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第 07 讲 函数与方程
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）函数 在区间 上的零点个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】求函数 在区间 上的零点个数，
转化为方程 在区间 上的根的个数.
由 ，得 或 ，
解得： 或 或 ，
所以函数 在区间 上的零点个数为3.
故选：A.
2．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）设 表示m，n中的较小数．若函数
至少有3个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得 有解，
所以 ，解得 或 ，
当 时，必有 ，解得 ；
当 时，必有 ，不等式组无解，
综上所述， ，∴ 的取值范围为 .
故选：A
3．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数 ，若 恰有两个零点，则 的取
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 1值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 恰有两个零点,即 恰有两个实数根，由于 ，所以 恰有
两个实数根等价于 恰有两个实数根，
令 ，则 ，
当 时， ，故当 此时 单调递增，当 ，
此时 单调递减，故当 时， 取极小值也是最小值，且当 时， ，
当 时， ，且 单调递增，
在直角坐标系中画出 的大致图象如图：
要使 有两个交点，则 ，
故选：D
4．（2023·江西·统考模拟预测）函数 在区间 内的零点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】由 ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 2得 ，又 ，所以 ，
所以 或
解得 或 .
所以函数 在 的零点个数是2.
故选：A.
5．（2023·江西赣州·统考一模）已知函数 ，则方程 的实根个数为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】 ，解得 或 ，
当 时， ，解得 ， ，解得 （舍）；
当 时， ，解得 或 （舍）， ，解得 或
（舍）；
综上，方程 的实根为 或 或 ，
即方程 的实根个数为3个，
故选：A.
6．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知函数 若存在实数 ， ， ，
，满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出 的图象如下图：
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 3由题意可知 ， ，由图象可知 关于直线 对称，
所以 ，因此 ，
当 时， ，此时 ，
当 时， ，此时 ，
当存在 ， ， ， 使得 时，此时
，
故选：C
7．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数 ，若方程 在
上恰有5个不同实根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 4当 时，方程 可化为 ，解得
，则当 时， ，
当 时，方程 可化为 ，解得 ，
则当 时，
因为根据方程 在 上恰有5个不同实根，
所以这5个不同实根为 ，则 ，
故选：D.
8．（2023·山东·校联考模拟预测）从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最
为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对
称分布，壮美有序，和谐庄严，映祇着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起
了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数 的图像来刻画，满足关于 的方
程 恰有三个不同的实数根 ，且 （其中 ），则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 关于 对称，所以 的根应成对出现，
又因为 的方程 恰有三个不同的实数根 且 ，
所以该方程的一个根是 ，得 ，
所以 ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 5由 得 ，
当 ，即 时， ，①
则 ，②
由① ②可求出 ，所以 ；
当 ，即 时， ，③
，④
由③ ④得方程组无实数解；
综上，方程组的解为 ，
所以 ．
故选：C.
9．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知定义域为 的函数 满足 不恒为零，且 ，
， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是奇函数
C． 的图像关于直线 对称 D． 在[0，10]上有6个零点
【答案】AB
【解析】选项A：对于 ，令 ，得 ，对于 ，令 ，得
，所以 ，则 ，A正确；
选项B：由 得 ，由 得 ，所以
， 是奇函数，B正确；
选项C：由 ，得 ，所以12是 的一个周期，又 是奇函数，
所以 的图像关于点 对称，因为 不恒为零，所以 的图像不关于直线 对称，C错误；
选项D：由A知 ，对于 ，令 ，得 ，所以 ，
由 ，得 ， ，所以 ，所以 在 上的零点为
0，2，3，4，6，8，9，10，共8个，D错误．
故选：AB．
10．（多选题）（2023·云南红河·云南省建水第一中学校考模拟预测）下列函数中，是奇函数且存在零点
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 6的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】对于A：设 ， ，则 ，得 为奇函数，令
，方程无解，即函数不存在零点，A不符合；
对于B：设 ，则 ，得 为奇函数，令
，得 ，即函数存在零点，B符合；
对于C：设 ，其为 上的偶函数，C不符合；
对于D：设 ，其为 上的奇函数，且存在零点，D符合.
