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专题 01 平面直角坐标系中的图形面积问题的四种模型
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题型一：与面积有关的点的位置不定产生多解......................................................................................................1
题型二：直接利用面积公式求图形的面积..............................................................................................................5
题型三：利用补形法或分割法求图形的面积........................................................................................................11
题型四：与图形面积相关的点的存在性问题........................................................................................................15
题型一：与面积有关的点的位置不定产生多解
1．如果 ， ，点 在 轴上且三角形的面积是 ， 点坐标是 ；若点 在 轴
上，且 为直角三角形， 点坐标是
2．已知 ， ，点 在 轴上，且三角形 的面积是2，则点 的坐标是 ．
3．如图，在平面直角坐标系中， 为原点， ， ，且满足 ，过点A作
轴于点 ．若 轴上存在点 ，满足三角形 和三角形 的面积相等，则点 的坐标为
．
4．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点为 ， ， 点D是x轴上一个动点，当
的面积等于 的面积时，点D的坐标为 ．5．定义：任意三点A，B，C的“矩面积”计算方法：“水平底”a是任意两点横坐标差的最大值，“铅
垂高”h是任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积” ．例如，三点坐标分别为 ， ，
，则“水平底” ，“铅垂高”h＝6，“矩面积” ．若 ， ，
三点的“矩面积”为20，则 ．
题型二：直接利用面积公式求图形的面积
6．如图，已知点 是平面直角坐标系内的三点，求三角形 的面积．
7．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 ， ，且a，b满足 ，已知点
C的坐标为 ．
(1)求a，b的值；
(2)求三角形ABC的面积．
8．如图，在平面直角坐标系中已知 ， ， ．(1)求点 到 轴的距离；
(2)求 的面积；
(3)点 在 轴上，当 的面积为6时，请求出点 的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知 ， 其中a，b满足 ．
(1)填空： ，
(2)如果在第三象限内有一点 ，请用含m的式子表示 的面积
(3)在（2）条件下，当 时，在y轴上有一点P，使得 的面积与 的面积相等，请求出点P
的坐标．
10．如图， ， ， 三点的坐标分别为 ， ， ．
(1)求三角形 的面积 ；
(2)过点 作直线 平行于 轴，点 为直线 上任意一点，试猜想三角形 的面积 与三角形
的面积 的关系，并证明你的猜想；
(3)试在坐标轴上找一点 ，使 ，请直接写出满足条件的点 的坐标．题型三：利用补形法或分割法求图形的面积
11.如图，已知点 ， ， ，求三角形 的面积．
12．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）已知平面直角坐标系中x轴与y轴交于点O，坐标系内两点
、 如图所示，连接 ，求三角形 的面积．
13．如图，已知 ， ， ， ．
(1)求四边形 的面积；
(2)在y轴上存在一点P，使三角形 的面积等于四边形 面积的一半，求P点的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系内有四个点： ， ， ， ．
(1)求三角形 的面积；
(2)求四边形 的面积；
(3)若点P在x轴上，直线 将四边形 的面积分成 两部分，求点P的坐标．
题型四：与图形面积相关的点的存在性问题15．如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ，b满足 ．
(1)求a，b的值；
(2)如果在第二象限内有一点 ，请用含m的式子表示四边形 的面积；
(3)在（2）条件下，当 时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形 的面积与
的面积相等？若存在，求出点N的坐标，请说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， 三点，且 满足关系式
， ．
(1) ______， ______， ______；
(2)四边形 的面积为______；
(3)是否存在点 ，使得 的面积为四边形 面积的2倍？若存在，求出点 的坐标；若
不存在，请说明理由．
17．如图， 在平面直角坐标系中， 已知点 ， ，其中a，b满足
(1)填空： ， ；
(2)若存在一点 ，点M到x轴的距离是 ， 到y轴的距离是 ，求三角形 的面积； (用含m的式子表示)．
(3)在（2）条件下，当 时，在x轴上存在一点P，使得三角形 的面积与三角形 的面积相等，
请求出点P的坐标．
18．如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知 ， ，且a，b满足关系式：
，其中 ，连接 ， ．
(1)填空： _______， _______，三角形 的面积是_______；
(2)点C是x轴上一点，连接 ，延长 与x轴相交于点D．
①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形 的面积与三角形 的面积相等时，求点C的坐标；
②若三角形 的面积等于三角形 面积的一半，三角形 的面积等于 ，求点B，C，D的坐标．
19．如图1，平面直角坐标系中， 为长方形，其中点B、D坐标分别为 ，且a、b满足
，点C在x轴的正半轴上，且 ，连接 ．
(1)求A、C两点坐标；
(2)若一动点P从A出发，以1个单位/秒的速度沿 向D点运动．
①如图2，连接 ，是否存在某一时刻t，使三角形 的面积等于四边形 面积的 ？若存在，
求t的值并求此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
②如图3，当点P运动到 上时，点P到x轴、y轴的距离分别为 ，若在线段 上存在无数个点
P，使 （k为常数），求k的值．
20．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 ， ，且a，b满足
，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向左平移3个单位，分别得到点A，B的
对应点C，D，连接 ， ，(1)请直接写出A的坐标 ，B的坐标 ；
(2)在坐标轴上是否存在点M，使三角形 的面积与三角形 的面积相等？若存在，请求出点M的坐
标；若不存在，试说明理由．
(3)点P是直线 上的一个动点，点Q是线段 的中点，连接 ， ，
①如图2，当点P在线段 上移动时（不与A，C重合），请找出 ， ， 的数量关系，
并证明你的结论；
②若P在直线 上运动，请直接写出 、 、 的数量关系．
