文档内容
专题03 乘法公式
考向一、完全平方公式
考向二、完全平方公式的几何背景
考向三、平方差公式
考向四、平方差公式的几何背景
一、完全平方公式
1．（2021·江苏淮安·七年级期末）计算： （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据完全平方公式展开即可得．
【详解】
解： ，
故选：A．
【点睛】
题目主要考查整式乘法中的完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
2．（2021·河南郑州·七年级期末）已知x+2y=6，xy=3，则 等于（ ）
A．8 B．12 C．24 D．25
【答案】B
【解析】
【分析】
由x+2y=6，xy=3，求得x2+4y2=24．再由（x-2y）2=x2+4y2-4xy，即可求解．
【详解】解：∵x+2y=6，xy=3，
∴（x+2y）2=x2+4y2+4xy=x2+4y2+12=36．
∴x2+4y2=24．
∴（x-2y）2=x2+4y2-4xy=24-4×3=12．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
3．（2021·河北唐山·七年级期末）对于等式 ，甲、乙、丙三人有不同看法，则下列说法正
确是（ ）
甲：无论 和 取何值，等式均不能成立．
乙：只有当 时，等式才能成立．
丙：当 或 时，等式成立．
A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人说法均不正确
【答案】C
【解析】
【分析】
根据完全平方公式 要使 成立则 ，则 ，由
此求解即可．
【详解】
解：∵ ，
∴要使得 ，即 ，
∴ ，
∴ 或 ，
故丙说法正确，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式．
4．（2021·上海奉贤·七年级期末）若二次三项式x2+kx+9是完全平方式，则k的值是（ ）A．6 B．﹣6 C．±6 D．±3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据完全平方公式的结构进行求解即可． 为首位两数乘积的2倍．
【详解】
∵x2+kx+9＝x2+kx+32，x2+kx+9是完全平方式，
∴kx＝ ，
解得k＝±6．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是完全平方公式，两数平方和再加上或减去它们乘积的2倍，是完全平方式的主要结构特征，
本题要熟记完全平方公式，注意积的2倍的符号，有正负两种情况，避免漏解．
5．（2021·辽宁沈阳·七年级期末）式子 加上哪一项后得 （ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据完全平方公式 ，即可求出答案．
【详解】
解：由于 ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式 ，本题属于基础题型．
6．（2022·湖南岳阳·七年级期末）已知a，b为实数，满足ab>0，且 ，当a－b为整数时，ab
的值为（ ）A． 或 B．1或 C． 或1 D． 或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 ，可得 ，变形得出 ．设 ，可得到
，根据a−b为整数，ab>0，即可确定t为0或1，问题得解．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
设 ，
则 ，即 ．
∵a−b为整数，ab>0，
∴t为0或1，
当t=0时，ab=1；
当t=1时，ab= ；
故选：C
【点睛】
本题考查了完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式并根据题意确定相应字母的取值范围是解题关键．
7．（2021·上海奉贤·七年级期末）若a＝2020×2021+1，b＝20202﹣2020×2021+20212，在下列判断结果正
确是（ ）
A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断
【答案】B
【解析】【分析】
根据完全平方公式的变形，将 化简，进而与 比较即可求解
【详解】
a＝2020×2021+1，
b＝20202﹣2020×2021+20212
＝（2020﹣2021）2+2020×2021
＝2020×2021+1，
故a＝b．
故选：B．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
8．（2013·北京朝阳·七年级期末）已知a+b＝3，a2+b2＝5，则ab的值是__．
【答案】2
【解析】
【分析】
现将a+b进行平方，然后把a2+b2=5代入，即可求解．
【详解】
∵a+b＝3，
∴（a+b）2＝9，
即a2+2ab+b2＝9，
∵a2+b2＝5，
∴ab＝（9﹣5）÷2＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助．
9．（2022·上海宝山·七年级期末）计算： ________．
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】将 变形为 ，利用完全平方公式进行求解．
【详解】
解： ，
，
，
，
，
，
，
故答案是： ．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是掌握完全平方公式的运用．
