文档内容
专题 05 一次函数的应用
目录
A题型建模・专项突破
题型一、一次函数的应用之分配方案问题..........................................................................................................1
题型二、一次函数的应用之最大利润问题..........................................................................................................5
题型三、一次函数的应用之行程问题..................................................................................................................8
题型四、一次函数的应用之梯度计费问题........................................................................................................13
B综合攻坚・能力跃升
题型一、一次函数的应用之分配方案问题
1．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）随着端午节的临近， ， 两家超市开展促销活动，各自推出
不同购物优惠方案，如表：
超市 超市
优惠方
所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元
案
(1)当购物金额为90元时，选择______超市（填“ ”或“ ”）更省钱；当购物金额为120元时，选择
______超市（填“ ”或“ ”）更省钱；
(2)当购物金额为 元时，请分别写出它们的实付金额 （元）与购物金额 （元）之间的函数
表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？
【答案】(1)
(2)当 或 时，选择A超市更省钱；当 时，两家超市实付金额相同；，当
时，选择B超市更省钱
【分析】本题考查了一次函数的实际应用及方案选择问题，解题的关键是根据两家超市的优惠方案列出实
付金额的函数表达式，通过比较函数值的大小确定最省钱的购物方案．
（1）分别计算购物金额为 元和 元时在A、B超市的实付金额，比较后得出更省钱的超市；
（2）分情况列出A、B超市实付金额与购物金额的函数表达式 超市为一次函数，B超市分 和
两段）；通过解方程和不等式比较函数值大小，确定不同购物金额范围内的最优选择．
【详解】（1）解：当购物金额为 元时，
A超市实付金额： 元；
B超市实付金额： 元（不满 元不返现）．
∵ ，∴选择A超市更省钱．
当购物金额为 元时，
A超市实付金额： 元；B超市实付金额： 元（满 元返 元）．
∵ ，
∴选择B超市更省钱．
（2）解：A超市实付金额函数表达式： ．
B超市实付金额函数表达式：
当 时，不返现， ；
当 时，满 元返 元， ．
比较省钱方案：
当 时， ，选择A超市更省钱；
当 时，令 ，解得 ．
当 时， ，选择B超市更省钱；
当 时， ，两家超市实付金额相同；
当 时， ，选择A超市更省钱．
答：当 或 时，选择A超市更省钱；当 时，两家超市实付金额相同；，当
时，选择B超市更省钱．
2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内
的杨梅单价是每千克40元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案：
甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费；
乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费，超过10千克后，超过部
分按原价的五折收费．
设采摘量为 千克，按甲方案所需总费用为 元，按乙方案所需总费用为 元．
(1)当采摘量超过10千克时，分别求出 ， 与 之间的函数关系式；
(2)当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？
(3)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由．
【答案】(1) ， ．
(2)1.875千克或42.5千克
(3)甲方案更划算，理由见解析
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键．
（1）根据两种方案分别求函数关系式即可；
（2）分当 时和当 时两种情况，令 ，分别解一元一次方程即可求解；
（3）分别求出 时的 ， ，比较大小即可得出结论．
【详解】（1）解：当采摘量超过10千克时， ，
根据题意，得 ；；
（2）解：当 时， ，
令 ，则 ，解得 ；
当 时，令 ，则 ，解得 ，
答：当采摘1.875千克或42.5千克时，两种方案的价格相同．
（3）解：选择甲方案更划算．理由如下：
当 时， ．
因为 ，所以选择甲方案更划算．
3．（24-25九年级上·浙江台州·期中）根据以下素材，探索完成任务：
如何制定订餐方案
某班级组织志愿者活动，需提前为同学们订购午餐，现有 两种套餐可供选择，套餐信息及团购
优惠方案如下所示：
套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案
素
材
：米饭套 方案一： 套餐满20份及以上每份均打9折；
30元
1
餐 方案二： 套餐满12份及以上每份均打8折；
方案三：总费用满850元立减90元．
：面食套餐 25元
（方案三不可与方案一、方案二叠加使用）
