文档内容
2022-2023 学年北师大版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题 03 二次根式
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021八上·岳阳期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】解：A、 ，故选项A计算错误，不符合题意；
B、 ，故选项B计算正确，符合题意；
C、 与 不是同类二次根式，不能合并，故选项C计算错误，不符合题意；
D、 ，故选项D计算错误，不符合题意.
故答案为：B.
【思路引导】根据二次根式的性质、二次根式的乘除，二次根式的加减逐一判断即可.
2．（2分）（2021八上·毕节期末）下列命题中，是真命题的有（ ）
①以1、 、 为边的三角形是直角三角形，则1、 、 是一组勾股数；
②若一直角三角形的两边长分别是5、12，则第三边长为13；
③二次根式 是最简二次根式；
④在实数0，﹣0.3333……， ，0.020020002， ，0.23456…， 中，无理数有3个；
⑤东经113°，北纬35.3°能确定物体的位置.
A．①②③④⑤ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．④⑤
【答案】D
【完整解答】解：①以1、 、 为边的三角形是直角三角形，但1、 、 不是勾股数，故该项不是真命题；
②若一直角三角形的两边长分别是5、12，则第三边长为13或 ，故该项不是真命题；
③二次根式 不是最简二次根式，故该项不是真命题；
④在实数0，﹣0.3333……， ，0.020020002， ，0.23456…， 中，无理数有3个，
故该项是真命题；
⑤东经113°，北纬35.3°能确定物体的位置，故该项是真命题；
故答案为：D.
【思路引导】①勾股数就是满足其中两个数的平方和等于第三个数的平方的三个正整数，据此进行判断；
②分两种情况：12为直角边或12为斜边，利用勾股定理分别计算，再判断即可；③最简二次根式必须满
足两个条件：被开方数不含分母和被开方数不含能开方开得尽的因数或因式；据此判断即可；④无理数就
是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如
0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如
sin60°等，据此逐一判断；⑤地图上确定物体的位置：经度和纬度，据此判断即可.
3．（2分）（2021八上·毕节期末）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【完整解答】解： 与 不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项错误；，故D选项正确.
故答案为：D.
【思路引导】二次根式的加减，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同
类二次根式就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并同类二次根式的时候，只需要将系数相加减，二
次根式部分不变，据此即可判断A、B；二次根式的乘法，把系数与被开方数分别相乘，并将结果化为最简
二次根式即可，据此即可判断C；分子分母同乘以分母的有理化因式 ，将分母有理化，据此即
可判断D.
4．（2分）（2021八上·顺义期末）当 时，化简二次根式 ，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：
故答案为：D
【思路引导】利用二次根式的性质与化简解答即可。
5．（2分）（2021八上·宝安期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：A. 与 ，不是同类二次根式不能合并，故A选项不符合题意；
B. 与 ，不是同类二次根式不能合并，故B选项不符合题意；C. ，计算正确，故C选项符合题意
D. 与 不是同类二次根式不能合并，故D选项不符合题意；
故答案为：C
【思路引导】利用二次根式的加减法和二次根式的乘除法逐项判断即可。
6．（2分）（2021八上·禅城期末）下列运算正确的是（ ）
A． + = B． =4
C． =2× D． =﹣2
【答案】C
【完整解答】A. 与 不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
B. =2 ，故不符合题意；
C. =2 ，符合题意；
D. =2，故不符合题意；
故答案为：C．
【思路引导】根据二次根式的性质与化简、二次根式的加减法判断各选项即可。
7．（2分）（2021八上·承德期末）对于二次根式的性质 中，关于a、b的取值正确的说法是
（ ）
A．a≥0，b≥0 B．a≥0，b＞0 C．a≤0，b≤0 D．a≤0，b＜0
【答案】B
【完整解答】当a≥0，b＞0时， 才成立，
故答案为：B；【思路引导】根据二次根式由意义的条件计算即可。
8．（2分）（2021八上·平谷期末）若最简二次根式 与最简二次根式 是同类二次根式，则a
的值是（ ）
A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝2 D．a＝－2
【答案】A
【完整解答】∵最简二次根式 与最简二次根式 是同类二次根式
∴a+1=2a
解得：a=1
故答案为：A
【思路引导】根据题意先求出a+1=2a，再计算求解即可。
9．（2分）（2021八上·隆昌期中）已知实数a满足条件 ，那么
的值为
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
【答案】C
【完整解答】解：∵ 有意义，
∴a-2012≥0，
∴a≥2012，
∴2011-a＜0，
∴ ，
∴
∴a-2012=20112，
∴a-20112=2012.
