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专题 03 二元一次方程（组）中含参数问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值..................................................................................1
题型二、已知二元一次方程的解求参数或代数式的值......................................................................................2
题型三、已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值..................................................................................4
题型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值......................................................................6
题型五、已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值..............................................................7
B综合攻坚・能力跃升
题型一、利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值
1．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）已知方程 是关于 ， 的二元一次方程，则 的
值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，正确理解二元一次方程的定义是解题的关键．形如
( 且 )的方程，只含有二个未知数，并且未知数的项的次数是1的整式方程，是二元
一次方程，据此回答即可．
【详解】解：依题意，得 ，
解得， ，
故答案为：
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如果 是一个关于x，y的二元一次方程，那么 的
值是 ．
【答案】8
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，代数式求值，解题的关键是正确解方程组．
根据二元一次方程的定义列出关于a、b的方程，求出 的值，代入 计算即可．
【详解】解：∵ 是关于x，y的二元一次方程，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：8．
3．（24-25六年级下·上海闵行·期末）已知 是关于 、 的二元一次方程，则 ．
【答案】【分析】本题考查二元一次方程的概念， 二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数
是1的整式方程，据此作答即可．
【详解】解：∵ 是关于 、 的二元一次方程，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）若 是关于x， y的二元一次方程，则
．
【答案】0
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，理解二元一次方程的定义是解题的关键．
根据二元一次方程的定义求出参数的值，代入代数式求值即可．
【详解】解：由二元一次方程的定义得，
，且 ， ；
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：0．
题型二、已知二元一次方程的解求参数或代数式的值
5．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）已知 是关于 的二元一次方程 的解，则 的
值是 ．
【答案】
【分析】把 与 的值代入方程计算即可求出 的值．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【详解】解：把 代入方程得： ，
解得： ，
故答案为：
6．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知 是方程 的解，则代数式 的值为
．
【答案】2
【分析】根据二元一次方程的解的定义,得出 ,整体代入代数式求值即可求解．【详解】解：将 和 代入方程 ,得：
即
∵
∴原式=
故答案为：2 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义,代数式求值,熟练掌握以上知识是解题的关键,使得方程左右
两边相等的未知数的值是方程的解．
7．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习） 是方程 的解，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，由题意得 ，再整体代入代数式计算即可求
解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵ 是方程 的解，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
8．（25-26八年级上·全国·单元测试）如果 是方程 的一个解，那么代数式 的值是
．
【答案】2
【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值．将 代入方程 得到 ，代入
计算即可．
【详解】解：∵ 是方程 的一个解，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2．
题型三、已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值
9．（24-25七年级下·全国·期末）已知方程组 的解是 ，则 ，【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识是解题的关键．
将 代入 中，进而利用加减消元法求解即可．
【详解】解：∵方程组 的解是 ，
∴ ，
得， ，
解得： ，
将 代入 ，可得 ，
解得： ，
故答案为： ； ．
10．（24-25七年级下·全国·单元测试）方程组 的解为 由于不小心滴上了两滴墨水，刚
好遮住了两个数 和 ，则数 ， ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，先把 代入第二个方程求出 ，再把方程的解 ， 代
入第一个方程即可得到数 的值，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解： ，
把 代入 得 ，
解得： ，
∴方程组的解为 ，即有 ，
把 代入 得： ，
故答案为： ； ．
11．（2025·山东·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，则 ，
．
【答案】 3 1
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题
的关键．将 代入 ，即可求解 ．
【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为：3；1．
12．（24-25八年级上·四川成都·期中）若方程组 和方程组 有相同的解，则 的
值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．解
方程组 得出x，y的值，然后得到 ，求出a与b的值，最后求出结果即可．
【详解】解：将 和 组成方程组得 ，
解得， ，
将 分别代入 和 得 ，
整理得： ，
解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
