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专题 07 二次根式化简的五类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用数轴化简二次根式
类型二、利用二次根式性质化简
类型三、利用二次根式性质化简求值
类型四、双重二次根式化简
类型五、利用分母有理化化简绝对值
压轴专练
类型一、利用数轴化简二次根式
例1．实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质．先判断 ，然后根据二次根式的性
质化简即可．
【详解】解：∵
∴
∴．
故选A．
变式1-1．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将 化简的结果
是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】D
【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，再根据二次根
式的性质进行化简即可．
【详解】解：由图可知： ，
∴ ，
∴
；
故选D．
变式1-2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且 ，则化简 的结果为 ．
【答案】b
【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质，绝对值，利用数轴得出 ，结合 得出
，进而利用绝对值、完全平方公式和二次根式的性质化简求解即可．
【详解】解∶由数轴知： ，
又 ，
∴ ，
∴．
故答案为：b．
变式1-3．实数 ， 表示的数在数轴上如图所示，化简求值：
，其中 ，
【答案】 ，
【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的化简求值，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，根据二
次根式的性质和绝对值的意义，化简后，再代值计算即可．
【详解】解：由数轴可知： ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
；
∴ ， 时，原式 ．
类型二、利用二次根式性质化简
例2．已知 ，则 （ ）A．2025 B． C． D．5050
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的意义和性质，正确掌握二次根式的意义和性质是解题的关键．根据二
次根式的被开方数非负性，确定x的值，进而求出y的值，代入所求表达式即可求解．
【详解】解：由 和 的被开方数非负性，得 ，
解得： ，
将 代入原方程 ，得 ，
，
将 和 代入，得 ，
故选：B．
变式2-1．当 时，化简：
【答案】 /
【分析】本题考查化简绝对值，化简二次根式，根据绝对值的意义，二次根式的性质，进行化简即可．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ；
故答案为： ．
变式2-2．已知 的三边分别为a，b，c．且a，b满足 ， ．则
．
【答案】84
【分析】本题考查了二次根式的非负性，勾股定理的逆定理，先根据二次根式的非负性得 ， ，
再结合 ，得出 是直角三角形，即可求出 ．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
故答案为：84
变式2-3．当 时， 化简得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的非负性成为解题的关键．
先利用已知条件 确定y的符号，进而得到 ，再根据二次根式的性质，将根号内的表达式分解为
平方项和非平方项的乘积，再进行化简即可．
【详解】解：∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
故选C．
变式2-4．已知 的三边长 、 、 满足 ，求 的周长．
【答案】14
【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的性质，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式和非负数的性质得到 ， ， ，求出 ， ， ，进而求解即可．
【详解】解： ，
∴
∴ ，
， ， ，
， ， ，
．
∴ 的周长为14．
类型三、利用二次根式性质化简求值
例3．已知 ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．熟练掌握二
次根式的性质是解决问题的关键．
先利用有理数的性质得到 ， ，则利用二次根式的性质化简得到原式 ，然后利用整体代
入的方法计算．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴
，．
故答案为： ．
变式3-1．若 ，则代数式 的值是（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2049
【答案】C
【分析】本题考查代数式求值，二次根式的性质，利用配方法将 变形为 再将
代入求值即可．
【详解】解：将代数式变形为完全平方：
将 代入，得：
原式
故选C．
变式3-2．已知 ， 是两个连续的正奇数， ，令 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了二
次根式的性质和奇数的定义．根据奇数的定义得到 ，则 ，所以 ，
，根据二次根式的性质化简，然后去绝对值后合并即可．
【详解】解： ， 是两个连续的正奇数， ，
，
，
，
，
．故答案为： ．
变式3-3．已知x、y是正整数，若 ，则 的值是 ．
【答案】143或187
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意可得 ，由x、y是正整数，可设
，不妨设 ，且a、b都是正整数，则可推出 ，可解得 ， 或
， ，据此求出x、y的值即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵x、y是正整数，
∴可设 ，不妨设 ，且a、b都是正整数，
∴ ，
∴ ，
