 在 为增函数且 ，
而当 时，因为 在 上为减函数，故 ，故 为 的一个最小正实根，
若 ，因为 且在 上为减函数，故1为 的一个最小正实根，
综上，若 ，则 .
若 ，则 ，故 .
此时 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
而 ，故 ，
又 ，故 在 存在一个零点 ，且 .
所以 为 的一个最小正实根，此时 ，
故当 时， .
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过
1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
11．（2021年北京市高考数学试题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在
一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，
检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人
的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 .设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，
试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
【解析】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意， 可以取20，30，
， ，
则 的分布列:所以 ；
（2）由题意， 可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为 ，不在同一组的概率为 ，
则 .
12．（2021年全国新高考I卷数学试题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参
加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若
回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的
每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明
能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次
序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【解析】（1）由题可知， 的所有可能取值为 ， ， ．
；
；
．
所以 的分布列为
（2）由（1）知， ．
若小明先回答 问题，记 为小明的累计得分，则 的所有可能取值为 ， ， ．
；
；
．
所以 ．
因为 ，所以小明应选择先回答 类问题．