故选：BD.
11．（多选题）（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知函数 ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A．函数 在 上单调递增
B．存在 ，使得函数 为奇函数
C．任意 ，
D．函数 有且仅有2个零点
【答案】ABC
【解析】对于A： ，
因为 ，所以 ， ，因此 ，
故 ，所以 在 上单调递增，故A正确；
对于B：令 ，则 ，令 ，定义域为 ，关于原点对称，
且 ，故 为奇函数，B正确；
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 7对于C： 时， ； 时， ；
时， ；C正确；
对于D： 时， ， 时， ，
时， ，所以 只有1个零点，D错误；
故选：ABC
12．（多选题）（2023·湖北·校联考三模）已知函数 和 都是偶函数，当 时，
，则下列正确的结论是（ ）
A．当 时，
B．若函数 在区间 上有两个零点 、 ，则有
C．函数 在 上的最小值为
D．
【答案】ACD
【解析】因为函数 和 都是偶函数，则 ， ，
所以， ，即 ，
因此 是周期为 的周期函数．
对于A，当 时， ，则 ，
当 时，则 ，则 ，
综上所述，当 时， ，A对；
对于B选项，当 时， ，则 ，
不妨设 ，因为函数 在 上单调递减，则 ，
由 可得 ，
所以， ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 8即 ，则 ，B错；
对于C，因为函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
由于函数 是周期为 的周期函数，
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故当 时， ，
而函数 在 上单调递增，所以， ，则 ，
所以，当 时， ，
所以，函数 在 上的最小值为 ，C对；
对于D选项， ，
，
，
又函数 在 上单调递减， ，D对.
故选：ACD.
13．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知幂函数 的图像过点 ，则函数
的零点为________．
【答案】 ， ，
【解析】设幂函数 ，因为函数 的图像过点 ，所以 ，解得
所以 ，则函数 的零点为方程 的根，解得 或 ，
所以函数 的零点为 ， ， .
故答案为： ， ， .
14．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）已知 且 ，方程 有
且仅有两个不等根，则 的取值范围为______
【答案】
【解析】由 ，得 .
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 9令 ，则 ，
设函数 ，得 .令 ，得 .
在 上 单调递增；在 上 单调递减，
所以 ， ，又当 时， 恒成立，
所以方程 有且仅有两个不等根，
即曲线 图象与直线 有两个交点的充分必要条件是 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
15．（2023·广东深圳·统考一模）定义开区间 的长度为 ．经过估算，函数 的零点
属于开区间____________（只要求写出一个符合条件，且长度不超过 的开区间）．
【答案】 （不唯一）
【解析】因为 都是减函数，
所以 是减函数，
又 ，
即 ，
所以函数 在 上有零点，且 ，
故答案为 （不唯一）
16．（2023·山东烟台·统考二模）已知函数 ，若 存在四个不相等的实根 ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 10， ， ，则 的最小值是__________．
【答案】3
【解析】作函数 与 图象如下：
由图可得 ，
存在四个不相等的实根 ，可得 ，
可得 ， ，即 ， ，
所以 ，
当且仅当 即 且 等号成立，
则 的最小值是 .
故答案为： .