∴ ， 或 ， ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
故答案为：143或187．
类型四、双重二次根式化简
例4．观察、思考、作解答：
，
反过来， ．， ．
(1)仿照上述过程，化简： ；
(2)若 ，直接写出 与 之间的关系．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）模仿题干过程，得 ，故 ，即可作答．
（2）因为 ，则 ，即可作答．
【详解】（1）解：依题意
．
（2）解：∵ ，
∴ ，
即 ， ．
变式4-1．形如 的化简，只要找到两个正数a，b，使 ， ，即 ，
，那么便有 ．
例如：化简 ．
解： ，这里 ， ，由于 ，
∴ ．
请仿照上例解下列问题：(1)填空： ________， ________， ________；
(2)化简： （请写出计算过程）；
(3)化简：
【答案】(1) ； ；
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握题干给定的化简方法，是解题的关键：
（1）根据题干给定的化简方法，进行化简即可；
（2）根据题干给定的化简方法，进行化简即可；
（3）根据题干给定的化简方法，先化简，再进行计算即可．
【详解】（1）解： ；
；
；
（2）解： ，
∴ ， ， ，
∴ ；
（3）原式．
变式4-2．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
，善于思考的小明进行了以下探索：
若设 （其中 、 、 、 均为整数），
则有 ， ．这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法，请你仿照小
明的方法探索并解决下列问题：
(1)若 ，当 、 、 、 均为整数时，用含 、 的式子分别表示 、 ，得：
______， ______；
(2)若 ，且 、 、 均为正整数，求 的值；
(3)化简： ．
【答案】(1) ，
(2) 的值为 或
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，
读懂材料明确题意是解题关键．
（1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出 、 ；
（2）在（1）的基础上，求出 ， ，根据 ， ， 均为整数，分两种情况求出 ， ；
（3）设 ，两边平方并结合题意计算得出 ，即可得出答案．
【详解】（1）解： ，
，( ， ， ， 均为整数），
， ，故答案为： ， ；
（2）解： ，
，( ， ， 均为整数），
， ，
，
① ， ， ，
② ， ， ，
综上所述： 或 ；
（3）解：设 ，
则
，
∴原式 ．
类型五、分母有理化化简二次根式
例5．先观察下面的运算过程，再按要求解答问题．，
．
(1)观察上面的运算过程，化简： __________．
(2)已知n为正整数，化简： __________．
(3)计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)9
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，解题的关键是根据题目中给出的数字表达式，找
出规律，准确计算．
（1）根据题目中给出的方法进行计算即可；
（2）根据（1）中找出的规律，写出用含n（n 为正整数）的关系式表示的规律即可；
（3）根据解析（2）找出的一般规律进行化简计算即可．
【详解】（1）解：
，
故答案为： ；
（2）解：原式，
故答案为： ；
（3）解：原式
．
变式5-1．【阅读材料】
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 ， ， 这样一类的式子，其实我们还可以将其进一
步化简： ； ； ．以上这
种化简的步骤叫做分母有理化．
【解决问题】
(1)仿照上面的解题过程，化简： ________；
(2)计算： ；
(3)已知 ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】本题考查分母有理数，二次根式的混合运算.
（1）根据分母有理化的方法进行求解即可；
（2）先进行分母有理化，再进行计算即可；
（3）先进行分母有理化求出 的值，进而求出 的值，然后代入求值即可．
【详解】（1）解： ；
故答案为： ；
（2）原式
；
（3）∵ ，
，
∴ ，
∴ ．
变式5-2．在解决问题“已知 求 的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．∴ ．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简： ；
(2)若 ，求 的值．
(3)已知 ，求代数式 的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题考查了分母有理化，完全平方公式，平方差公式．
（ ）进行分母有理化即可求解；
（ ）仿照题例即可求解；
（ ）仿照题例即可求解．
【详解】（1）解： ；
（2）解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ；
（3）解：∵ ，∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，∴
．
1．若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，有 ，将二次根式转化为绝对值问题，
结合绝对值的性质求解．
【详解】由题意得 ，
即 ， ，
故选：B．
2．若自然数 能使 为整数，则 可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【分析】此题考查了二次根式的性质和化简．分别代入各选项的值，逐项化简即可得到答案．
【详解】解：A.当 时， ，不符合题意；
B.当 时， ，不符合题意；
C.当 时， ，不符合题意；
D.当 时， ，符合题意；
故选：D3．已知实数 ， 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C．10 D．18
【答案】A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式计算等．
首先根据平方根的定义确定x的值，再代入求出y的值，最后计算表达式的值．