题型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值
13．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）若关于 的方程组 的解满足 ，则
的值为 ．
【答案】2【分析】本题考查加减法解二元一次方程组， 得 ，根据 得到 ，即
可求出 ﹒
【详解】解：
得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ﹒
故答案为：2
14．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）若关于 的二元一次方程组 中， 的值比
值的相反数大1，则 的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
由 的值比 值的相反数大1，则有 ，即 ，然后构建方程求得方程的解，最后代入
求k即可．
【详解】解：根据题意可知： ，即 ，
解方程组 ，得 ，
将 代入方程 ，得 ，解得： ．
故答案为3．
15．（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于 的二元一次方程组 的解满足
，则 的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查含参数的二元一次方程组，关键在于利用已知条件构造关于参数 的方程，先把② ①，
得 ．再利用代入法可得新的方程，再解方程可得答案．
【详解】解：令 ，
② ①，得 ．
方程组的解满足 ，
．．
解得 ．
故答案为：4
16．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于 的二元一次方程组 无解，则 的值是
．
【答案】-6
【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法的运用是解题的关键．
对于二元一次方程组 ，当 时，原方程组无解．
【详解】解：二元一次方程组 无解，
．
故答案为： ．
题型五、已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值
17．（24-25七年级上·四川眉山·期中）要使方程组 有正整数解，则整数 有 个．
【答案】4
【分析】先解方程组，用含a的代数式表示出方程组的解，根据方程组有正整数解求出a的范围，再求出
符合的整数a即可．
【详解】解： ，
把②代入①得： ，
解得： ，
把 代入②得： ，
即方程组的解是 ，∵方程组 有正整数解，
∴ 或2或4或8，
解得： 或 或 或 ，即整数 有4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式组等知识点，能得出关
于a的不等式组是解此题的关键．
18．（24-25八年级上·四川成都·期中）要使方程组 有正整数解，求整数a的值是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解法，正确表示出y的值是解题关键．根据题意用a表示出y
的值，进而得出符合题意的值．
【详解】解： ，
由②得： ，
故 ，
则 ，
∵方程组 有正整数解，且a是整数
∴当 时，即 时， ，此时 ，此时符合题意；
∴当 时，即 时， ，此时 ，此时符合题意；
∴当 时，即 时， ，此时 ，此时符合题意；
∴当 时，即 时， ，此时 ，此时符合题意；
∴当 时，即 时， ，此时 ，此时符合题意；
综上：满足题意的整数a的值是 ，
故答案为：
19．（23-24七年级下·全国·单元测试）若 是整数，且关于 、 方程组 有整数解，则
．【答案】 或 /7或3
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组及根据解的情况求参数，熟练掌握加减法解二元一次方程组是
解题的关键，先求解关于 、 方程组 得 ， ，再确定 的值即可．
【详解】解：
得： ③，
得： ④，
得： ，
把 代入①得： ，
∵方程组有整数解，
∴ 或 ，
∵ 是整数，
∴符合题意的 或 ，
故答案为： 或 ．
20．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）m为正整数，已知二元一次方程组 有整数解，则
．
【答案】4，16或64
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，其中涉及到参数的求解，充分利用题干条件找到参数和方程
组的解之间的联系是解决本题的关键；根据加减消元法，解出方程组，进而根据题干要求出满足条件的m
的值，再求出 即可；
【详解】解：解方程组 得 ，
二元一次方程组 有整数解，
或 ，解得 或 或 ，
m为正整数，
或 或 ，
4或 或 ；一、单选题
1．（24-25七年级下·云南德宏·期末）关于x，y的方程 是二元一次方程，则a的值是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中含有且只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为1；（3）方程是整式方程．利用二
元一次方程的定义即可求解．
【详解】解：∵关于x，y的方程 是二元一次方程，
∴ ，
解得： ，
故选C．
2．（24-25七年级下·广西河池·期末）若 是关于x，y的二元一次方程 的解，则m的值
为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的解的意义．
将方程的解代入原方程，然后进行求解即可．
【详解】解：将 代入 ，得 ，
解得 ，
故选：A．
3．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知 是二元一次方程组 的解，则 的值是
（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】A
【分析】本题考查方程组解的应用及二元一次方程组的解法．将 代入方程组的两个方程，构造关于
m、n的二元一次方程组，求出m、n的值，从而可求得答案．
【详解】解：∵ 是方程组的解，∴
解①得 ，代入②得 ，则 ，
∴ ，
故选：A．
4．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）若 是二元一次方程 的一个解，则 的
值是（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】先将方程的解代入二元一次方程，得到关于 、 的等式，再对所求式子进行变形求值．本题主
要考查了二元一次方程的解，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：把 代入 ，得 ．
∴ ．
故选：A．
5．（25-26八年级上·全国·课后作业）关于 的方程组 有正整数解，则正整数 为（ ）
A．1或2 B．2或5 C．1或5 D．1或2或5
【答案】A
【分析】本题考查的是二元一次方程的解法．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
解题时先把两方程相加，去掉x，然后根据方程组有正整数解，进行分析，再确定正整数a的值，即可作
答．
【详解】解：∵方程组有正整数解，
∴两式相加有 ，即 ，
∵a，y均为正整数，
∴ 或 或 或 ，
∴ 时，不合题意，舍去，
时， ， ，符合题意；
时， ， ，符合题意；
时， ， ，不合题意，舍去，
∴ 或2．
故选：A．6．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于 的方程组 无解，则 的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的无解问题，对于二元一次方程组 ，当 时，方
程组无解．
根据方程组无解的情况对原方程进行整理，进而计算即可．
【详解】整理 得 ，
∵关于 的方程组 无解，
∴ ，
解得： ，
故选：A
二、填空题
7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若方程 是关于 ， 的二元一次方程，则 的值
