文档内容
专题 01 平行线的判定与性质
目录
A题型建模・专项突破
题型一、利用平行线的性质求角度......................................................................................................................1
题型二、利用平行线的性质求线段长..................................................................................................................4
题型三、平行线的判定与性质多结论题..............................................................................................................8
题型四、平行线的性质多解题问题....................................................................................................................13
题型五、平行线的判定补空问题........................................................................................................................18
题型六、平行线的判定与性质综合问题............................................................................................................23
B综合攻坚・能力跃升
题型一、利用平行线的性质求角度
1．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，直线 ， ， ，则 的度数为 ．
【答案】 /102度
【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质求出相关角的度数，再结合三角形内角
和为 求出 的度数．
【详解】
如图：
故答案为： ．
2．（25-26八年级上·西藏日喀则·期中）如图， ， 的平分线交 于点 ，交 于点 ，且 ， ， 的度数为 ．
【答案】 /35度
【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理．根据平行线的性质可知
，根据角平分线的性质可知 ，根据三角形内角和定理可知
，可知 .
【详解】解： ，
，
平分 ，
，
在 中， ，
， ，
，
.
3．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在 中， ，直线 ，点 在直线 上，
连接 ，满足 ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查平行线的性质，根据直角三角形两锐角互余得 ，继而求得 ，再
根据平行线的性质可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；直角三角形两锐角互余．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
故答案为： ．
4．（24-25七年级下·北京海淀·期中）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空
竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．
年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一
时刻的姿势中抽象出数学问题：如图， ， ， ，则 的度数为 ．
【答案】 /80度
【分析】本题考查了平行线的判定及性质，能熟练运用平行线的判定及性质是解题的关键．
过E作 ，由平行线的性质得 ，由平行线的判定方法得 ，由平行线的
性质得 ，即可求解．
【详解】解：过E作 ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
题型二、利用平行线的性质求线段长
5．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在 中，已知点 在线段 的反向延长线上，过
的中点 作线段 交 的平分线于 、交 于 ，且 ，如果 ， ，
，那么 的周长是 ．【答案】32
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，对顶
角的性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
首先根据平行线的性质证明 ， ，然后结合角平分线的定义可推得 ，根据
等角对等边得出 ，结合对顶角相等和全等三角形的判定证明 ，根据全等三角形的性
质得出 的长，然后可求得 的长，于是可求得 的周长．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
由对顶角相等可知： ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ 的周长 ．
故答案为：32．
6．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图， ， 和 分别平分 和 ， 过点
P，且与 垂直．若点P到 的距离是4，则 的长为 ．【答案】8
【分析】过点P作 于点E，根据平行线的性质可得 ，又根据角平分线的性质可得
，结合 求解即可．
本题考查了平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
【详解】解：过点P作 于点E，
则 ，
平分 ， ， ，
，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：8．
7．（25-26八年级上·全国·课后作业）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由 走到 的
过程中，通过隔离带的空隙 ，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，
，相邻两平行线间的距离相等， 相交于 ， ，垂足为 ．已知 米．
请根据上述信息求标语 的长度为 米．【答案】16
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线之间的距离，解决本题的关键是得到
．由 ，利用平行线的性质可得 ，利用 定理可得
，由全等三角形的性质可得结果．
【详解】解： ， ，
，
根据题意可知：相邻两平行线间的距离相等，
，
在 和 中，
，
，
（米）．
故答案为：16．
8．（25-26八年级上·山东聊城·期中）如图， 与 相交于点 ， ， ， ．
点 和点 同时出发，点 以 的速度从点 出发，沿 向 运动，到 位置后，立刻以相同的速度
沿 向 运动；点 从点 出发，沿 以 的速度向 运动．当点 返回到点 时， ， 两点同
时停止运动．设点 的运动时间为 秒．当 ， ， 三点在同一条直线上时， 的值为 ．
【答案】 或5
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，
当点P，Q，C三点共线时，先证明 ，可得 ，再证明 ，
然后分两种情况：当点P在沿 向B运动时，根据 可得答案；
当点P在沿 向A运动时，根据 得出答案即可．
【详解】解：当点P，Q，C三点共线时，
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，∴ .