10．（2021·广东茂名·七年级期末）先化简，再求值：（x+2y）2﹣（x﹣y）2﹣3y2+1，其中x＝﹣1，y
．
【答案】 ；
【解析】
【分析】
根据完全平方公式展开，进而根据整式的加减运算化简，再将字母的值代入求解即可．
【详解】
（x+2y）2﹣（x﹣y）2﹣3y2+1当x＝﹣1，y 时
原式
【点睛】
本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．
二、完全平方公式的几何背景
1．（2021·四川甘孜·七年级期末）如图1是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四
块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．
（1）图2中的阴影正方形边长表示正确的序号为 ；
① ；② ；③ ．
（2）由图2可以直接写出 ， ， 之间的一个等量关系是 ；
（3）根据（2）中的结论，解决下列问题： ， ，求 的值．
【答案】（1）②；（2） ；（3）56
【解析】
【分析】
（1）由观察图形可得图2中的阴影正方形边长为b−a；
（2）从整体和分部分两个角度分别表示出图2的面积就把该问题解决了；
（3）由（2）题结论 ，可知此题是在知道 和 的条件时去求
．【详解】
（1）解：阴影部分的正方形的边长为 ，
故答案为：②.
（2）解：大正方形的边长为 ，面积为 ，
小正方形的边长为 ，面积为 ，
四块长方形的面积为 ，
所以有 ，
故答案为： .
（3）解：由（2）的结论可得 ，
把 ， 代入得， ，
所以 ．
【点睛】
该题考查了对完全平方公式几何意义的理解与应用，关键是从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几
何意义，并能类比运用．
2．（2022·辽宁大连·七年级期末）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小
正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形，拼第3个正方形需要16个小正方形……按照这样的方法拼成
的第 个正方形比第 个正方形多________个小正方形．
【答案】 ##1+2n【解析】
【分析】
首先根据图形中小正方形的个数规律得出变化规律，进而得出答案．
【详解】
解：∵第一个图形有22=4个小正方形组成，
第二个图形有32=9个小正方形组成，
第三个图形有42=16个小正方形组成，
∴第（n-1）个图形有n2个小正方形组成，第n个图形有（n+1）2个小正方形组成，
∴ ，
故答案为：2n+1．
【点睛】
此题主要考查了图形的规律型问题，完全平方公式，根据图形得出小正方形的变化规律是解题关键．
3．（2021·广东梅州·七年级期末）阅读理解：“若 满足 ，求 的
值”．
解：设 ，
则 ， ，
那么 ．
解决问题：
(1)若 满足 ，求 的值；
(2)若 满足 ，求 的值；
(3)如图，正方形ABCD的边长为 ，AE=14，CG=30，长方形EFGD的面积是500，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)阴影部分的面积为：2256
【解析】
【分析】
（1）设 ， ，根据完全平方公式和代数式的性质计算，即可得到答案；
（2）设 ， ，根据完全平方公式和代数式的性质计算，即可得到答案；
（3）根据题意，推导得 ；设 -14=a， -30=b，根据完全平方公式和代数式的性质计
算，即可得到答案．
(1)
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴
＝
；
(2)
设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ =2160，即 ；
(3)∵正方形ABCD的边长为 ，AE=14，CG=30，
∴DE= -14，DG= -30，
∴
设 -14=a， -30=b，
∴a-b=（ -14）-（ -30）=16，
∵长方形EFGD的面积是500
∴ab=500，
∵四边形NGDH和MEDQ都是正方形
∴ ，
∴阴影部分的面积= ，
∴阴影部分的面积= ，
∴阴影部分的面积为：2256．
【点睛】
本题考查了完全平方公式、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式的性质，从而完成求解．
三、平方差公式
1．（2022·黑龙江大庆·七年级期末）下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+b）（﹣a﹣b） B．（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）（a﹣d） D．（a+b）（2a﹣b）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2对各选项分别进行判断．
【详解】
解：A、（a+b）（﹣a﹣b）＝﹣（a+b）（a+b）两项都相同，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题
意；
B、（a+b）（a﹣b）存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
C、（a+b）（a﹣d）中存在相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；
