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第 07 讲 函数的定义域与值域
【基础知识全通关】
1.函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的
值相对应的y值叫做函数值，函数值的 集合 {f (x ) |x ∈ A }叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
2.已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数
的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层
函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
3.函数解析式的常见求法
(1)配凑法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的问题，往往把右边的g(x)整理或配凑成只含
h(x)的式子，然后用x将h(x)代换．
(2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数
f(x)可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方
程组，解出a，b，c即可．
(3)换元法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)时，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)
进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围．
(4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知
量，如f(或f(－x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出
f(x)．
3.分段函数
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应
的解析式求值．
(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端
点。【考点研习一点通】
考点01函数的定义域
1．函数f(x)＝ln(4x－x2)＋的定义域为( )
A．(0,4) B．[0,2)∪(2,4]
C．(0,2)∪(2,4) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
2．函数y＝的定义域为( )
A．(－1,3] B．(－1,0)∪(0,3]
C．[－1,3] D．[－1,0)∪(0,3]
3．若函数f(x)的定义域为[0,8]，则函数g(x)＝的定义域为________．
y 76xx2
4.函数 的定义域是_____.
5.（1）已知 的定义域为 ，求函数 的定义域；
（2）已知 的定义域为 ，求 的定义域；
（3）已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域．
6. 求下列函数的值域：
(1)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
(2)y＝；
(3)y＝2x－；
(4)y＝＋.
7.求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝ ＋，x∈[1,2)；
(3)y＝(x>1)．8. (1)若函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．
(2)已知函数y＝的值域为[0，＋∞)，求a的取值范围．
9. (1)若函数f(x)＝ln(ax－1)在(2，＋∞)上有意义，则实数a的取值范围为________．
(2)已知函数f(x)＝(x－1)2＋1的定义域与值域都是[1，b](b>1)，则实数b＝________.
【考点易错】
1．（广东高考真题）函数 的定义域是______．
2．（2022·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数 的定义域是
，则函数 的定义域是_______．
1
f x x x0
3.函数 x 的值域为（ ）
2, ,2 2, ,2
A． B． C． D．R
4.【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，值域为 ，
则（ ）
A．函数 的定义域为 B．函数 的值域为
C．函数 的定义域和值域都是 D．函数 的定义域和值域都是
【巩固提升】
1．（2022·河北衡水二中模拟）函数f(x)＝＋ln(3x－x2)的定义域是( )
A．(2，＋∞) B．(3，＋∞)C．(2，3) D．(2，3)∪(3，＋∞)
1
f(x) 2x
2.函数 lg(x1) 的定义域为（ ）
[2,2] [2,0)(0,2]
A． B．
(1,0)(0,2] (-1,2]
C． D．
y f(x1) [2,3]
3．（2020·河南省郑州一中高二期中（文））已知函数 定义域是 ，
y f(2x1)
则 的定义域是（ ）
5
A．[0,2 ] B．[1,4] C．[5,5] D．[3,7]
4．【多选题】（2022·全国高一课时练习）（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集
的有（ ）
A． B． C． D．
5 (1)若函数f(x)＝ 的定义域为R，则a的取值范围为________．
(2)若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
6. （2022·全国高一课时练习）已知函数 ， .
（1）在平面直角坐标系里作出 、 的图象.
（2） ，用 表示 、 中的较小者，记作
，请用图象法和解析法表示 ；
（3）求满足 的 的取值范围.