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
当点P在沿 向B运动时， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ；
当点P在沿 向A运动时， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ．
由 ，所以符合题意．
所以t的值为 或5．
故答案为： 或5．
题型三、平行线的判定与性质多结论题
9．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图， ， ，点 、 在 上， 平分
，且 平分 ，下列结论中正确的是 ．
① ；② ；③ ；④ ；⑤若 ，则
．
【答案】①②⑤
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．①根据平行线的性质及角平分线定义求解即可；②由 ，得到
，得出 ．③ 平分 ，得出
，从而计算出 ．④由
，得出 ．⑤由
，得到 ，再得到
，从而计算出 ．
【详解】解：∵ ，
，
平分 ，
，
，故①正确，符合题意；
，
，
，
，故②正确，符合题意；
平分 ，
，
，
，
故③错误，不符合题意；
，
，故④错误，不符合题意；
，
，
，
，
，故⑤正确，符合题意．
故答案为：①②⑤．
10．（2025·福建福州·模拟预测）如图，E在线段 的延长线上， ， ， ，
连 交 于G， 的余角比 大 ，K为线段 上一点，连 ，使 ，在内部有射线 ， 平分 ，则下列结论：① ；② 平分 ；③
；④ 的角度为定值且定值为 ，其中正确的结论是（填序号） ．
【答案】①②③
【分析】本题考查了平行线性质、等腰三角形性质、角平分线定义及余角关系，①根据条件 ，
得 ， 与 为同位角，根据平行线判定定理（同位角相等，两直线平行），
可推导 ，故①正确； ②由 ，可得 为等腰三角形（底角相等），但又因为
，即可得出 平分 ；故②正确；③由余角关系得 ，可得
，故③正确，所以 ，结合 ，再通过 平分 及等
腰三角形性质，计算 ，故④错误．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故①正确，符合题意；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 平分 ；故②正确，符合题意；
∵ 的余角比 大 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故③正确，符合题意；
设 ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，故④错误，不符合题意；
综上，正确的是①②③；
故答案为：①②③．
11．（23-24七年级下·湖北武汉·月考）如图，已知 分别为 上一点（
），EF平分 ．则下列结论：① ；②
；③ ；④ ；⑤
．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①③⑤
【分析】本题主要考查了平行线的性质和判断，角平分线的定义等知识点，解决此题的关键是熟练掌握平
行线的性质和判定；
①先根据同旁内角互补，可得 ，再根据平行的传递性即可得到答案；
②根据平行线的性质和角平分线的性质可得到答案；
③根据平行线的性质和角平分线的性质即可得到答案；
④先作出辅助线，多次运用平行线的性质即可得到答案；
⑤辅助线和④中的一样，推导过程仿照④即可得到答案；
【详解】解：①∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故①正确；
②∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ 平分 ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即
故②错误；③∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∵ 平分 ，
∴
即
故③正确；
④如图，过点 作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
题目中未说明
即 不一定等于
故④错误；
⑤过点 作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
，
即 ，
故⑤正确；12．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，已知 平分 平分
．下列结论：① ；② ；③ ；④若 ，
则 ．其中，正确的序号是 ．
【答案】①④
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线、三角形的内角和定理及外角性质等知识点，正
确利用平行线的性质是解题的关键．利用角平分线的性质和三角形的内角和得到 ，再根据平行线
的性质、三角形外角性质、三角形的内角和定理逐个判断即可．
【详解】解： 平分 平分 ，
∵
， ，
又∵ ，
， ,
，故①正确；
∴ ，
∴ ，故②错误；
由现有条件无法证明 ，故③错误；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ ，即④正确．
综上，正确的有①④．
故答案为①④．题型四、平行线的性质多解题问题
13．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）将一副三角尺按如图的方式叠放在一起，若固定三角尺 ，改
变三角尺 的位置（其中A点位置始终不变），当 时， ．
【答案】 或
【分析】本题考查平行线的判定，关键是要分两种情况讨论．
如图①，当 时， ；如图②，当 时， ，得出
，于是得到答案．
【详解】解：如图①，当 时， ；
如图②，当 时， ，
∵ ，
∴ ，
即当 时， ，
∴当 的度数为 或 时， ，
故答案为： 或 ．
14．（24-25七年级下·贵州黔东南·期末）如图所示，将一把含 角的直角三角板 的 边放置于长
方形直尺 的 边上， 与 交于点H．将线段 绕点B以 的速度逆时针旋转得到线段
，同时线段 绕点H以 的速度顺时针旋转得到线段 ，当N，A，B三点第一次共线时，线段
均停止转动，设旋转时间为 ．当 时，t的值为 ．【答案】10或40