1．（2023•乙卷）函数 存在3个零点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ，
若函数 存在3个零点，
则 ，有两个不同的根，且极大值大于0极小值小于0，
即判别式△ ，得 ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 11由 得 或 ，此时 单调递增，
由 得 ，此时 单调递减，
即当 时，函数 取得极大值，当 时， 取得极小值，
则 ， ，
即 ，且 ，
即 ，①，且 ，②，
则①恒成立，
由 ， ，
平方得 ，即 ，
则 ，综上 ，
即实数 的取值范围是 ．
故选： ．
2．（2023•甲卷）函数 的图象由 的图象向左平移 个单位长度得到，则
的图象与直线 的交点个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】 的图象向左平移 个单位长度得到 ，
在同一个坐标系中画出两个函数的图象，如图：
的图象与直线 的交点个数为：3．
故选： ．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 123．（2021•天津）设 ，函数 ，若函数 在区间 内恰有6
个零点，则 的取值范围是
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】
【解析】 在区间 内恰有6个零点
又 二次函数最多有两个零点，
当 时， 至少有四个根，
，
令 ，即 ，
，
又 ，
，即 ，
①当 时， ， 有4个零点，即 ，
， 有5个零点，即 ，
， 有6个零点，即 ，
②当 时， ，
△ ，解得 ，
当 时，△ ， 无零点，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 13当 时，△ ， 有1个零点，
当 时， （a） ，
的对称轴 ，即 （a）在对称轴的左边，
当 时，即 ， 有两个零点，
当 时，即 ， 有1个零点，
综合①②可得，若函数 在区间 内恰有6个零点，则需满足：
或 或 ，
解得 ， ， ．
故选： ．
4．（2020•天津）已知函数 若函数 恰有4个零点，则 的取
值范围是
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】
【解析】若函数 恰有4个零点，
则 有四个根，
即 与 有四个交点，
当 时， 与 图象如下：
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 14两图象只有两个交点，不符合题意，
当 时， 与 轴交于两点 ，
图象如图所示，
当 时，函数 的函数值为 ，
当 时，函数 的函数值为 ，
所以两图象有4个交点，符合题意，
当 时，
与 轴交于两点 ，
在 ， 内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，
只需 与 在 ， 还有两个交点，即可，
即 在 ， 还有两个根，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 15即 在 ， 还有两个根，
函数 ，（当且仅当 ，即 时，取等号），
所以 ，且 ，
所以 ，
综上所述， 的取值范围为 ， ， ．
故选： ．
5．（2019•新课标Ⅱ）设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 ， 时，
．若对任意 ， ，都有 ，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【解析】因为 ， ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 16， 时， ， ，
， 时， ， ， ， ；
， 时， ， ， ， ，
当 ， 时，由 解得 或 ，
若对任意 ， ，都有 ，则 ．
故选： ．
6．（2019•新课标Ⅲ）函数 在 ， 的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】
【解析】函数 在 ， 的零点个数，
即方程 在区间 ， 的根个数，
即 在区间 ， 的根个数，
即 或 在区间 ， 的根个数，
解得 或 或 ．
所以函数 在 ， 的零点个数为3个．
故选： ．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 177．（2019•天津）已知函数 若关于 的方程 恰有两个互异的实数
解，则 的取值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【解析】作出函数 的图象，
以及直线 的图象，
关于 的方程 恰有两个互异的实数解，
即为 和 的图象有两个交点，
平移直线 ，考虑直线经过点 和 时，
有两个交点，可得 或 ，
考虑直线与 在 相切，可得 ，
由△ ，解得 舍去），
综上可得 的范围是 ， ．
故选： ．
8．（2019•浙江）设 ， ，函数 若函数 恰有3个零
点，则
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 18A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【解析】当 时， ，得 ； 最多一个