素 该班级共31位同学，每人都从 两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有
材 20人已经确定 或 套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优
2 惠条件均不满足，费用合计为565元．
问题解决
任
务 已知确定套餐的20人中，有_________人选择 套餐，___________人选择 套餐．
1
任
设两种套餐皆可的同学中有 人选择 套餐，该班订餐总费用为 元，当全班选择 套餐人数不少
务
于20人时，请求出 与 之间的函数关系式．
2
任
务 要使得该班订餐总费用最低，则 套餐应各订多少份？并求出最低总费用．
3
【答案】任务一：13，7；任务二： ；任务三：订购 套餐13份，订购 套餐18份时，订餐总费用最低750元
【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用：
任务一：设20人中有x人选择A套餐，则有 人选择B套餐，根据总费用为565元列一元一次方程，
解方程即可；
任务二：先判断选择 套餐人数是否满足优惠方案二的条件，再根据优惠方式列函数关系式即可；
任务三：先计算出 以及 时， 与 之间的函数关系式，计算出所需的低费用，再计算出按
照优惠方案三所需的最低费用，最后比较大小即可．
【详解】解：任务一：
设20人中有x人选择 套餐，
由题意知， ，
解得 ，
，
即20人中有13人选择A套餐，7人选择B套餐，
故答案为：13，7；
任务二：∵两种套餐皆可的11人中有 人选择 套餐，
∴当 套餐人数不少于20人时， ，
∴ ，
则选择 套餐人数为 ，不满足优惠方案二的条件，
∴订餐总费用为： ；
任务三：∵两种套餐皆可的11人中有 人选择 套餐，
①当 时，由（2）得： ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时总费用最小为 （元），
②当 时， ，
∴订餐总费用 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴ 时， 最小为750元，
③若选择优惠方案三，订餐总费用为 ，
∵总费用满850元立减90元，且 ，
∴当 时，订餐费用最小为 （元），
综上所述，当订购 套餐13份，订购 套餐18份时，订餐总费用最低750元．题型二、一次函数的应用之最大利润问题
4．（24-25八年级下·广东广州·阶段练习）汽车租赁公司共有50台客车，其中大客车20台，小客车30台，
现要将这50台客车派往A、B两学校，其中30台派往A校，20台派往B校．两校与该汽车租赁公司商定
的每天的租赁价格见表：
每台大客车的租金 每台小客车的租金
A校 1800 1600
B校 1600 1200
(1)设派往A校x台小客车，租赁公司这50台客车一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，
写出x的取值范围；
(2)如果要使这50台客车每天获得的租金最高，请你为汽车租赁公司提一条合理化建议．
【答案】(1)
(2)要使这50台客车每天获得的租金最高，汽车租赁公司应将 台小客车全部派往 校，将 台大客车全
部派往 校
【分析】本题考查了一次函数的应用，正确列出一次函数的解析式是解此题的关键．
（1）由题意可得，派往 校 台大客车，派往 校 台小客车，派往 校 台大客车，
再结合题意列出y与x间的函数关系式即可，列出一元一次不等式组，即可得出x的取值范围；
（2）根据一次函数的性质即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得，派往 校 台大客车，派往 校 台小客车，派往 校
台大客车，
则 ，
∵ ，
解得： ，
∴y与x间的函数关系式为 ；
（2）解：∵ ，
∴ 随着 的增大而增大，
∴当 时， 的值最大，
此时 （台）， （台），
∴要使这50台客车每天获得的租金最高，汽车租赁公司应将 台小客车全部派往 校，将 台大客车全
部派往 校．
5．（24-25八年级下·上海松江·阶段练习）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型
皮鞋不得少于 ．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元．
(1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式并写出x的取值范围．
(2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是224000元．
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意，然后利用题目的数量关系列出函
数解析式．
（1）依据题意，设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋 双，根据加工A型皮鞋，每双可
获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元列出关系式即可；
（2）依据题意，先利用不等式组得出x的取值范围，再根据一次函数的性质可得最大利润．
【详解】（1）由题意，设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋 双，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴y与x之间的函数解析式为 ；
（2）解：∵ 中， ，
∴y随x的增大而减小，
∴当 时，获得利润最大，且最大值为： （元），此时B型皮鞋为：
（双），
