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专题 05 三角形内接矩形型
【基本模型】由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。
结论：AH⊥GF， AGF∽△ABC，
△
【例题精讲】
例．有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形
桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更
好（加工损耗忽略不计）．
【答案】甲同学
【详解】解：如图1所示，设甲同学加工的桌面边长为xm，
∵DE∥AB
∴△CDE∽△CBA
∴
即
∴x＝图2所示，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，交DE于点P．
由勾股定理得：AC＝
∵ ，∴
设乙同学加工的桌面边长为ym，
∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴ ，即 ，∴y＝
∵ ＞ ，即x＞y，x2＞y2
∴甲同学的加工方法更好．
【变式训练1】如图1，在 ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，
EF在BC上． △
（1）求正方形DEFG的边长；
（2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ．
【答案】（1） ；（2） ．
【详解】解：过点作AM⊥BC于点M，
∵AB=AC=5，BC=6，∴BM= BC=3，
在Rt ABM中，AM= =4，
△∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，DE⊥BC，
∴AN⊥DG，四边形EDMN是矩形，∴MN=DE，
设MN=DE=x，
∵DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，
∴DG：BC=AN：AM，∴ ，
解得：DG=﹣ x+6，
∵四边形DEFG为正方形，
∴DE=DG，即x=﹣ x+6，
解得x= ，
∴正方形DEFG的边长为 ；
（2）由题意得：DN=2DE，
由（1）知： ，
∴DE= ．
故答案为 ．
【变式训练2】一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零
件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
【答案】（1）证明见试题解析；（2）48；（3）2400．
【详解】（1）∵四边形EGHF为矩形，∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
（2）设正方形零件的边长为x，
在正方形EFHG中，EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴ 即 ，解得：x=48，
即：正方形零件的边长为48；
（3）设长方形的长为x，宽为y，
当长方形的长在BC时， ， ，
，
当x=60时，
长方形的面积最大为2400．
【变式训练3】如图已知正方形DEFG的顶点D、E在 ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．
如果BC=4， ABC的BC边上的高是3，那么这个正方△形的边长是_____．
△
【答案】【详解】如图，过点A作AM⊥BC于M，
∵△ABC的BC边上的高是3，∴AM=3，
∵四边形DEFG是正方形，
∴GD=FG,GF∥BC,GD∥AM，∴△AGF∽△ABC，△BGD∽△BAM，
∴ ， ．
∴ ．
∴GF= ．
故答案为： ．
【课后训练】
1．如图，已知三角形铁皮 的边 ， 边上的高 ，要剪出一个正方形铁片 ，
使 、 在 上， 、 分别在 、 上，则正方形 的边长 ________．
【答案】
【详解】解：如图，设高AM交GF于H点，
∵四边形DEFG为正方形，
∴GF∥DE，即：GF∥BC，
∴AH⊥GF， AGF∽△ABC，∴ ，
△设正方形的边长为 ，∴ ，解得： ，
故答案为： ．
2．一块直角三角形木板的面积为 ，一条直角边 为 ，怎样才能把它加工成一个面积最大的正
方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工
损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．
【答案】乙木匠的加工方法符合要求．说明见解析．
【详解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如图
∵
∴∵
∴
∴
又∵DE∥AC
∴
∴ ，解得
设正方形的边长为x米，如图乙
∵DE∥AB
∴
∴ ，解得
∵
∴乙木匠的加工方法符合要求．
3．如图，正方形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，交EH于点M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正
方形EFGH的边长．
【答案】
【详解】解： ∵四边形EFGH是正方形
∴EH∥BC
∴ AEH∽ ABC
△ △∴ ，即
解得：EH=
∴EFGH的边长为
4．如图,在 中， ， ，高 ，矩形 的一边 在 边上， 、 分别在
、 上， 交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)设 ，当 为何值时，矩形 的面积最大?并求出最大面积；
(3)当矩形 的面积最大时，该矩形 以每秒 个单位的速度沿射线 匀速向上运动(当矩形的边
到达 点时停止运动)，设运动时间为 秒，矩形 与 重叠部分的面积为 ，求 与 的函数关
系式，并写出 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）当x为 时，矩形的面积有最大值5；（3）S=