D、（a+b）（2a﹣b）中存在相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；
故选：B．【点睛】
本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去
相反项的平方．
2．（2021·贵州毕节·七年级期末）若 ，且 ，则 等于（ ）．
A．7 B．6 C．5 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平方差公式直接可得答案．
【详解】
，且
故选B
【点睛】
本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．
3．（2021·陕西·清涧县教学研究室七年级期末）三个连续的偶数，若中间一个为 ，则它们的积是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
三个连续的偶数，若中间一个为a，则另外两个是a−2，a＋2，求积即可．
【详解】
解：三个连续的偶数，若中间一个为a，
则另外两个是a−2，a＋2．
则a（a−2）（a＋2）＝ −4a．
故选：B．
【点睛】
本题考查了整式的乘法，理解三个连续偶数的关系是关键．4．（2021·湖南·明德华兴中学七年级期末）定义：若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差，那么
就称这个正整数为“明德数”．如： ， ， ，因此1，3，5这三个数都是“明德
数”．则介于1到200之间的所有“明德数”之和为 ( )
A．10000 B．40000 C．200 D．2500
【答案】A
【解析】
【分析】
列出算式，根据数字所呈现的规律得出答案．
【详解】
解：介于1到200之间的所有“明德数”之和为：
（12 02）+（22 12）+（32 22）+…+（992 982）+（1002 992）
=12 02+22 12+32 22+42 32+…+992 982+1002 992
=1002
=10000；
【点睛】
本题考查有理数的运算，平方差公式的应用，掌握有理数运算法则是正确计算的前提．
5．（2021·陕西咸阳·七年级期末）若 ，则 的值为（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用平方差公式先将 化简为 ，再整体代入计算即可．
【详解】
解：原式 ，
，
，
，
故选：D．【点睛】
本题考查平方差公式，掌握 是正确解答的关键．
6．（2021·山东潍坊·七年级期末）计算（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）的结果为（ ）
A．235+2 B．264+1 C．264﹣1 D．232﹣1
【答案】C
【解析】
【分析】
因为（2+1）=1 （2+1），把前面的1变为（2﹣1），再依次运用平方差公式进行计算即可．
【详解】
解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1），
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1），
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1），
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1），
＝（216﹣1）（216+1）（232+1），
＝（232﹣1）（232+1），
＝264﹣1
故选：C．
【点睛】
本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2是解题的关键．
7．（2021·河北邯郸·七年级期末）若（20212﹣4）（20202﹣4）＝2023×2019×2018m，则m的值是
（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2024
【答案】C
【解析】
【分析】
由平方差公式进行计算，即可求出答案．
【详解】
解：
== ，
∵ ，
∴ ；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式进行计算．
8．（2013·江苏盐城·七年级期末）若 ，则 的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用平方差公式进行化简，代入求解即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】
此题考查了平方差公式的应用，解题的关键是掌握平方差公式，利用整体代入思想求解．
9．（2022·上海浦东新·七年级期末）计算： ．
【答案】 ．
【解析】
【分析】
先计算平方差公式（ ），再计算完全平方公式（ ）即可得．
【详解】
解：原式
．【点睛】
本题考查了利用乘法公式进行运算，熟记公式是解题关键．
10．（2021·甘肃白银·七年级期末）用简便方法计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】
利用平方差公式变形求解即可．
【详解】
解：
【点睛】
此题考查了平方差公式的运用，解题的关键是熟练掌握平方差公式并对算式进行正确变形．
四、平方差公式的几何背景
1．（2021·新疆·七年级期末）如图，边长为 的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余