为 ．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程的定义，解题关键是理解含有两个未知数，且未知数的最高次数是1的整
式方程是二元一次方程，特别含未知数项前面的系数不为0．根据二元一次方程的定义解答即可．
【详解】解：∵方程 是关于x，y的二元一次方程，
∴ ， ，
解得 ，
故答案为： ．
8．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）已知 和 是二元一次方程 的两个解，则
．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解和解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
把方程的解代入方程，得到一个关于 、k的方程组，求出方程组的解，再求出 的值即可．
【详解】解： 和 是二元一次方程 的两个解，，得 ，
解得： ，
把 代入 ，得 ，
解得： ，
，
故答案为： ．
9．（25-26八年级上·全国·单元测试）如果 是方程 的一个解，那么代数式 的值是
．
【答案】2
【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值．将 代入方程 得到 ，代入
计算即可．
【详解】解：∵ 是方程 的一个解，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2．
10．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）已知关于 的方程组 的解互为相反数，则k的值是
．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据解的情况求参数，相反数的定义等知识点，解题的关键
是掌握解二元一次方程组的特殊解法．
根据二元一次方程组的特殊解法整理出方程，根据互为相反数整体代入求值即可．
【详解】解：根据题意得， ，
得， ，
∴ ，
将 代入得， ，
解得 ，
故答案为： ．11．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知方程组 有非负整数解，则正整数m的值有
个．
【答案】2
【分析】本题考查了解二元一次方程组和非负整数解的应用．熟练掌握解二元一次方程组的方法和非负整
数解的应用是解题的关键．
首先解含参方程组，得到 ， 的表达式，再根据 ， 是非负整数找出正整数 的所有可能取值即可．
【详解】解：解方程组 得 ，
∵方程组的解是非负整数
∴
即 ，
∵方程组的解是非负整数，且 为正整数，
∴ 和 为非负整数，
由 为非负整数可知， 为8的正约数，
∵ 为正整数，
∴ ，
∴ 可取2，4，8，
解得 可取1，3，7，
当 时， ，符合题意；当 时， ，符合题意；当 时，
，不符合题意；
综上，正整数 的值有1和3，共2个
故答案为：2．
12．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于 的方程组 有下列结论：①当这个方程组
的解 的值互为相反数时， ；②当 时，原方程组的解也是方程 的解；③无论 取
何值， 的值始终不变．其中正确的是 （填序号）
【答案】①③
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，关键是根据条件，求出 、 的表达式．
解方程组得出 、 的表达式，根据 的值确定 、 的值，逐一判断即可．【详解】解：∵ ，
,
当 与 互为相反数时， ，解得 ，故①正确；
当 时，原方程组的解为 ，此时 ，故②错误；
∵ ，无论 取何值， 的值始终不变，故③正确．
故答案为：①③．
三、解答题
13．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知二元一次方程组 的解也是关于 的方程
的一个解，求 的值．
【答案】 ．
【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解．先解二元一次方程组，再把方程组的解代入
方程 中即可求解．
【详解】解： ，
，得 ，
解得 ，
把 代入①，得 ，
所以方程组的解是 ，
∵二元一次方程组 的解也是关于x，y的方程 的一个解，
∴ ，
∴ ．
14．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）已知 是关于 ， 的方程组 的解，则
的值．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组．把方程组的解代入方程组可得到关于a、b的
方程组，解方程组可求出 ， ，再整体代入计算即可．【详解】解：把 代入 ，
得 ，
② ①得 ，即 ，
② ①得 ，即 ，
所以 ．
15．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知关于x，y的方程组 ．
(1)请直接写出方程 的所有非负整数解．
(2)若该方程组的解也满足方程 ，求m的值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，关键是掌握解二元一次方程（组）的思
路：消元．
（1）直接列举即可；
（2）先联立 求出x、y的值，再代入 求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴所有非负整数解有 ， ；
（2）解：依题意得： ，
得 ，
把 代入①得：
解得
方程组 的解为：
把 代入到 得，
解得 ．
16．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知关于x，y的二元一次方程 ．
(1)当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解，试求这个公共解．(2)试说明：无论a取何值，该公共解都是原二元一次方程的解．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查二元一次方程的解、解二元一次方程组，理解题意是解答的关键．
（1）将原方程整理为 ，根据题意得到 ，进而解方程可得公共解；
（2）根据题意，列出方程组，解方程组证明即可．
【详解】（1）解：方程
整理得： ，
由条件可得 ，
解得 ，
这个公共解为 ；
（2）解：把 化为下面的形式； ，
，
解得
无论a取何值，这个公共解都是原二元一次方程的解．
17．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于 的方程组 ．
(1)若 ，求这个方程组的解；
(2)若这个方程组的解满足 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组解的情况求参数，解题的关键是熟练掌握加减消
元法．（1）把 代入原方程组得 ，用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）原方程组中两个方程相加得出 ，再根据 得出关于k的方程，解关于k的方程
即可．
【详解】（1）解：当 时，原方程组变为：
，
得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
解得： ，
∴方程组的解为： ；
（2）解： ，
得： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
18．（2025八年级上·全国·专题练习）若 是关于 的二元一次方程，
则（ ）
A． B．
C． D．
下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由．
解：因为 2025是关于 的二元一次方程，
所以 ．解得 ．故选A．
【答案】马虎的解法不正确．正确选项为D，见解析
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键．方程的两边
都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．
马虎的解法未考虑未知数的系数不能为0，故错误；根据二元一次方程的定义求解即可.