答：生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是224000元．
6．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）某商店销售一种产品，该产品成本价为8元/件，售价为10元/件，
销售人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象．图中的折线 表示日销量y（件）与销售时
间x（天）之间的函数关系，若线段 表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件．
(1)第26天的日销量是______件，这天销售利润是______元；
(2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)销售期间日销售最大利润是多少元？日销售利润不低于660元的天数共有多少天？
【答案】(1)320；640
(2)(3)720元；8天
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用．
（1）根据题意“线段 表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件”，已知第22天的销售
量，可求第26天的销售量；再根据日利润 单件利润 日销售量，求出当天总利润即可；
（2）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线 、 的函数关系式，进而可以判断得解；
（3）由函数的图象可得，当 时，可求出最高销售量，即可求最大利润；根据日销售量 日销售利
润 每件的利润，可求出日销售量，将其分别代入 、 的函数关系式中求出x值，将其相减加1即可
求出日销售利润不低于660元的天数．
【详解】（1）解：由题意，∵时间每增加1天，日销量减少5件，且第22天的销售量为340件，
∴第26天的日销售是 （件），
∴这天销售利润是 （元），
故答案为：320，640；
（2）解：设直线 的函数关系式为 ，将 代入 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的函数关系式为 ；
当 ， ；
当 ， ，
∴ 过 ， ，
设直线 的函数关系式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的函数关系式为 ，
令 ，
解得 ，
∴直线 和直线 的交点坐标为 ，
综上，y与x的函数关系式 ；
（3）解：由函数的图象可得，当 时，日销售为 ，
此时日销售利润最大为： （元）；
又∵每件利润为： （元），∴当销售利润为660元时，销售量为330件，
∴令 ，则有 或 ，
∴ 或 ，
∴日销售利润不低于660元的天数在17到24之间，
∴ （天），
∴日销售利润不低于660元的天数共有8天．
题型三、一次函数的应用之行程问题
7．（2025八年级上·全国·专题练习）已知 两地之间有一条长 的高速公路．甲、乙两车分别从
两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以 的速度匀速行驶 与乙车相遇，再以另一
速度继续匀速行驶 到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程
与甲车的行驶时间 之间的函数关系如图所示．
(1) ________， ________；
(2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；
(3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．
【答案】(1)2，5
(2)
(3)甲车距A地的路程为
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象是解答本题的关键．
（1）先根据甲乙两车相遇时甲车行驶的路程除以速度可求出m的值，再用m的值加3即可得n的值；
（2）由（1）得 和 ，再运用待定系数法求解即可；
（3）先求出乙车的行驶速度，从而可求出行驶时间，代入函数关系式可得结论．
【详解】（1）解：根据题意得， （时）
（时）
故答案为：2，5；
（2）由（1）得 和 ，
设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为则有： ，
解得，
甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式
（3）甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为 千米，
∴乙车的速度为： （千米/时）
∴乙车行完全程用时为： （时）
∵
∴当 时， 千米，
即：当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为 千米．
8．（2025·浙江衢州·三模）已知A、B两地间有C地，客车由A地驶向C地，货车由B地经过C地去A地
（客货车在A、C两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶．货车的速度是客车速度的 ．图
是客车、货车距C地的路程 ， 与行驶时间 的函数关系的图象．
(1)求客车的速度及A、B两地间的路程；
(2)求货车距C地的路程 与x的函数关系式；
(3)请直接写出两车出发多长时间时相距 的路程．
【答案】(1)客车的速度为 ，A、B两地间的路程为
(2)
(3) 或
【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
（1）根据函数图象中的数据，可以先计算出客车的速度，然后根据货车的速度是客车速度的 ，即可计算出货车的速度，然后再根据图象中的数据，即可计算出A、B两地间的路程；