【详解】解：∵ 和 同时有意义，
∴ 且 ，
∴ ．
将 代入 ，得 ．
∴ ．
故选A．
4．实数 ， 在数轴上的位置如图所示，化简： ．
【答案】2
【分析】本题考查了实数与数轴，利用数轴得出 ， ，进而化简即可．
【详解】解：由数轴，得 ， ，
∴ ， ， ，
∴原式
，
故答案为：2．
5．已知 是整数，则满足条件的最小正整数 为 ．
【答案】3【分析】本题主要考查二次根式的性质，灵活运用二次根式的性质化简二次根式成为解题的关键．
先将 进行化简得到 ，再根据 是整数即可解答．
【详解】解：根据题意，化简得： ，
又∵ 是整数，
∴满足条件的最小正整数x为3．
故答案为3．
6．（1）计算：
（2）实数 ， 在数轴上的位置如图所示．化简： ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘
除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰
当的解题途径，往往能事半功倍．
（1）先进行二次根式的乘法运算，绝对值和乘方的运算，然后把各二次根式化简为最简二次根式后合并
即可；
（2）利用数轴表示数的方法得到 ， ， ，然后根据二次根式的性质化简后合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：由数轴知： ， ， ，
∴．
7．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简： ，
解：隐含条件 ，解得： ．
，
原式 ．
【启发应用】
（1）按照上面的解法， 隐含的条件是： ________．
（2）按照上面的解法，试化简 ．
【类比迁移】
（3）已知a，b，c为 的三边长．化简： ．
【答案】（1） ；（2）1；（3） ．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质 以及绝对值的化简，三角形的三边
关系的应用，解题的关键在于根据二次根式的有意义的条件，利用绝对值化简二次根式．
（1）根据二次根式被开方数非负的性质回答即可；
（2）根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，根据二次根式的性质 进行
化简计算；
（3）根据三角形三边关系确定 和 的正负性，再对二次根式进行化简计算．
【详解】解：（1） ，
，
故答案为： ；
（2）由（1）可知： ，
，
，
；（3） ，b，c为 的三边长，
， ，
， ，
．
8．已知 ，求a、b、c的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式非负数的性质，完全平方公式，解题的关键是熟练掌
握二次根式性质．
根据 ，得出 ，即可得出
， ， ，求出结果即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
解得： ， ， ．
9．王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一
道题．先阅读，再回答问题．
(1)小青编的题，观察下列等式：
直接写出以下算式的结果：① ______；
② （ 为正整数） ______；
(2)小明编的题，由二次根式的乘法可知：
， ， （ ， ）再根据平方根的定
义可得：
， ， （ ， ）；
直接写出以下算式的结果：
① ______；
② ______；
(3)王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：
；
(4)小丽看到王老师选出的题后，发现困扰自己很久的一道题有了解决办法，请你尝试帮她解决：
题目：若实数 、 满足条件 ，求 的值．
【答案】(1)① ；②
(2)① ；②
(3)
(4)
【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的性质及运算，掌握分母有理化，二次根式的化简是解本题
的关键．
（1）①根据题干提供的方法进行分母有理化即可；
②根据题干提供的方法进行分母有理化即可；
（2）分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简即可；（3）先把括号内每一项分母有理化，再合并同类二次根式，同步化简 ，最后利用平方差公式
计算即可；
（4）把原式变形为 ，进一步变形得到 ，利用非负数的性
质求出a、b的值，再分母有理化即可得到答案．
【详解】（1）解：①
；
故答案为： ；
②
；
故答案为： ；
（2）解：①；
故答案为： ；
②
；
故答案为： ；
（3）解：
；
（4）解；∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴
．
10．【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
．善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中a，b，m，n均为正整数），则有 ，
， ．这样小明就找到了一种把 化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索
并解决下列问题．
【实践探究】
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示a、b，则
________， ________；
（2）若 ，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
（3）化简 ________．【答案】（1） ； ；（2） 或 ；（3）
【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关
运算法则是解题的关键．
（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；
（2）根据题意，展开得到 ，然后根据 ，m，n为正整数进行求解；
（3）先设 ，m，n为正整数，再由例题的方法求解即可．
【详解】解：（1） ，
，
，
故答案为： ； ．
（2）
由
得 ，
又 ，m，n为正整数
或
（3）设 ，m，n为正整数
∴ ，∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