部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据大正方形的面积减小正方形的面积 矩形的面积，即可解答．
【详解】
解：根据题意，得：矩形一边长为 ，则另一边长为 ．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查平方差公式的应用，熟记图形的面积公式是解决此题的关键．
2．（2019·山东聊城·七年级期末）如图1，在边长为 的正方形中剪去一个边长为 的小正方形 ，
把剩下部分拼成一个梯形（如图 ，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先利用正方形的面积，求得左边阴影部分的面积，然后根据梯形的面积公式求得右边阴影部分的面积，
根据面积相等即可解答．
【详解】
解： 左图中阴影部分的面积是 ，右图中梯形的面积是 ，
．
故选： ．
【点睛】此题主要考查的是平方差公式的几何表示．注意运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
3．（2021·浙江丽水·七年级期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部
分沿虚线剪开，拼成新的图形．现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是
_______．（请填上正确的序号）
【答案】①②##②①
【解析】
【分析】
根据图形及平方差公式的特征可进行求解．
【详解】
解：由图可知：
图①： ；
图②： ；
图③：第一个图阴影部分面积为： ，第二个图阴影部分的面积为： ；
∴综上所述：能够验证平方差公式的方案为①②；
故答案为①②．
【点睛】
本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
1．（2021·山东·曹县教学研究室七年级期末）若三角形的一边长为 ，该边上的高为 ，则此三
角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】
【分析】
根据三角形面积公式列式，然后利用平方差公式进行计算．
【详解】
解：由题意，三角形面积为：
，
故选： ．
【点睛】
本题考查整式混合运算的应用，掌握三角形面积公式 底 高）和平方差公式 的
结构是解题关键．
2．（2021·贵州铜仁·七年级期末）计算（1 ）（1 ）……（1 ）（1 ）的值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用平方差公式将每个式子展开，找到规律，即可求解．
【详解】
解：故答案为D
【点睛】
此题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式化简式子，找到规律是解题的关键．
3．（2021·广西崇左·七年级期末）计算 结果等于（ ）
A．1 B．316-216 C．332+232 D．332－232
【答案】B
【解析】
【分析】
根据含乘方的有理数的计算法则和平方差公式进行求解即可.
【详解】
解：
故选B.
【点睛】
本题主要考查了含乘方的有理数乘法计算，平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式.
4．（2021·上海普陀·七年级期末）计算： ＝____________．
【答案】
【解析】【分析】
根据完全平方公式 进行求解即可．
【详解】
解： ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
5．（2021·陕西·吴堡县教学研究室七年级期末）若 ，则 _______．
【答案】10
【解析】
【分析】
利用平方差公式即可得出答案
【详解】
解：∵
∴
∴
∴
故答案为：10
【点睛】
此题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
6．（2018·湖南株洲·七年级期末）若多项式9a2﹣ka+25是一个完全平方式，则k＝_____．
【答案】±30
【解析】
【分析】
按照完全平方公式有和，差两种方式，进行配方计算即可．
【详解】
∵9 ﹣ka+25是一个完全平方式，
∴9 ﹣ka+25= ，解得k=±30，
故答案为：±30．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式有和，差两种形式是解题的关键．
7．（2021·湖南郴州·七年级期末）已知 ，则 ___________．
【答案】1
【解析】
【分析】
原式可化为 ，再应用积的乘方运算法则 ，可化为 ，
由已知 ，应用平方差公式可化为 ，代入计算即可得出答案．
【详解】
解： ，
，
，
，
，
原式 ．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了平方差公式及积的乘方，解题的关键是熟练应用平方差公式和积的乘方法则进行计算．
8．（2021·安徽宿州·七年级期末）已知实数 满足 ，则 的
值是______．
【答案】7
【解析】
【分析】观察题目可知 ，正好符合完全平
方公式的变形，由此进行求解即可得到答案．
【详解】
解：∵ ，
∴
，
故答案为：7．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的变形求值，解题的关键在于能够准确观察出题目所求与完全平方公式之间
的关系．