（2）根据函数图象中的数据，求出货车 与 的函数关系式即可；
（3）先计算出客车 与 的函数关系式根据题意可知，分两种情况，相遇前和相遇后相距 ，然后列
出相应的方程求解即可．
【详解】（1）解：由图象可得，
客车的速度： ，
则货车速度： ，
A与B两地间路程为： ，
（2）当 时，设货车 与 的函数关系式是 ，
货车的速度为 ， ，
该函数过点 ， ，
，
解得 ，
即当 时，货车 与 的函数关系式是 ；
由于货车到达A地用时 ，
∴当 时，设货车 与 的函数关系式是 ，
点 ， 在该函数图象上，
，
解得 ，
即当 时，货车 与 的函数关系式是 ；
由上可得，货车 与 的函数关系式是 ；
（3）解：设客车 与 的函数关系式是 ，
，
解得 ，
即客车 与 的函数关系式是 ；当 时， ， ，
∴当两车相遇前相距 时，
，
解得 ；
当两车相遇后相距 时，
，
解得 ，
综上所述，出发后经过 或 ，两车相距 ．
9．（2025·浙江温州·三模）甲、乙两车从 地驶向 地，并以各自的速度匀速行驶甲车比乙车提早2h出
发，并且甲车途中休息了1h，如图是甲乙两车行驶的距离 与时间 的函数图象．
(1)求出图中 ______， ______；
(2)求出甲车行驶路程 与时间 的函数表达式，并写出相应 的取值范围；
(3)当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距 ．
【答案】(1)50，1
(2) ；
(3)当乙车行驶 或 时，两车恰好相距 ．
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
（1）根据图象及甲车休息的时间求出m的值；根据速度=路程÷时间求出甲车的速度，再由路程=速度×时
间求出m的值即可；
（2）按照x的取值范围，根据路程=速度×时间分别写出对应的函数表达式并最终写成分段函数的形式即
可；
（3）写出乙车行驶路程 与时间 的函数表达式，当两车相距 时列出关于x的绝对值方程并
求解，再根据乙出发时的时间计算乙车行驶的时间即可．
【详解】（1）解： ，
∴ ，甲车的速度为 ，
则 ，
∴ ．
故答案为：50，1；
（2）解：当 时， ，
当 时， ，
，
当 时， ，
∴甲车行驶路程 与时间 的函数表达式及相应x的取值范围为：
；
（3）解：乙车的速度为 ，
则 ，
当 时，解得 ，
∴乙车行驶路程 与时间 的函数表达式为 ，
当两车恰好相距 时，得 ，
解得 或 ，
，
．
答：当乙车行驶 或 时，两车恰好相距 ．
题型四、一次函数的应用之梯度计费问题
10．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）天然气收费标准如下表所示：
用气类型 气价
及以下部分 3.35元
居民生活用气 部分（不包含 包含
3.93元
阶梯气价（每年每户） ）
以上部分 4.80元设某户每月用气量为 ，应交燃气费为 （元）．
(1)写出用气量未超过 时， 与 之间的函数关系式；
(2)当小明家交燃气费为1156.8元时，求小明家用气量．
【答案】(1)
(2)小明家用气量为
【分析】本题考查一次函数，一元一次方程的应用．
（1）应交燃气费 每月用气量 气价；
（2）先求出x范围，再列方程即可．
【详解】（1）解：由表格可知，当 时， ，
当 时， ，
∴用气量未超过 时，y与x之间的函数关系式为 ；
（2）解：∵ （元）， （元），
∴小明家用气量超过 ，但不超过 ，即 ，
∴ ，
解得 ；
∴小明家用气量为 ．
11．（2025·山西朔州·模拟预测）每年年终，居民个人需要汇总上年度本人全年应纳税所得额，进行综合
年度汇算，依法纳税．下表是2025年我国现行个人所得税税率表（1至4级部分）
个人所得税税率表（综合所得适用）
级 税率 速算扣除
全年应纳税所得额
数 数
1 不超过36000元的 3 0
超过36000元至144000
2 10 2520
元的
超过144000元至300000
3 20 16920
元的
超过300000元至420000
4 25 31920
元的
计算公式：应纳税额 全年应纳税所得额×适用税率 速算扣除数．
设个人全年应纳税所得额为x元，应缴纳税款为y元．(1)若张师傅纳税适用级数为2级，请写出y关于x的函数表达式；
(2)已知李师傅纳税2575.71元，他全年应纳税所得额是多少元？
【答案】(1)
(2)50957.1元
【分析】此题考查一次函数的应用，理解题意并根据计算公式写出函数关系式是解题的关键：
（1）根据计算公式计算即可；
（2）先判断李师傅纳税使用级数，再根据对应级数y关于x的函数表达式，当 时，求出对应的
x的值即可
【详解】（1）解： ，
∴y关于x的函数表达式为 ．
（2）解：因为根据李师傅纳税2575.71元， ，
所以李师傅纳税适用级数为2级， 关于 的函数表达式为 ．
当 时， ．
解得 ．
答：李师傅全年应纳税所得额是50957.1元．
12．（24-25八年级下·重庆南川·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向 的出行
市场，现有 两种品牌的共享电动车，如图所示的图象反映了收费 （元）与骑行时间 之间的函
数关系，其中 品牌收费方式对应 品牌的收费方式对应 ．
请根据相关信息．解答下列问题：
(1) 品牌共享电动车的起步价是___元； 品牌共享电动车的收费是每分钟_____元；
(2)求 品牌共享电动车超过 后，收费 关于 的函数解析式；
(3)请直接写出当骑行时间 为何值时，两种品牌的共享电动车收费相差4元．
【答案】(1)7，
(2)
(3) 或
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的列出函数关系式，是解题
的关键.