【详解】解：（1）∵四边形EFPQ为矩形，
∴EF∥BC，
∴ ；
（2）∵
∴ ，即 ，∴HD=4- ，
∴S =EF•FQ=EF•HD=x（4- ）=- x2+4x，
矩形EFPQ
该函数为开口向下的二次函数，故当x= 时有最大值，最大值为5，
即当x为 时，矩形的面积有最大值5；
（3）由（2）可知，当矩形面积取最大值时，EF= ，FQ=2，
①当0≤t≤2时，如图1，设矩形与AB、AC分别交于点M、N、R、S，与AD交于J、L，连接RS，交AD
于K，
由题意可知LD=JK=t，则AJ=AD-LD-JL=4-t-2=2-t，
又∵RS= ，
∴R、S为AB、AC的中点，
∴AK= AD=2，ES=FR=JK=t，
又∵MN∥RS，
∴ ，即 ，
∴MN= - t，
∴EM+FN=EF-MN= -（ - t）= t，
∴S +S = ES（EM+FN）= t• t= ，
EMS FNR
△ △∴S=S -（S +S ）=5- ；
矩形EFPQ EMS FNR
△ △
②当2＜t≤4时，如图2，设矩形与AB、AC、AD分别交于点Q′、P′、D′，
根据题意D′D=t，则AD′=4-t，
∵PQ∥BC，
∴ ，即 ，
解得P′Q′=5- t，
∴S=S = P′Q′•AD′= （4-t）（5- t）= -5t+10；
AP′Q′
△
综上可知S= ．
5．（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求
证： ；
（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别
交DE于M，N两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
②如图3，求证MN2=DM·EN．【答案】（1）证明见解析；（2）① ；②证明见解析．
【详解】解：（1）在△ABQ和△ADP中，
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴ ，
同理在△ACQ和△APE中， ，
∴ ；
（2）①作AQ⊥BC于点Q．
∵BC边上的高AQ= ，
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF
∴DE：BC=1：3
又∵DE∥BC
∴AD：AB=1：3，
∴AD= ，DE= ，
∵DE边上的高为 ，MN：GF= ： ，
∴MN： = ： ，∴MN= ．故答案为： ．②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC，
∴△BGD∽△EFC，∴ ，∴DG•EF=CF•BG，
又∵DG=GF=EF，∴GF2=CF•BG，
由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
∵GF2=CF•BG，∴MN2=DM•EN．
6．如图，在 ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边
AB向点B运动△．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧做正方形PDEF．设正
方形PDEF与 ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）当点D在△边AC上时，正方形PDEF的边长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．
【答案】（1）2t；（2） ；（3） ；（4）t＝ 或【详解】（1）∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB，
∴∠A＝∠ADP＝45°，∴AP＝DP＝2t，故答案为2t，
（2）如图，
∵四边形DEFP是正方形，
∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°，
∵∠A＝∠B＝45°，
∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°，
∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF，
∵AB＝AP+PF+FB，
∴2t+2t+2t＝8，∴t＝ ；
（3）当0＜t≤ 时，正方形PDEF与 ABC重叠部分图形的面积为正方形PDEF的面积，
△
即S＝DP2＝4t2，
当 ＜t≤2时，如图，正方形PDEF与 ABC重叠部分图形的面积为五边形PDGHF的面积，
△
∵AP＝DP＝PF＝2t，
∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t，
∵BF＝HF＝8﹣4t，
∴EH＝EF﹣HF＝2t﹣（8﹣4t）＝6t﹣8，∴S＝S DPFE﹣S GHE，
正方形
△
∴S＝4t2﹣ ×（6t﹣8）2＝﹣14t2+48t﹣32，
综上所述，S与t之间的函数关系式为 .
（4）如图，当点E在 ABC内部，设DF与PE交于点O，
△
∵四边形PDEF是正方形，
∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，
∴∠DFP＝∠ABC＝45°，
∴DF∥BC，
∴ ，
∵DF＝4EG，
∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，
∴PG＝5a，
∴ ，
∴ ，
∴t＝ ，
如图，当点E在 ABC外部，设DF与PE交于点O，
△∵四边形PDEF是正方形，
∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，
∴∠DFP＝∠ABC＝45°，
∴DF∥BC，∴ ，
∵DF＝4EG，∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，
∴PG＝3a，
∵ ，
∴ ，
∴t＝ ，
综上所述：t＝ 或 .
