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第六章 平面向量、复数章末检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．若复数 是纯虚数，则实数 的值为
A． 或 B． C． D． 或
【答案】C
【详解】试题分析：因为复数 是纯虚数，所以 且 ，因此
注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.
考点：纯虚数
2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是 ，则 （ ）
A．1＋3i B．1－3i C．－1＋3i D．－1－3i
【答案】D
【分析】由点的坐标确定 ，再利用复数乘法法则进行计算
【详解】由题知， ，则 ．
故选：D．
3．在平行四边形 中， 为对角线 上靠近点 的三等分点，延长 交 于 ，则
（ ）
A． B．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形相似推出 为 的中点，再根据平面向量的线性运算可得答案.
【详解】易知， ，所以 ，又 ，所以 ，即 为 的中点，
所以 .
故选：A
4．已知 ， ， ， ，若 ，则 与 的夹角为
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【分析】根据向量垂直可得两向量数量积为零，从而构造出关于夹角余弦值的方程，求出余弦值后即可得
到所求角.
【详解】
即： ，解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过明确向量垂直与向量数量积之间的关系，利用数
量积为零构造关于夹角的方程.
5． 中，内角 、 所对的边分别为 、 ，若 ，则角 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦定理边角互化思想求出 的值，再结合 的范围可求出角 的值.
【详解】 ，由正弦定理得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，则 ，可得 .
又 ，因此， .
故选：C.
【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，在计算时要结合角的取值范围来得出角的值，考查运
算求解能力，属于基础题.
6．如图所示；测量队员在山脚A测得山顶 的仰角为 ，沿着倾斜角为 的斜坡向上走 到达 处，
在 处测得山顶 的仰角为 ．若 ， ， ，（参考数据： ， ，
， ， ， ），则山的高度约为（ ）
A．181.13 B．179.88 C．186.12 D．190.21
【答案】C
【分析】在 中，利用正弦定理求 ，进而在Rt 中求山的高度.
【详解】在 中，则
，
因为 ，则 ，
在Rt 中，则 .
故选：C.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】7．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， ， ，则 的面积
为（ ）
A． B． C．12 D．16
【答案】B
【分析】由正弦定理及两角和的正弦公式得 ，再利用余弦定理得 ，从而求出 的面积.
【详解】由正弦定理及 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 .
由正弦定理得 .
因为 ，所以 ，
又 ，所以由余弦定理得
，
解得 ，
所以 的面积为 .
故选：B.
8．在直角梯形ABCD中 ， ，点E为BC边上一点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过 作 ，垂足为 ，
因为 ，
所以有 ，
，设 ， ，
因此有
因为 ，
所以有 ，
而 ，
所以 ，
当 时， 有最大值 ，当 ，xy有最小值 ，
所以 的取值范围是
故选：B
【点睛】关键点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知 为虚数单位，复数 ，下列结论正确的有（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．
B．
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】AC
【分析】根据复数运算、共轭复数、复数相等等知识确定正确答案.
【详解】A选项， ，A选项正确.
B选项， ，B选项错误.
C选项， ，
，
若 ，则 ，解得 ，所以C选项正确.
D选项，当 时， ，所以D选项错误.
故选：AC
10．已知 为 的外接圆圆心， ，下列说法正确的是（ ）
A． 三点共线
B．
C．
D．向量 在向量 上的投影向量为
【答案】ACD
【分析】作出图，根据平面向量的基本定理运算判断选项A，利用圆周角的性质判断得 ，再结
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】合 是等边三角形，可判断得 ，从而得 可判断选项B，在直角三角形中，利用
三角函数列式计算可判断选项C，根据投影的概念，再结合三角函数计算可判断选项D.
【详解】如图，根据平行四边形法则 ，即 ，
所以 为 的中点，即 为 与 的交点，
所以 为 的中点，所以 三点共线，故A正确；
因为 为 的外接圆圆心，所以 为圆 的直径，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 是等边三角形，
所以 ， ，故B错误；
在 中， ，所以 ，故C正确；
作 于点 ，则向量 为向量 在向量 上的投影向量，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，即向量 在向量 上的投影向量为 ，故D正确.
故选：ACD
11．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，则下列判断中正确的是（ ）
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