（1）直接从图象获取信息，用总费用除以时间，求出A品牌共享电动车的收费即可；（2）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）分 和 ，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：由图象可知，B品牌共享电动车的起步价是7元，A品牌共享电动车的收费是每分钟：
（元），
故答案为：7； ；
（2）解：设 ，
把 代入，得： ，
解得： ；
∴ ；
（3）解：当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得： ；
综上： 或 ．
一、单选题
1．（2025·四川广元·模拟预测）“双十一”期间，某网店开展了促销活动，购买原价超过300元的商品，
超过300元的部分可享受打折优惠．如果购买的商品实际付款 （元）与原价 （元）之间的函数关系如
图所示，则超过300元的部分可享受的打折优惠是（ ）
A．打八折 B．打七折 C．打六折 D．打五折
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．
设超过300元的部分可享受的打折优惠打 折，那么 ，然后代入 ，即
可得出答案．
【详解】解：设超过300元的部分可享受的打折优惠打 折，那么代入 ，得
解得 ，即打八折，
故选：A．
2．（2023八年级上·安徽蚌埠·竞赛）甲、乙两车从 地出发，匀速驶往 地．乙车出发 后，甲车才沿
相同的路线开始行驶．甲车先到达 地并停留 分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中
的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离 与甲车行驶的时间 的函数关系的图象，则
（ ）
A．甲车速度是 B．A、 两地的距离是
C．乙车出发 时甲车到达 地 D．甲车出发 最终与乙车相遇
【答案】C
【分析】本题考查从函数图象中获得信息，相遇问题．
分析两车之间的距离 与甲车行驶的时间 的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解．
【详解】解：点 中可知，乙1小时行驶了 ，
∴乙的速度 ，
点 中可知， 后，甲追上乙，
∴甲的速度为 ，
由点 可知，甲到 地，且甲乙相差 ，则：
，
点 可知，休息 分钟，
∴ ， ；
点 可知，甲乙再次相遇， ；
A．甲车的速度是 ，故A错误，不符合题意；
B．由以上分析已知甲出发 后到达B地，且甲速度为 ，所以A，B两地为 ，
故B错误，不符合题意；C．甲车 到达B地，乙车比甲车早出发 ，所以乙车出发 时甲车到达 地，故C正确，符合题意；
D．从上中 和 可知，甲出发 和 与乙车相遇，故D错误，不符合题意．
故选：C．
3．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）某通信公司提供了A，B两种方案的通信费用y（元）与通话时
间x（分钟）之间的关系，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．若通话时间少于100分钟，则A方案比B方案便宜
B．若通话时间超过160分钟，则B方案比A方案便宜
C．若通信费用为80元，则A方案比B方案的通话时间多
D．若两种方案的通话时间相同，则通信费用相差20元
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握图象信息是关键．根据图象信息逐项分析判断即可．
【详解】解：A、由图象可知：通话时间少于100分钟，则B方案比A方案便宜，原说法错误，不符合题
意；
B、由图象可知：若通话时间超过160分钟，则 方案比 方案便宜，原说法错误，不符合题意；
C、由图象可知：若通信费用为80元，则 方案比 方案的通话时间多，原说法正确，符合题意；
D、由图象可知：若两种方案的通话时间相同，通话时间小于100分钟时，通信费用相差20元，原说法不
准确，不符合题意；
故选：C．
二、填空题
4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）本地区一种产品30天的销售情况如图所示．产品日销售量y（单位：
件）与时间t（单位：天）之间的函数关系如图①所示，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单
位：天）之间的函数关系如图②所示．已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，则下列结论正确
的是 ．（请填写序号）
①第24天的销售量为200件；
②第10天一件产品的销售利润是15元；③第12天与第30天这两天的日销售利润相等．
【答案】①②
【分析】本题考查的是一次函数的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，从函数图象中获取信息．
由图①的信息可判断结论①；再求解一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系
式，计算当 时， ，可判断结论②；再求解当 时，设产品日销售量y（单位：件）与时
间t（单位：天）的函数关系式：分别计算第12天与第30天的销售量，从而可判断结论③．
【详解】解：由图①中的信息可得：第24天的销售量为200件，故结论①正确；
设当 时，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为： ，
，
解得： ，
，
当 时， ，
所以第10天销售一件产品的利润是15元，故结论②正确；
当 时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系为： ，
，
解得： ，
，
当 时， ， ，
所以第12天的日销售利润为： 元，
第30天的日销售利润为： 元，而 ，故结论③错误；
故答案为∶ ①②．
5．（24-25八年级上·全国·期末）有两段长度相等的路面，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工，甲、
乙两个施工队铺设路面的长度y（米）与施工时间x（时）的函数关系的部分图象如图所示．下列四种说法：
①施工2小时，甲队的施工速度比乙队的施工速度快；
②施工4小时，甲、乙两队施工的长度相同；
③施工6小时，甲队比乙队多施工了10米；
④如果甲队施工速度不变，乙队在施工6小时后，施工速度增加到每小时12米，结果两队同时完成铺设任
务，则路面铺设任务的长度为110米．
其中正确的有 ．【答案】②③④
【分析】本题考查一次函数的应用，由函数图形读取信息，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的