【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，分解析中，两种情况，根据平行线的性质
得到建立方程讨论求解即可．
【详解】解：依题意得 ， ， ，
如图所示，当 时，则 ，
∴ ，
解得 ；
如图所示，当 时，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ；
综上所述，t的值为10或40，
故答案为：10或40．
15．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）将一副三角板中 的角和 的角叠放在一起，使点C重合，
如图所示，其中 、 、 ，将三角尺 绕点C旋转，当点E在直线
的下方时，这副三角板会存在一组边互相平行，则 的度数为 ．【答案】 或 或
【分析】此题重点考查平行线的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且
画出相应的图形是解题的关键．由 、 、 ，可知 ，再
分三种情况讨论，一是 ，则 ，求得 ，由
，得 ；二是 ，则 ，求得
；三是点E在 上，则 ，由 ，证明
，此时 ，于是得到问题的答案．
【详解】解： 、 、 ，
，
如图1， ，
，
，
，
，
当 或 时，都有 ；
如图2， ，
， ， ，
，；
如图3，点E在 上，则 ，
，
，
，
，
综上所述， 的度数为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
16．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）将一副三角板如图放置，点 、 重合，点 在 上， 与
交于点 ，现将图中的 绕点 按每秒 的速度沿逆时针方
向旋转 ，在旋转的过程中， 恰有一边与 平行的时间为 ．
【答案】 秒或 秒或 秒
【分析】本题主要考查旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是画出三种情况的图形．
根据旋转的性质，平行线的性质，分三种不同的情况讨论解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
情况1，如图，当 时， 交 于点 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴旋转时间 （秒）；
情况2，如图，当 时， 的延长线交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴旋转时间 （秒）；
情况3，如图，当 时，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴旋转时间 （秒）；
综上所述， 恰有一边与 平行的时间为 秒或 秒或 秒，
故答案为 秒或 秒或 秒．
题型五、平行线的判定补空问题
17．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．
如图， ，数学课上，老师请同学们根图形特征添加一个关于角的条件，使得 ，并
给出证明过程．
小明添加的条件： ．
请你帮小明将下面的证明过程补充完整．
证明： （__________）
__________（__________）
又 （已知）
__________（__________）
__________（__________）
（__________）
【答案】见解析
【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键，根据平行线
的判定和性质，进行作答即可．
【详解】证明： （已知）
（两直线平行，同位角相等）
又 （已知）
（同旁内角互补，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换）．
18．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）已知：如图， ， ，点 ， ， ， 在同一条
直线上，且 ．求证： ．证明： （_________），
__________ __________，
即 ，
，
__________（__________），
在 和 中
，
（________），
（________）．
【答案】已知， ， ，两直线平行，同位角相等， ，已知； ，全等三角形的对应角相
等
【分析】根据平行线的性质，等式的性质，三角形全等的判定和性质解答即可．
本题考查了平行线的性质，等式的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】证明： （已知）
即
（两直线平行，同位角相等）
在 和 中
（全等三角形的对应角相等）
故答案为：已知， ， ，两直线平行，同位角相等， ，已知； ，全等三角形的对应角
相等．
19．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图， ，点 、 分别在线段 、 上， 、 分
别与 交于点 、 ，若 ， ，求证： ．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据．
证明： ， （_____）， （_____），
（_____）， _____，
， _____，
（_____）， （_____），
， ， ， （_____）．
【答案】对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行； ； ；内错角相等，两直线平行；
两直线平行，内错角相等；垂直的定义
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，先证明 ，得到 ，再证明
，得到 ，进而得到 ，即可求证，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明： ， （对顶角相等），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
，
，
，
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
，
，
，
（垂直的定义）．
故答案为：对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行； ； ；内错角相等，两直线平行；
两直线平行，内错角相等；垂直的定义．