零点；
当 时， ，
，
当 ，即 时， ， 在 ， 上递增， 最多一个零点．不
合题意；
当 ，即 时，令 得 ，函数递增，令 得 ， ，函数递减；函
数最多有2个零点；
根据题意函数 恰有3个零点 函数 在 上有一个零点，在 ，
上有2个零点，
如右图：
且 ，
解得 ， ， ．
，
故选： ．
9．（2023•北京）设 ，函数 给出下列四个结论，正确的序号为 ．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 19① 在区间 上单调递减；
②当 时， 存在最大值；
③设 ， ， ， ，则 ；
④设 ， ， ， ，若 存在最小值，则 的取值范围时 ， ．
【答案】②③
【解析】 ，当 时， ，图像为一次函数；
当 时， ，图像为以 为圆心， 为半径的圆的上半弧；
当 时， ，图像为单调递减的曲线；
其函数图象大致如下：
选项①，取 ， 在区间 上先单调递增，后单调递减，选项①错误；
选项②，当 时，
， ；
， ，最大值为 ；
， ；
所以 存在最大值 ，选项②正确；
选项③，由图可知，当点 位于点 ，点 无限接近于点 时， 的长度最短，
当 无限接近于点 时， 无限接近于 ，
所以 ，选项③正确；
选项④，如上图，若 存在最小值，则 、 应该是直线 分别于 ，
的交点，
直线 与 一定存在交点，而直线 与 不一定存在交点，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 20当直线 与 没有交点时， ，即 ，此时由于 点取不到， 不存在最小值，
所以 ，选项④错误．
故答案为：②③．
10．（2023•天津）若函数 有且仅有两个零点，则 的取值范围为 ．
【答案】 ， ， ， ．
【解析】①当 时， ，不满足题意；
②当方程 满足 且△ 时，
有 即 ， ， ，
此时， ，当 时，不满足，
当 时，△ ，满足；
③△ 时， ， ， ，
记 的两根为 ， ，不妨设 ，
则 ，
当 时， ， 且 ， ， ，
但此时 ，舍去 ，
， ，且 ，
但此时 ，舍去 ，
故仅有1与 两个解，
于是， ， ， ， ．
故答案为： ， ， ， ．
11．（2022•天津）设 ，对任意实数 ，记 ， ．若 至少有3个
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 21零点，则实数 的取值范围为 ．
【答案】 ， ．
【解析】设 ， ，由 可得 ．
要使得函数 至少有3个零点，则函数 至少有一个零点，
则△ ，
解得 或 ．
①当 时， ，作出函数 、 的图象如图所示：
此时函数 只有两个零点，不满足题意；
②当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有3个零点，则 ，
所以， ，解得 ；
③当 时， ，作出函数 、 的图象如图所示：
由图可知，函数 的零点个数为3，满足题意；
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 22④当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有3个零点，则 ，
可得 ，解得 ，此时 ．
综上所述，实数 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
12．（2019•上海）已知 ， 与 轴交点为 ，若对于 图象上任意一点
，在其图象上总存在另一点 、 异于 ，满足 ，且 ，则 ．
【答案】
【解析】由题意，可知：
令 ，解得： ，
点 的坐标为： ， ．
则 ．
大致图象如下：
由题意，很明显 、 两点分别在两个分段曲线上，
不妨设点 在左边曲线上，点 在右边曲线上．
设直线 的斜率为 ，则 ．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 23联立方程： ，
整理，得： ．
．
，
．
再将 代入第一个方程，可得：
．
点 的坐标为： ， ．
．
，
直线 的斜率为 ，则 ．
同理类似求点 的坐标的过程，可得：
点 的坐标为： ．
，及 的任意性，可知：
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 24，解得： ．
故答案为： ．
13．（2019•江苏）设 ， 是定义在 上的两个周期函数， 的周期为4， 的周期为2，且
是奇函数．当 ， 时， ， 其中 ．若在区间 ，
上，关于 的方程 有8个不同的实数根，则 的取值范围是 ．
【答案】 ，
【解析】作出函数 与 的图象如图，
由图可知，函数 与 ， ， ， 仅有2个实数根；
要使关于 的方程 有8个不同的实数根，
则 ， ， 与 ， ， 的图象有2个不同交点，
由 到直线 的距离为1，得 ，解得 ，
两点 ， 连线的斜率 ，
．
即 的取值范围为 ， ．
故答案为： ， ．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 25学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 26