故答案为：C.
【思路引导】由二次根式的被开方数为非负数可求出a≥2012，即得2011-a＜0，利用绝对值的性质原等式
可化为 ，两边平方即可求出结论.10．（2分）（2019八上·石家庄期中）若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】解：∵
∴可得
∴
解得：
故答案为：B．
【思路引导】根据题意二次根式和绝对值的化简性质，列出一元一次不等式组，从而求解．
二．填空题（共10小题，满分20分，每题2分）
11．（2分）（2021八上·峄城期末）若长方形的周长是 ，一边长是 ，则它
的面积是 ．
【答案】
【完整解答】解：∵矩形的周长是 ，一边长是 ，
∴另一边长为： ，
∴矩形的面积为： ，
故答案为： ．
【思路引导】先利用矩形的周长求出另一边的长，再利用矩形的面积公式列式求解即可。
12．（2分）（2021八上·松江期末）已知 ，化简 = ．
【答案】1【完整解答】解： ，
故答案为：1
【思路引导】先利用二次根式的性质将原式化简为 ，再利用绝对值
的性质化简可得 。
13．（2分）（2021八上·襄汾期末）计算 ；
【答案】-3
【完整解答】解：原式= ；
故答案为-3．
【思路引导】先利用二次根式和立方根的性质化简，再计算即可。
14．（2分）（2021八上·长春期末）使式子 有意义的x的取值范围为 ．
【答案】x＜
【完整解答】由题意得：1﹣2x＞0，解得：x＜ ；
【思路引导】根据分式有意义的条件、二次根式由意义的条件解答即可。
15．（2分）（2021八上·如皋期末）李明的作业本上有六道题：① ，② ，③，④ ±2 ，⑤ ，⑥ ，请你找出他做对的题是
（填序号）.
【答案】①
【完整解答】解： ，运算正确，故①符合题意；
没有意义，不能运算，故②不符合题意；
故③不符合题意；
故④不符合题意；
故⑤不符合题意；
不是同类二次根式，不能合并，故⑥不符合题意.
故答案为：①.
【思路引导】根据立方根的概念可判断①；根据二次根式有意义的条件可判断②；根据二次根式的性质可
得 ，据此判断③；根据算术平方根的概念可判断④；根据负整数指数幂的运算性质可判断
⑤；根据同类二次根式的概念可判断⑥.
16．（2分）（2021八上·运城期中）实数 在数轴上的位置如下图所示，化简 等于
【答案】0
【完整解答】由图可知， ，
=
=0，
故答案为：0．【思路引导】根据数轴可得： ，再利用二次根式的性质： ，可得 = =0.
17．（2分）（2021八上·章丘期中）已知1＜a＜3，则化简 ﹣ 的结果是
．
【答案】2a−5
【完整解答】解： ﹣ ＝ − ，
∵1＜a＜3，
∴1−a＜0，a−4＜0，
∴ − ＝a−1−（4−a）＝2a−5．
故答案为：2a−5．
【思路引导】先利用完全平方公式化简被开方数，再根据二次根式的性质化简去掉绝对值，再根据绝对值
中的正负去掉绝对值，最后合并同类项即可。
18．（2分）（2021八上·普宁期中）若 ，则a-b的算术平方根为 ．
【答案】3
【完整解答】解：由题意得， ， ，
解得， ，
，
解得， ，
，
算术平方根为3，
故答案为：3．
【思路引导】根据二次根式好有意义的条件列出不等式组求出a的值，再代入求出b的值，再将a、b的值
代入计算即可。
19．（2分）（2020八上·覃塘期末）我们在二次根式的化简过程中得知：，…，则
【答案】2019
【完整解答】
=( …+ )( )
=( )( )
=
=2019.
故答案为：2019
【思路引导】先利用分母有理化求出第一个括号内的值，再利用平方差公式即可得答案.
20．（2分）（2019八上·浦东期中）化简 .
【答案】 .
【完整解答】根据二次根式的定义知， ，
∴ ，
∴ = .
故答案为： .
【思路引导】先根据二次根式的定义确定出a的取舍范围，再根据二次根式的性质进行化简即可.
三．解答题（共8题，满分60分）
21．（10分）（2021八上·巴中期末）计算：（1）（5分） ；
（2）（5分） .
【答案】（1）解： ，
，
；
（2）解： ，
，
.
