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专题 05 三角形内接矩形型
【基本模型】由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的、。
结论：AH⊥GF， AGF∽△ABC，
△
【例题精讲】
例．有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形
桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更
好（加工损耗忽略不计）．
【变式训练1】如图1，在 ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，
△EF在BC上．
（1）求正方形DEFG的边长；
（2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ．
【变式训练2】一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零
件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
【变式训练3】如图已知正方形DEFG的顶点D、E在 ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．
如果BC=4， ABC的BC边上的高是3，那么这个正方△形的边长是_____．
△【课后训练】
1．如图，已知三角形铁皮 的边 ， 边上的高 ，要剪出一个正方形铁片 ，
使 、 在 上， 、 分别在 、 上，则正方形 的边长 ________．
2．一块直角三角形木板的面积为 ，一条直角边 为 ，怎样才能把它加工成一个面积最大的正
方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工
损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．
3．如图，正方形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，交EH于点M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正
方形EFGH的边长．
4．如图,在 中， ， ，高 ，矩形 的一边 在 边上， 、 分别在、 上， 交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)设 ，当 为何值时，矩形 的面积最大?并求出最大面积；
(3)当矩形 的面积最大时，该矩形 以每秒 个单位的速度沿射线 匀速向上运动(当矩形的边
到达 点时停止运动)，设运动时间为 秒，矩形 与 重叠部分的面积为 ，求 与 的函数关
系式，并写出 的取值范围．
5．（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求
证： ；
（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别
交DE于M，N两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
②如图3，求证MN2=DM·EN．6．如图，在 ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边
AB向点B运动△．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧做正方形PDEF．设正
方形PDEF与 ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）当点D在△边AC上时，正方形PDEF的边长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．