性质和数形结合的思想解答．根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而
可以解答本题．
【详解】解：由图象可得，施工2小时，甲队的施工速度比乙队的施工速度慢，故①错误；
甲的施工速度为： （米/时），当 时，乙的施工速度为： （米/时），
施工4小时，甲队施工 （米），乙队施工 （米），故②正确；
施工6小时，甲队比乙队多施工了 （米），故③正确；
设路面铺设任务的长度为s米，
，
解得： ，即路面铺设任务的长度为110米，故④正确；
故答案为：②③④．
6．（24-25八年级下·重庆万州·阶段练习）已知货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向
而行．轿车出发 后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设货车行驶的时间为x（单位：
h），货车、轿车与甲地的距离分别为 （单位： ）， （单位： ），如图所示的线段 、折线
分别表示 ， 与x之间的函数关系．
（1）货车行驶的速度为 ；
（2）当轿车到达甲地时，货车距甲地 ；
（3）两车出发 h时，两车相距 ．
【答案】 75 480 2.25或4.75【分析】本题考查了根据函数图像读取信息以及一次函数的实际应用，读懂题意，结合图像与行程问题的
数量关系解题是关键．
（1）用货车的总路程除以时间即可得出货车的速度；
（2）求出 所在直线的解析式为 ，进而得出点E的坐标为 ，将 代入 计算求
出即可；
（3）先求出图中各点的坐标，分别根据待定系数法求出直线 的解析式，然后分两种情况进行讨论：
①当轿车休息前与货车相距 时；②当轿车休息后与货车相距 时，列出等式求解即可．
【详解】解：（1）由图象可得，货车行驶的速度为 ；
（2）设直线 所在直线的解析式为 ，
把 代入， ，
解得： ，
∴ 所在直线的解析式为 ．
当 时，即 ，
解得 ，
点D的坐标为 ．
轿车休息后仍以原速度继续行驶，
继续行驶 仍需 ，
点E的坐标为 ．
将 代入 ，得 ，
即当轿车到达甲地时，货车距甲地 ；
（3）设线段 所在直线的函数解析式为 ．
将点 ， 代入，
则 ，
解得： ，
线段 所在直线的函数解析式为 ．
与货车相遇后，以原速度继续行驶，
设线段 所在直线的函数解析式为 ．
将 代入， ，
线段 所在直线的函数解析式为 ．
当轿车休息前与货车相距 时，即 ，解得 ；
当轿车休息后与货车相距 时，即 ，
解得 ．
故两车出发 或 时相距 ，
故答案为：75；480；2.25或4.75．
三、解答题
7．（24-25八年级下·上海·阶段练习）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋
不得少于 ．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元．
(1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数
解析式．
(2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是 元
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系列出函数解析
式．
（1）设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋 双，根据加工A型皮鞋，每双可获利250元；
加工B型皮鞋，每双可获利300元列出关系式即可；
（2）首先利用不等式组得出x的取值范围，再根据一次函数的性质可得最大利润．
【详解】（1）解：设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋 双，根据题意得：
，
∵A型皮鞋不得少于 ，
∴ ，
即 ，
∴y（元）与x（双）之间的函数解析式为 ，
（2）解：∵ 中， ，
∴ 随x的增大而减小，
∴当 时，获得利润最大，且最大值为：
（元），
（双），
答：生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是 元．
8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）为了缓解环境污染的问题，某地禁止燃油助力车上路，于是电动自
行车的市场需求量日渐增多．某商店计划购进A，B两种型号的电动自行车（两种型号都要购进）共30辆，
其中A型电动自行车不少于10辆，A，B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元、3000元，售价分别为2800元、3500元，设该商店计划购进A型电动自行车x辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获
利润y元．
(1)求出y与x之间的函数关系式．
(2)该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)购进A型电动自行车10辆、B型电动自行车20辆才能获得最大利润，此时最大利润是13000元
【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意写出函数关系式、掌握一次函数的增减性是解题的关键．
（1）根据“利润 型电动自行车的总利润 型电动自行车的总利润”写出y与x之间的函数关系式，并
标明x的取值范围即可；
（2）根据（1）求得的一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x为何值时y值最大，求出其最大值及
此时 的值即可．
【详解】（1）解：根据题意，得 ，
与x之间的函数关系式为 ；
（2）解： ，
随x的减小而增大，
，
当 时，y值最大， ，
（辆）；
答：购进A型电动自行车10辆、B型电动自行车20辆才能获得最大利润，此时最大利润是13000元．
9．（23-24八年级上·全国·单元测试）某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜需要装入某一规
格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：
方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元．
方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性
投入机器安装费16000元，每加工一个纸箱还需成本费 元．
(1)若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出两种方案中所需费用y(元)与x(个)之间的函数表达式；
(2)在同一直角坐标系中作出它们的图象；