9．（2021·四川成都·七年级期末）已知|x﹣1|+|y+2|＝0，则（2x+y）（2x﹣y）＝___．
【答案】0
【解析】
【分析】
运用绝对值的非负性可知两个绝对值下的数都为0，代入即可求解．
【详解】
解：根据题意得，x﹣1＝0，y+2＝0，
解答：x＝1，y＝﹣2，
∴（2x+y）（2x﹣y）＝4x2﹣y2＝4﹣4＝0，
故答案为：0．
【点睛】
本题考查了绝对值的运算，巧用非负性是解题关键．
10．（2022·江西·景德镇一中七年级期末）设 为正整数，若 是完全平方数，则 ________．
【答案】4或19
【解析】【分析】
将n2+9n-3转化成一个完全平方数再加一个数，只有这个数为0时，原式是完全平方数，求出n再判断，即
可得出答案．
【详解】
解：①n2+9n-3=n2+2n+7n-3=（n2+2n+1）+（7n-4）=（n+1）2+（7n-4），
∵n2+9n-3是完全平方数，
∴（n+1）2+（7n-4）是完全平方数，
∴7n-4=0，
∴n= （不是正整数，不符合题意），
②n2+9n-3=n2+4n+5n-3=（n2+4n+4）+（5n-7）=（n+2）2+（5n-7），
∵n2+9n-3是完全平方数，
∴（n+2）2+（5n-7）是完全平方数，
∴5n-7=0，
∴n= （不是正整数，不符合题意），
③n2+9n-3=n2+6n+3n-3=（n2+6n+9）+（3n-12）=（n+3）2+（3n-12），
∵n2+9n-3是完全平方数，
∴（n+3）2+（3n-12）是完全平方数，
∴3n-12=0，
∴n=4，
④n2+9n-3=n2+8n+n-3=（n2+8n+16）+（n-19）=（n+4）2+（n-19），
∵n2+9n-3是完全平方数，
∴（n+4）2+（n-19）是完全平方数，
∵n是正整数，
∴n=19，
⑤n2+9n-3=n2+10n-n-3=（n2+10n+25）+（-n-28）=（n+5）2+（-n-28），
∵n为正整数，
∴-n-28＜0，
综上所述，n的值为4或19，
故答案为：4或19．
【点睛】此题主要考查了完全平方数，配方法，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
11．（2021·广东茂名·七年级期末）已知m2﹣n2＝24，m比n大8，则m+n＝___．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据平方差公式将已知等式变形，根据已知条件m比n大8，可得代数式m+n的值．
【详解】
m2﹣n2＝24，m比n大8，
故答案为：3
【点睛】
本题考查了平方差公式的应用，掌握平方差公式是解题的关键．
12．（2022·江西·景德镇一中七年级期末）已知实数 满足 ，则
___________．
【答案】
【解析】
【分析】
由 可得 再利用非负数的性质求解 且 都不为
0，从而可得答案.
【详解】
解： ，则 都不为0，
故答案为：
【点睛】
本题考查的是非负数的性质，完全平方公式的应用，熟练的构建非负数之和为0的条件是解本题的关键.
13．（2021·辽宁沈阳·七年级期末）计算：3（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1，它的结果的个位数字是
___．
【答案】4
【解析】
【分析】
把3转化为（22-1），再利用平方差公式进行运算，即可得出结果．
【详解】
解：3（22+1）（24+1）…（232+1）-1
=（22-1）（22+1）（24+1）…（232+1）-1
=264-1-1
=264-2，
∵2的尾数是2，
22=4的尾数是4，
23=8的尾数是8，
24=16的尾数是6，
25=32的尾数是2，
…
其尾数为：2，4，8，6不断的循环，
∵64÷4=16，
∴264的尾数为6，
∴264-2的个位数字为：6-2=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查平方差公式，尾数特征，解答的关键是对平方差公式的掌握与应用．14．（2021·山东潍坊·七年级期末）根据 ， ，
，…的规律，则计算 的结果可表示为
______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，利
用规律来解答．
【详解】
解：根据 ， ， ，…的规律，
得出 ，
，
，
故答案是： ．
【点睛】
本题考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题．
15．（2021·上海黄浦·七年级期末）已知a+b＝3，ab＝2，求下列各式的值：
（1）a2+b2；
（2）a﹣b．
【答案】（1）5；（2）±1
【解析】
【分析】
（1）根据完全平方公式变形，再代入求出即可；
（2）先求出（a﹣b）2的值，即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵a+b＝3，ab＝2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；（2）∵a+b＝3，a2+b2＝5，ab＝2，
∴a﹣b＝ ．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，能正确根据公式进行变形是解此题的关键．
16．（2021·贵州铜仁·七年级期末）先化简，再求值： ，其中 ，
．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】
先利用完全平方公式与平方差公式计算整式的乘法，再合并同类项，把 代入化简后的代数式即可得
到答案.
