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专题 03 与二次根式运算有关的综合问题的六种模型
目录
题型一：二次根式的混合运算问题..........................................................................................................................1
题型二：含二次根式的整体代入求值......................................................................................................................6
题型三：二次根式的分母有理化..............................................................................................................................8
题型四：复合二次根式的化简................................................................................................................................14
题型五：二次根式运算中的新定义型问题............................................................................................................22
题型六：二次根式运算中的规律探究问题............................................................................................................27
题型一：二次根式的混合运算问题
1．计算
(1) ；
(2) ．
2．计算：
(1) ．
(2) ．
3．计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
4．计算：
(1) ；
(2) ；(3) ；
(4) ．
5．计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
6．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
题型二：含二次根式的整体代入求值
7.已知， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若 ，则代数式 的值是（ ）
A． B． C． D．2
9.已知 ， ，则代数式 的值是 ；
10.已知 ， ，则代数式 的值是 ．
11．已知实数 满足 ，求 的值．
12．已知： ，求 的值．
题型三：二次根式的分母有理化13．小丽在解决问题：已知 ，求 的值．
她采用的解法为： ， ， ，
， ， ．
请根据小丽的解题方法解决下列问题：
(1) ________ ； ________．
(2)化简： ．
(3)若 ，请按照小丽的方法求 的值．
14．化简 ．
解： ．
请回答下列问题：
(1)归纳：请直接写出下列各式的结果
① ________；
② ________．
(2)应用：化简 ．
15．我们知道形如 的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：
这样的化简过程叫做分母有理化．我们把
叫做 的有理化因式， 叫做 的有理化因式，完成下列各题．
(1)化简： ________；
(2)计算： ；
(3)计算：16．阅读材料：像 ； ； 两个含有二
次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 与 ， 与
， 与 等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如： ．
解答下列问题：
(1) 与_____互为有理化因式，将 分母有理化得_____；
(2)①比较大小： _____ （填入 ， ， 或 中的一种）；
②计算下列式子的值： ；
(3)已知正整数a，b满足 ，求a，b的值．
17．阅读下列解题过程：
；
；
请回答下列问题：
(1)观察上面的解题过程，化简：
；
；
(2)利用上面提供的解法，请计算： ．
题型四：复合二次根式的化简
18．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ．设 （其中
、 、 、 均为正整数），则有 ， ， ．这样可以把部
分 的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解∴ 决下列问题：(1)当 、 、 、 均为正整数时，若 ，用含 、 的式子分别表示 、 ，得：
， ______；
(2)计算： ．
19．【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
．善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中a，b，m，n均为正整数），则有 ，
， ．这样小明就找到了一种把 化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索
并解决下列问题．
【实践探究】
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示a、b，则
________， ________；
（2）若 ，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
（3）化简 ________．
20．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
，善于思考的小明进行了以下探索：
若设 （其中 、 、 、 均为整数），
则有 ， ．这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法，请你仿照小
明的方法探索并解决下列问题：
(1)若 ，当 、 、 、 均为整数时，用含 、 的式子分别表示 、 ，得：
______， ______；
(2)若 ，且 、 、 均为正整数，求 的值；
(3)化简： ．
21．形如 的化简，只要找到两个正数a，b，使 ， ，即 ，
，那么便有 ．
例如：化简 ．
解： ，这里 ， ，由于 ，∴ ．
请仿照上例解下列问题：
(1)填空： ________， ________， ________；
(2)化简： （请写出计算过程）；
(3)化简：
22．王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一
道题．先阅读，再回答问题．
(1)小青编的题，观察下列等式：
直接写出以下算式的结果：
① ______；
② （ 为正整数） ______；
(2)小明编的题，由二次根式的乘法可知：
， ， （ ， ）再根据平方根的定
义可得：
， ， （ ， ）；
直接写出以下算式的结果：
① ______；
② ______；
(3)王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：
；
(4)小丽看到王老师选出的题后，发现困扰自己很久的一道题有了解决办法，请你尝试帮她解决：
题目：若实数 、 满足条件 ，求 的值．题型五：二次根式运算中的新定义型问题
23．若最简二次根式 与 是同类二次根式．
(1)求a的平方根；
(2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“ ”如下： ，如： ，
请求 的值．
24．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：
，如 ．
(1)填空， ．
(2)若 ，求x的值．
25．定义：已知 都是实数，若 ，则称 与 是关于3的“实验数”．
(1)4与是______关于3的“实验数”， 与______是关于3的“实验数”．
(2)若 ，判断 与 是否是关于3的“实验数”，并说明理由．
26．定义：若两个二次根式a，b满足 ，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与 是关于8的共轭二次根式，则 ．
(2)若 与 是关于4的共轭二次根式，求m的值．
27．定义：若 ， 是有理数，则称 与 是关于c的“美好数”例如：
，则称 与 是关于 的“美好数”．
(1) 关于 的“美好数”是______；
(2)化简： ；
(3)若 是 关于 的“美好数”，请直接写出 的值．
28．我们定义：一个整数能表示成 （ 、 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是
“完美数”．理由：因为 ．所以5是“完美数”．
【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成 （ 、 是整数）的形式_____；
（2）已知 （ 、 是整数， 是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件
的一个 值，并说明理由．
【探究问题】（3）已知 ，求 的值是_____
【实际应用】（4）已知 ， ， 满足 ，求 ．题型六：二次根式运算中的规律探究问题
29.先观察下列等式，再回答问题：
①
②
③
(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果：
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：
(3)计算：
30．观察下列各个等式：
第①个等式： ；
第②个等式： ；
第③个等式： ；
第④个等式： ；
……
按以上等式规律，解决下面的问题：
(1)写出第⑤个等式： ．
(2)完成第n个等式： ，并证明这个等式的正确性．
31．观察下列各式及验证过程： ，
验证 ； ，
验证 ，
验证
(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想 的变形结果并进行验证．
(2)针对上述各式反映的规律，写出用 为任意的自然数，且 表示的等式，并给出证明．32．观察下列各式并解答问题：
； ； ……
(1)计算： ；
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n的等式表示，n为正整数）．
33．观察下列等式：
第 个等式： ；
第 个等式： ；
第 个等式： ……
(1)按照你所发现的规律，请你写出第 个等式： ；
(2)计算： ；
(3)利用这一规律计算： ．
34．观察下列等式：
……
(1)请你根据上述规律填空： ______；
(2)①把你发现的规律用含有 的等式表示出来： ______；
②证明①中的等式是正确的，并注明 的取值范围．