【思路引导】（1）根据绝对值的性质、立方根的概念、0次幂的运算性质及二次根式的性质分别化简，再
合并同类二次根式及进行有理数的加减法运算即可；
（2）根据二次根式的乘法法则、单项式与多项式的乘法法则及平方差公式分别去括号，然后进行有理数
的加减法运算即可.
22．（5分）（2021八上·平谷期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简：
【答案】解：由数轴知：
∴ ，
∴
＝－b－（a－b）－（c－a）－（－c）
＝－b－a＋b＋a－c＋c
＝0【思路引导】先求出 ， ，再化简求值即可。
23．（5分）（2021八上·达州期中）小明在解决问题：已知 ，求 的值，他
是这样分析与解答的：
，
，
，
.
.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若 ，求 的值.
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ = .
【思路引导】对a的分子、分母同时乘以 +1，并化简可得a= +1，计算出a-1的值，结合完全平方
公式可得a2-2a的值，然后将待求式变形为4(a2-2a)-3，据此计算.
24．（9分）（2021八上·毕节月考）已知 .
（1）（4分）求 的值；（2）（5分）求 的平方根.
【答案】（1）解：由题意可得： ，解得：
（2）解：将 代入可得： ，解得： ，
可得 ，
所以 的平方根为 .
【思路引导】（1）根据二次根式的被开方数不能为负数可得m-10≥10，10-m≥10，求解即可得出m的值；
（2）将m的值代入即可算出n的值，然后计算出m2-n2的值，接下来结合平方根的概念进行解答.
25．（7分）（2021八上·长清期中）观察下列一组等式，解答后面的问题：
﹣1，
应用计算：
（1）（5分）利用上面的方法进行化简： ；
（2）（1分）归纳：根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果： ＝
；
（3）（1分）拓展： ＝
．
【答案】（1）解：原式＝
（2）（3）
【完整解答】解：（2）原式＝ ；、
故答案为： ；
（3）原式＝
＝ ．
故答案为： ．
【思路引导】（1）分子分母都乘以 ，再利用平方差公式计算即可；
（2）利用题中的祭祀啊u呢结果和（1）小题的计算结果找出规律即可；
（3）先分母有理化，再合并即可。
26．（5分）（2021八上·深圳月考）若 表示不超过x的最大整数（如 等），
求 的值．
【答案】解： ，
，
∴ ，∵
∵ 表示不超过x的最大整数，
∴ ，
∴
．
【思路引导】先利用分母有理化的计算方法化简，再根据题干中的定义求解即可。
27．（9分）（2021八上·运城期中）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠
小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的
“对子”，如： ， ，它们的积不含根号，我们说这两
个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：
， ．像这样，通过分子，分母同乘以一个
式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）（1分） 的有理化因式可以是 ， 分母有理化得 ．
（2）（1分）计算：
①当 ， ，则 ；
② （ 且 为整数）．（3）（5分）根据你的推断，比较 和 的大小．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）解： ，
，
，即 ，
．
【完整解答】解：（1）根据平方差公式 的有理化因式可以是 ，
根据平方差公式有理化分母为 ， ，
故答案为： ， ；
（2）①∵ ， ，
∴ ， ，
则 ；
故答案为
② ，
= ，= ，
= ，
= ，
故答案为： ；
【思路引导】（1）根据平方差公式 的有理化因式可以是 ，根据平方差公式
有理化分母为 ，即可得出答案；
（2） ①根据 ， ，再将其代入即可得出答案； ② 先利用分母有理化化简，
再计算即可；
（3）先取倒数，利用分母有理化化简，再计算即可.
28．（10分）（2021八上·城阳月考）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 、
、 ，求此三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形
的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这
样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）（1分）请你将△ABC的面积直接填写在横线上： ．
（2）（4分）思维拓展：
我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如果△ABC三边的长分别为 a、2 a、 a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
（3）（5分）探索创新：
若△ABC三边的长分别为 、 、2 （m＞0，n＞0，且m≠n），试
运用构图法求出这三角形的面积．
【答案】（1）
（2）解：作图如图②，
∴
（3）解：构造△ABC所示， ，
，【完整解答】（1） ．
故答案为：
【思路引导】（1）利用割补法求解即可；
（2）在网格中利用勾股定理分别作出边长为 a、2 a、 a，首尾相接的三条线段，再利用
割补法求解即可；
（3）在网格中构建边长为 、 、2 的三角形，最后同理可得出这
个三角形的面积。