【详解】
解：原式
，
当 ， 时，原式 ．
【点睛】
本题考查了整式的化简求值，先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘
除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
17．（2021·贵州毕节·七年级期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据负整指数幂，有理数的乘方，零次幂进行计算即可；
（2）根据平方差公式进行计算即可【详解】
解：（1）
（2）
【点睛】
本题考查了负整指数幂，有理数的乘方，零次幂，平方差公式，正确的计算是解题的关键．
18．（2021·贵州·毕节三联学校七年级期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图
1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是______．（请选择正确的选项）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
(2)若x2﹣y2＝16，x+y＝8，求x﹣y的值；
(3)用简便计算： ．
【答案】(1)A
(2)2
(3)1
【解析】
【分析】（1）图1剩余部分的面积拼成了图2的长方形，所以面积相等，根据面积相等列出等式即可；
（2）根据（1）的公式进行计算；
（3）先将2021×2023变形为(2022-1)(2022+1)，再根据（1）的公式进行计算．
(1)
解：图1得剩余部分的面积为：a2-b2，
图2把剩余部分拼成一个长方形，长为（a+b），宽为（a-b），面积为（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b）．
故选：A．
(2)
解：∵x+y=8，
∴x2-y2=（x+y）（x-y）=8（x-y）=16，
∴x-y=2；
(3)
解：20222-2021×2023
=20222-(2022-1)(2022+1)
=20222-(20222-12)
=20222-20222+1
=1．
【点睛】
本题考查了平方差公式几何意义及其运用，根据拼前拼后的面积相等列出等式是解题的关键．
19．（2020·贵州铜仁·七年级期末）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用
后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如
下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）知识再现：当x＝ 时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 ；（2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是
；
（3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．
【答案】（1）3，3；（2）1，大，−2；（3）y＋x的最小值为−6
【解析】
【分析】
（1）配方后即可确定最小值；
（2）将函数解析式配方后即可确定当x取何值时能取到最小值；
（3）首先得到有关x＋y的函数关系式，然后配方确定最小值即可．
【详解】
解：（1）∵x2−6x＋12＝（x−3）2＋3，
∴当x＝3时，有最小值3；
故答案为：3，3；
（2）∵y＝−x2＋2x−3＝−（x−1）2−2，
∴当x＝1时有最大值−2；
故答案为：1，大，−2；
（3）∵−x2＋3x＋y＋5＝0，
∴x＋y＝x2−2x−5＝（x−1）2−6，
∵（x−1）2≥0，
∴（x−1）2−6≥−6，
∴当x＝1时，y＋x的最小值为−6．
20．（2021·辽宁沈阳·七年级期末）若 满足 ，求 的值．阅读下面求解的
方法：
解：设 ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
请仿照上面的方法求解下面的问题：（1）若 满足 ，求 的值；
（2）如图，正方形 中， 、 分别是 、 上的点，且 ， ，长方形 的面
积是 ，分别以 、 为边作正方形，若 ，则① ， （用含 的代数
式表示）；②直接写出图中阴影部分的面积．
【答案】（1） ；（2）① ， ；②
【解析】
【分析】
（1）设 ， ，则 ，可得 ，再利用完全平方公式，即可求
解；
（2）①由 ， ，可求得 ，再由正方形的边长相等，可得
；②根据题意可得 ，可设 ， ，则 ，
从而求出 ， ，再利用平方差公式，即可求解．
【详解】
解：（1）设 ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）①∵ ， ，∴ ，
在正方形 中， ，
∵ ，
∴ ，
②∵长方形 的面积是 ，
∴ ，即 ，
设 ， ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴阴影部分的面积=
．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，并会利用类比
思想是解题的关键．
21．（2021·安徽阜阳·七年级期末）如图1是一个长为 、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四
块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，请你直接写出下列三个代数式 之间的等量关系为_______；（2）运用你所得到的公式解答下列问题：