(3)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？
【答案】(1)方案一： ；方案二：
(2)见解析
(3)当 时，两种方案所需的费用相同，两种方案都可以；当 时，从纸箱厂购买纸箱所
需的费用低，选择方案一；当 时，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低，选择方案二．
【分析】本题考查一次函数的应用，关键是列出函数解析式．
（1）由已知条件可以得出两个方案的解析式；
（2）根据函数关系式画出图形即可；
（2）列出方程 ，解得 ，讨论 的取值范围来比较来比较两个方案．【详解】（1）
解：方案一： ，
方案二： ．
（2）解：如图．
（3）解：由题意得： ，
得， ，
解得 ，
由图象，可知当， 时，两种方案所需的费用相同，两种方案都可以；
当 时，从纸箱厂购买纸箱所需的费用低，选择方案一；
当 时，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低，选择方案二．
10．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）受天气影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方
有难，八方支援”，某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经
销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销
商购进甲种水果 千克，付款 元， 与 之间的函数关系如图所示．
(1)直接写出当 和 时， 与 之间的函数关系式；
(2)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．
①如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额 （元）最少？
②若甲，乙两种水果的销售价格分别为41元/千克和36元/千克．若销售完100千克水果后；甲种水果的获
利大于乙种水果的获利，求甲种水果购进量 的取值范围．
【答案】(1)
(2)①购进甲种水果为 千克，购进乙种水果 千克，才能使经销商付款总金额 (元)最少 ②
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用中的最优解问题．（1）由图已知 与 的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可；
（2）①设购进甲种水果为 千克，则购进乙种水果 千克，根据实际意义可以确定 的范围，结
合付款总金额 (元)与两种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用；
②根据题意分为 和 两种情况列不等式解题即可．
【详解】（1）当 时, 设 ,
根据题意得 ，
解得 ，
∴ ；
当 时, 设 ，
根据题意得 解得 ，
∴ ，
；
（2）①设购进甲种水果为 千克，则购进乙种水果 千克
∴ ，
当 时,
，
当 时. 元；
当 时,
，
当 时, 元，
∵
∴当 时, 总费用最少, 最少总费用为 元此时乙种水果 (千克)，
答：购进甲种水果为 千克，购进乙种水果 千克，才能使经销商付款总金额 (元)最少．
②当 时, ，
解得 ，不符合题意；
当 时， ，解得： ，
∴甲种水果购进量的取值范围为： ．
11．（24-25八年级下·重庆潼南·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向 的出行
市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，如图所示的图象反映了收费y（元）与骑行时间 之间的函数关系，其中A品牌收费方式对应 ，B品牌的收费方式对应 ．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)B品牌共享电动车的起步价是_____元；A品牌共享电动车的收费是每分钟______元；
(2)求B品牌共享电动车超过 后，收费 关于x的函数解析式；
(3)请直接写出当骑行时间x为何值时，两种品牌的共享电动车收费相差4元．
【答案】(1)7，
(2)
(3) 或
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的列出函数关系式，是解题
的关键：
（1）直接从图象获取信息，用总费用除以时间，求出A品牌共享电动车的收费即可；
（2）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）分 和 ，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：由图象可知，B品牌共享电动车的起步价是7元，A品牌共享电动车的收费是每分钟：
（元），
故答案为：7； ；
（2）解：设 ，
把 代入，得： ，
解得： ；
∴ ；
（3）解：当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得： ；
综上： 或 ．
12．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点 出发沿同一路线匀速步行前往 处参加活动．
甲比乙早出发 ，两人途中均未休息，先到达 处的人在原地休息等待，直到另一人到达 处．两人
之间的路程 与甲行走的时间 的函数图像如图所示．(1)乙步行的速度为___________ 之间的路程为___________ ；
(2)当 时，求 关于 的函数表达式；
(3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为 ．
【答案】(1)90，3960
(2)
(3)当甲出发 或 时，两人之间的路程为
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的
关键：
（1）观察图像可知，甲 走了 ，甲行走 时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行
走 时，乙到达 点，求出乙的总路程即为 之间的路程；
（2）求出 点坐标，待定系数法求出 段的函数关系式即可；
（3）分 和 两种情况，求出 的值即可．
【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为： ，
设乙的速度为 ，由题意，得： ，解得： ，
故乙的速度为 ；
之间的路程为： ；
故答案为：90，3960；
（2）由图像可知： 点的纵坐标为 ，
∴ ，
当 时，设 ，把 ， 代入，得：
，解得： ，
∴ ；
（3）当 时，令 ，解得： ；