20．（25-26八年级上·山西大同·阶段练习）如图，在 中，点 在边 的延长线上，过点 作射线
，点 是射线 上一个定点．(1)尺规作图：在射线 上方求作 ，使得 ，与 的延长线交于点F．（不用写作图步
骤，保留作图痕迹）
(2)在（1）问条件下，若 ，求证： ．
请把以下的解题过程补充完整．
证明： ，
∵① （依据② ）．
，
③ （依据④ ），
即 ，
在 和 中，
（依据⑥ ）．
⑦
．
【答案】(1)见解析
(2) ；两直线平行，同位角相等； ；等式的性质； ； ；
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，作一个角等于已知角，熟练掌握基本
作图方法，是解本题的关键．
（1）作 即可；
（2）根据题干信息逐步填写推理过程与推理依据即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求作的角；
（2）证明： ，① （依据②两直线平行，同位角相等），
，
③ （依据④等式的性质），
即 ，
在 和 中，
（依据⑥ ）．
⑦ ，
．
题型六、平行线的判定与性质综合问题
21．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在 中， 为 上一点， 为 中点，连接 并
延长至点 使得 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， 平分 ，求线段 的长度．
【答案】(1)见详解
(2)7
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等角对等边的知识，掌握全等三角形
的判定和性质是关键．
（1）根据题意可证 ，得到 ，由内错角相等，两直线平行即可求证；
（2）根据全等三角形的性质得到 ，则 ，根据平行线的性质，角平分线的定义得到
，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 为 中点，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
由（1）可知， ，
∴ ，
∴ ．
22．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先根据两直线平行，内错角相等得出 ，再根据边角边证明全等即可；
（2）直接根据全等三角形对应角相等求解即可．
【详解】（1）证明： ，
，
∵
在 与 中，
∵
；
（2） ，
．
23．（16-17七年级下·湖北武汉·期末）点D在 内，点E为边 上一点，连接 ．(1)如图1，连接 ，若 ，求证： ；
(2)在（1）的结论下，若过点A的直线 ，如图2，点E在线段 上，猜想并验证 与
的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2) 见解析
【分析】（1）证明 ，即可证明 ；
（2）过点B作 ， ，两线交于点G，利用平行线的判定和性质，角的关系解答即可．
本题考查了平行线的判定和性质，角的关系计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ．
（2）解： ．
理由如下：
过点B作 ， ，二线交于点G，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ．
24．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图1， 为射线 上一点， ， ．
根据以上条件解答下列问题：(1)若 ， ， ．求证： ．
(2)如图2，点 在 上，过点 作 ．求 的度数．（用含 和 的代数式表示）
(3)在（2）的条件下，过点 作射线 ，若 ， ，直接写出 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 或
【分析】本题主要考查平行线的判定以及性质，几何图中角度的计算问题．
（1）根据角的和差关系得出 ，再根据同位角相等两直线平行即可证明．
（2）如图，根据角的和差关系得出 ，根据平行线的性质得出
，代入计算即可．
（3）过点 作 ，则 ， ，由平行线的性质得出
，由垂直的定义得出 ，然后分两种情况根据角度的和差关系计算即可．
【详解】（1）证明： ，
．
，
，
；
（2）解：如图：
过点B作 ，
，
，
．
∵ ，；
（3）解：过点 作 ，
则 ，
，
由（2）知 ，
则 ，
．
①如图，当点 在 内部时， ；
②如图，当点 在 外部时， ．
综上， 的度数为 或 ．
25．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，点 在三角形 的边 上（点 不与点 重合），
交 于点 ， 交 于点 ．
(1)若点 是线段 上任意一点（点 不与点 重合），连接 ，补全图形解答下列问题：
① ，则 ___________ ；
②用等式表示 、 、 之间的数量关系，并证明．
(2)若点 在线段 上（点 不与点 重合），直接写出 、 、 之间的数量关系．
【答案】(1)① ；② ，见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质；（1）①直接根据平行线的性质求解即可；
②过M作 ，则 ，根据平行线的传递性得出 ，根据平行线的性质得出
，结合 即可得出结论；
（2）过M作 ，则 ，根据平行线的传递性得出 ，根据平行线的性质得
出 ，结合 即可得出结论．
【详解】（1）解∶①如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为∶45；
② ；
理由：过M作 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ；
（2）解： ；
理由：过M作 ，则 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
一、单选题
1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法中，正确的个数是（ ）
①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③过两条直线 ， 外一点 ，画直线 ，使 ，且 ；
④若直线 ， ，则 ．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论等知识，熟记平行线的判定与性质、平行公理