①若 为实数，且 ， ，求 的值．
②如图3， ，分别表示边长为 的正方形的面积，且 三点在一条直线上，若
，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2；（2）①m﹣n＝4或m﹣n＝﹣4；②阴影部分面积为8．
【解析】
【分析】
（1）结合图形可得：大正方形面积＝四个矩形的面积+中间小正方形的面积，表示出各个图形的面积，三
者关系式即可得；
（2）①根据（1）中结论可得： ，然后将已知式子的值代入化简即可；
②根据题意可得： ，且 ，将其代入完全平方公式中化简可得： ，结合图形，求
阴影部分面积即可．
【详解】
解：
（1）由图可知，
大正方形面积＝四个矩形的面积+中间小正方形的面积，
即 ，
故答案为： ；
（2）①∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ；
②∵ ， 分别表示边长为p，q的正方形的面积，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，,
∴ ，
由图可知，阴影部分面积为： ，
∴阴影部分面积为8．
【点睛】
题目主要考查完全平方公式在求几何图形面积中的应用，理解题意，结合图形，熟练运用两个完全平方公
式的变形是解题关键．
22．（2021·广东佛山·七年级期末）阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到
某些数学公式．
（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根据图②能得到的数
学公式是__________．（2）如图③，请写出（a＋b）、（a﹣b）、ab之间的等量关系是__________
（3）利用（2）的结论，解决问题：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
（4）根据图④，写出一个等式：__________．
（5）小明同学用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形
纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b）长方形，请画出图形，并指出x＋y＋z的值．
类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．
（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．
【答案】（1）（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；（2）（a＋b）2＝（a﹣b）2＋4ab；（3）56；（4）（a＋b＋c）2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；（5）画图见解析，16；（6）（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2
【解析】
【分析】
(1)由图②中各个部分面积之间的关系可得答案；
(2)根据图③中，大正方形的面积为（a＋b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，每个长方形的面积为ab，由
各个部分的面积之间的关系可得出答案；
(3)由公式变形 ，再整体代入计算即可；
(4)大正方形的面积可表示为（a＋b＋c）2，在分别表示出大正方形中9块的面积，可得答案；
(5)根据拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b），即为3a2＋3b2＋10ab，因此x＝3，y＝3，z＝10，进而拼图即
可；
(6)根据大正方体的体积为（a＋b）3，以及8个“小块”的体积之间的关系得出结果即可．
【详解】
（1）根据图②各个部分面积之间的关系可得：
（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，
故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；
（2） 图③中，大正方形的面积为（a＋b）2，
小正方形的面积为（a﹣b）2，
每个长方形的面积为ab，
，
故答案为： ；
（3）利用（2）的结论，可知 ，
x＋y＝8，xy＝2，
（x﹣y）2＝（x＋y）2﹣4xy＝64﹣8＝56；
（4）根据图④，
大正方形的面积可表示为（a＋b＋c）2，
内部9块的面积分别为：
，
（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
故答案为：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
（5） （3a＋b）（a＋3b）＝3a2＋3b2＋10ab，
，
即需要3张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，10张宽、长分别为a、b的长方形纸片，
画图如下：
∴x＋y＋z＝16；
（6）根据图⑥，
大正方体的体积为（a＋b）3，
分割成8个“小块”的体积分别为：
，
（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2
故答案为：（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2．【点睛】
本题考查完全平方公式的几何背景、立方公式，表示各个部分的面积和体积，利用各个部分的面积或体积
与整体的关系得出答案．