当 时， ，解得： ；
综上：当甲出发 或 时，两人之间的路程为 ．
13．（24-25八年级下·河北邢台·期末）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现．图1是机器
人警官安安和麦克，他们从街头A处出发，准备前往相距450米的B处（A，B在同一直线上）巡逻，安安警官比麦克警官先出发，且速度保持不变，麦克警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍、已知安安
警官、麦克警官行走的路程 （米）， （米）与安安警官行走的时间 （秒）之间的函数关系图象如图
2所示．
(1)如图2，折线①表示___________警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“表克”）；
(2)求麦克警官提速后的速度，并求m，n的值；
(3)求折线①中线段 所在直线的函数解析式；
(4)请直接写出安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长．
【答案】(1)麦克
(2)30； ；
(3)
(4) （秒）
【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识
点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据题意结合图象分析即可得解；
（2）先求出麦克提速前速度，从而即可得出提速后速度，计算得出 段经过的时间，即可得解；
（3）利用待定系数法计算即可得解；
（4）由题意得线段 所在直线的函数解析式为 ，再分情况列出一元一次方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得：折线①表示麦克警官行走的路程与时间的函数图象；
（2）解：由题意可得：麦克提速前速度为 （米／秒），
提速后速度为 （米／秒）．
段经过的时间为 （秒），
；
安安警官的速度为 （米／秒），
；
（3）解：由题意得点 ，点 ．
设线段 所在直线的函数解析式为 ，
将点E，F的坐标分别代入函数解析式中可得： ，解得 ，
即线段 所在直线的函数解析式为 ；
（4）解：安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为36秒．
由题意得线段 所在直线的函数解析式为 ，
当 时， ，当 时， ．
当安安警官出发，而麦克警官未出发，安安在麦克前方120米时， ，
解得 ；
当安安警官在麦克警官前方120米时， ，
解得 ；
当安安警官在麦克警官后方120米时， ，
解得 ；
当麦克警官到达 处，安安警官距 处120米时， ，
解得 ．
安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为 （秒）．
14．（24-25九年级下·山东日照·阶段练习）某移动公司推出A，B两种电话计费方式：
计费方
月使用费/元 主叫限定时间/ 主叫超时费/（元/ ） 被叫
式
A 78 200 0.25 免费
B 108 500 0.19 免费
(1)设一个月内用移动电话主叫时间为t ，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A、方式B的计
费金额关于t的函数解析式；
(2)若你预计每月主叫时间为350 ，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；
(3)若移动公司又推出C种电话计费方式，月使用费203元，主叫不限时间，被叫免费．请你根据月主叫时
间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．
【答案】(1) ，
(2)选择方式 计费，理由见解析
(3)当 时，方式 更省钱；当 ，方式 和 的付费金额相同；当 ，方式 更省
钱；当 ，方式 和 的付费金额相同；当 ，方式 更省钱．
【分析】本题主要考查一次函数的应用，读懂题意，利用表格数据正确得出函数解析式是解题关键．
（1）设方式 的计费金额 （元），方式 的计费金额 （元），根据表格即可得出 和 的函数解析
式；
（2）将 别代入（1）中求得的函数解析式中，在比较大小即可得到结果；（3）令 ，求出此时的 值，再以此分析即可求解．
【详解】（1）解：设方式 的计费金额 （元），方式 的计费金额 （元），
根据表格数据可知，当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
综上， ， ；
（2）解：选择方式 计费，理由如下：
当每月主叫时间为 时，
，
，
，
选择方式 计费；
（3）令 ，得 ，
解得： ，
当 时， ，
当 时，方式 更省钱；
当 ，方式 和 的付费金额相同；
令 ，得 ，
解得： ，
当 ，方式 更省钱．
当 ，方式 和 的付费金额相同；
当 ，方式 更省钱，
综上：当 时，方式 更省钱；当 ，方式 和 的付费金额相同；当 ，方式
更省钱；当 ，方式 和 的付费金额相同；当 ，方式 更省钱．
15．（25-26八年级上·重庆渝北·开学考试）如图①，在矩形 中， ， ，点 从点
出发，沿 的路线运动，到点 停止；点 从点 出发，沿 的路线运动，
到点 停止．若点 、点 同时出发，点 的速度为每秒 ，点 的速度为每秒 ， 秒时，点 、
点 同时改变速度，点 的速度变为每秒 ，点 的速度变为每秒 ．图②是点 出发 秒后
的面积 与时间 （秒）的函数关系图象；图③是点 出发 秒后 的面积 与时间
（秒）的函数关系图象．(1)参照图②，求 及图②中 的值；
(2)当点 出发______秒时，点 的运动路程为 ；
(3)设点 离开点 的路程为 （cm），点 到点 还需要走的路程为 （cm），请分别写出改变速度后，
、 与出发后的运动时间 （秒）的关系式，并求出点 、点 相遇时 的值．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3) ， ，
【分析】（ ）由图象②可得，当 时， ，求出 的值，进而可求出 和 的值；
（ ）求出 的值，设当点 出发 秒时，点 的运动路程为 ，进而列出方程即可求解；
（ ）根据题意求出 、 与出发后的运动时间 （秒）的关系式，进而可知点 、点 相遇时 ，
解方程即可求解；
本题考查了动点问题的函数图象，一元一次方程的应用，一次函数的应用。看懂函数图象是解题的关键．
【详解】（1）解：由图象②可得，当 时， ，
解得 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由题意可得， ，
解得 ，
设当点 出发 秒时，点 的运动路程为 ，
则 ，
解得 ，
∴点 出发 秒时，点 的运动路程为 ，
故答案为： ；
（3）解：由题意得， ， ，即 ， ，
当点 、点 相遇时， ，
解得 ．