及推论是解题的关键．根据平行线的判定与性质、平行公理及推论、两条直线的位置关系等知识判断求解
即可．
【详解】解：在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，
故①正确，符合题意；
过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，
故②错误，不符合题意；
过两条直线 ， 外一点 ，画直线 ，使 ，且 ；
只有当 时，才能画出这样的直线 ，若 与 相交，则无法画出，所以原说法错误，
故③错误，不符合题意；
若直线 ， ，则 ．
故④正确，符合题意；
综上，正确的有2个，
故选：C．2．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如图： ， ， ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根
据 可得 ，再利用平角的定义可求得 ，最后再利用三角形的内角和定理
即可求解．
【详解】解： ， ，
，
，
又 ，
．
故选：C．
3．（24-25九年级下·辽宁本溪·开学考试）图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，
座位 和座椅靠背 的夹角 ，小桌板支撑杆 与桌面 的夹角 ，则座椅
靠背 与小桌板支撑杆 形成的夹角 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质定理,熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．
由题意得 ，推出 ，即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴
故选：C．4．（25-26八年级上·陕西渭南·月考）如图，在 中，D是 上一点，点F是边 右侧一点，连接
交 于点E， ， ，若 ，则 的长是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，根据平行线的性质，得出
，根据全等三角形的判定，得出 ，根据全等三角形的性质，得出
，根据 ，即可求线段 的长．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：A．
5．（24-25七年级下·全国·期末）如图， ， 和 互余， 于点G，则① ；②
；③ ；④ 与 互余．其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．①②③
C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质与判定、互余的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．由
，得到 ，可判断①；由 ， 得到 ，则有 ，推出
，再根据同角的余角相等，推出 ，得到 ，可判断②；
利用平行线的性质可判断③和④，即可得出结论．【详解】解：∵ ，
∴ ，故①正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 和 互余，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵ ， ，
∴ ，
即 与 互余，故④正确；
综上所述，正确的结论是①②③④．
故选：D．
二、填空题
6．（2025·江苏常州·中考真题）如图， ， ， ，则 ．
【答案】 / 度
【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，平角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用
， ，得出 ，结合 ，再利用平角的性质得出
，即可求解．
【详解】解：如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
7．（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）如图， ， 的角平分线 的反向延长线和
的角平分线 交于点F， ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】过点F作 ,过点E作 ，得到 ，设 ，设
，得到 ，解答即可．
本题考查平行线的判定和性质，等量代换，角平分线；熟练掌握平行线的判定和性质，灵活表示角之间的
关系是解题的关键．
【详解】解：过点F作 ,过点E作 ，
∵ ，
∴ ，
设 ，设 ，
∵ 的角平分线 的反向延长线和 的角平分线 交于点F， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
解得 ，∴ ，
故答案为： ．
8．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，秋千 垂直地面时所在直线与地面交于点E，当秋千拉至
处，点A距离地面高度 ，与 的水平距离 ．推动秋千从 至 处，此时恰好
，点C距离 的水平距离 ，则点C距离地面的高度 为 m．
【答案】1.5
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，正确构造全等三角形是解题的关键．
过点A作 于M，过点C作 于N，证明 即可求解．
【详解】解：如图，
过点A作 于M，过点C作 于N，
由题意得， ，
则 ，
∴ ， ，
同理可得： ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案为：1.5．
9．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）领带被称为“西装的灵魂”．把一条系好的领带抽象成如图所示的
数学模型，若领带的上边缘 与 平行， 与 平行， 与 的夹角为 ， 与 的夹角为
，则 °．
【答案】135
【分析】本题考查平行线的性质，周角的定义，掌握知识点是解题的关键．
根据两直线平行，同旁内角互补，先求出 ，再由周角为 ，即可解答．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：135．
10．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，点 在同一直线上， ，且