【详解】解：马虎的解法不正确．正确选项为D．理由如下：
因为 是关于 ， 的二元一次方程，
所以
解得
故选D．
19．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）已知关于 、 的方程组 ．
(1)请写出方程 的一组正整数解；
(2)若方程组的解满足 ，求 的值；
(3)不管 取任何值，方程 总有一个公共解，请直接写出这个解．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查解二元一次方程组求参数，解题的关键在于先用参数分别表示出解，再利用代数式求参
数．
（1）令 取一正整数，代入求出 即可；
（2）先通过方程组解出 、 的值，再将 、 代入代数式求出 即可；
（3）将原式进行变换后即可求出这个固定解．
【详解】（1）解：把 ，代入 得，
，
解得 ，方程 的一组正整数解是 ；
（2）解：由 和 得，
解得 ，代入 得，
，
解得 ；
（3）解： 整理得，
，
根据题意得 ，
解得 ，
所以，这个固定不变的解为 ．
20．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）阅读理解：我们把关于字母 、 的二元一次方程 的
系数 、 、 称为该方程的伴随数，记作 ．例如：二元一次方程 的伴随数是 ．
(1)二元一次方程 的伴随数是___________；
(2)已知关于 、 的二元一次方程的伴随数是 ，且 ， 是该方程的两组解，求 、
的值．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】本题考查了二元一次方程的解及其解法．
（1）把 化成一般式，然后根据伴随数的定义求解即可；
（2）先根据新定义写出方程 ，然后把x、y的值代入即可求出 、 的值．
【详解】（1）解：二元一次方程 变形为 ，∴二元一次方程 的伴随数是 ，
故答案为： ；
（2）解：∵关于x、y的二元一次方程的伴随数是 ，
∴原方程为 ，
∵ ， 是方程的两组解，
∴ ，
解得 ．
21．（24-25七年级下·陕西铜川·阶段练习）已知关于x，y的方程组 ．
(1)当 时， 的值为________；
(2)若x和y互为相反数，求m的值；
(3)无论m取何值，方程 总有一个恒定不变的解，该解为________．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组等知识，掌握相关知识
是解题的关键．
（1）把 代入方程组，整理可得： ，利用加减消元法解方程组求出 ， 的值，然后
代入 计算即可；
（2）由题意可知， 和 互为相反数，由此可得 ，即 ，把 代入方程 ，
可得 ，则 ，把 的值代入方程 ，进而得出 的值；
（3）将方程整理为关于 的等式，令 的系数为 ，从而确定 和 的值即可．
【详解】（1）解：把 代入方程组，可得
，
，得： ，解得： ，
把 代入①，得 ，
解得： ，
，
故答案为： ；
（2）解：∵ 和 互为相反数，
，即 ，
把 代入方程 ，得： ，
解得： ，
∴ ，
把 ， 代入方程 ，得： ，
解得： ；
（3）解： ，
，
，
解得： ，
∴无论 取何值，方程 总有一个恒定不变的解，该解为 ，
故答案为： ．
22．（24-25七年级下·吉林白城·阶段练习）（1）观察发现：材料：解方程组 ．
将①整体代入②，得 ，解得 ，把 代入①，得 ，所以 ，这种解法称为
“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
请直接写出方程组 的解为______；（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组 ；
（3）拓展运用：若关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，请直接写出满足条
件的 的所有正整数值______．
【答案】（1） ；（2） ；（3）1，2，3
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用整体代入法
解二元一次方程组．
（1）根据方程①，求出 ，再整体代入方程②，从而求出y，然后再把y的值代入其中一个方程求出x
即可；
（2）根据方程①，求出 ，再整体代入方程②，从而求出y，然后再把y的值代入方程①求出x即可；
（3）解方程组求出 ，然后根据列出关于m的不等式，解不等式从而求出答案即可．
【详解】解：（1） ，
由 得 ，
把 代入 得 ，
解得： ，
把 代入 得： ，
方程组的解为 ；
（2） ，
由 得 ，
把 代入 得 ，
把 代入 ，得 ，
方程组的解为 ；
（3） ，
得 ，
∴ ，关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，
，
，
满足条件的 的所有正整数值为 ， ， ．