，已知 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，线段的和与差．掌握三角形全等的判定定理
和性质定理是解题关键．根据平行线的性质结合题意易证明 ，得出 ，从而可
证 ，结合 ， ，即可求出 ，从而可求出 ．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：8.5．
三、解答题
11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知F，E分别是射线 ， 上的点．连接 ， ，
，其中 平分 ， 平分 ， ．
(1)试说明 ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) 的度数为 ．
【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质，邻补角．熟练掌握角平分线，平行线的判定与性质，
邻补角是解题的关键．
（1）由 平分 ，可得 ，由 ，可得 ，进而可得 ．
（2）由 ， ，可得 ，由 ，可得 ，
由 平分 ，可得 ，由 ，可得 ，计
算求解即可．
【详解】（1）证明：如图，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
∴ 的度数为 ．
12．（25-26八年级上·浙江湖州·月考）请完成以下证明过程
如图，已知 ， ， ．求证： ．
证明： ，
（ ），
，
，
即 ，
在 和 中，
，
（ ）；
（ ），
（ ）
．（ ）
【答案】两直线平行，内错角相等； ； ；已证； ；全等三角形的对应角相等；等角的补角相等；
内错角相等，两直线平行
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方
法是解题的关键．先根据全等三角形的判定方法证明 ，得出 ，根据补
角的性质得出 ，最后根据平行线的判定，得出结论即可．
【详解】证明： ，（两直线平行，内错角相等），
，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
，
（全等三角形的对应角相等），
∵ ，
（等角的补角相等），
．（内错角相等，两直线平行）
13．（22-23八年级上·福建·期中）如图， 与 相交于点C， ， ， ，点P
从点A出发，沿 方向以 的速度运动，点Q从点D出发，沿 方向以 的速度运
动，P，Q两点同时出发，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为 ．
(1)求证： ；
(2)写出线段 的长（用含t的式子表示）；
(3)连接 ，当线段 经过点C时，求t的值．
【答案】(1)见解析
(2)解：当 时， ；当 时， ．
(3) 或
【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，三角形全等的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角
形对应边相等，对应角相等，以及三角形全等的判定定理．
（1）证明 ，得到对应角相等，再根据平行线的判定定理即可证明；
（2）根据路程 速度 时间以及几何关系即可解答；
（3）先求出 ，证明 得到 ，列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：在 和 中，，
，
，
．
（2）解：当 时， ；
当 时， ，
．
（3）解：根据题意得 ，则 ，
由（1）得 ， ，
在 和 中，
，
，
，
当 时， ，
解得： ；
当 时， ，
解得： ，
综上所述，当线段 经过点 时， 的值为 或 ．
【点睛】
14．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知 平分 ， ，且 ．
(1)求证： ；(2)若 ，求 的度数；
(3)当 ， ， 时，求点 到直线 的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)点 到直线 的距离为
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，等面积法．
熟练掌握以上知识点是解题关键．
（1）由 平分 ， 即可证明 ；
（2）由（1）的 ，可以求出 ，再由 即可求出 的度数；
（3）先求出 ，根据等面积法，即可求出点 到直线 的距离．
【详解】（1）证明： 平分 ，
，
，
，
；
（2）解： ， ，
，
平分 ，
，
，
，
；
（3）解：过 作 于 ，
，
，
，
，
故点 到直线 的距离为 ．
15．（19-20七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，点A、点B分别在线段 上，．
(1)如图1，求证： ．
(2)分别过点A和点C作直线 ，使 ，以点B为顶点作直角 ，并且 的两边分别
与直线 交于点F和点E，则 _________．（直接写出角度和）
(3)在（2）的条件下，若 和 恰好分别平分 和 ，并且 ，求 的度数．
（补充说明：本题三角形内角和 ，四边形内角和 可直接用）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了平行的判定与性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成
为解题的关键．
（1）过C作 ，根据平行线判定和性质证出 ,进而完成解答；
（2）过B作 ，根据平行线判定和性质证出 ，整理得
，然后化简即可解答；
（3）过B作 ，根据平行线判定和性质证出 ，根据角平分线定义得：
，再证 ，则 ，再由
即可求解．
【详解】（1）解：过C作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．（2）解：过B作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∴
∴ ，
即
故答案为： ；
（3）解：过E作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 和 分别平分 和 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵
∴ ．
