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专题09：二元一次方程组（1）
考点一：认识二元一次方程组
题型一：二元一次方程（组）的定义
例1．（1）方程 ， ， ， ， 中二元一次方程的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】二元一次方程满足的条件：只含有2个未知数，未知数的最高次数是1的整式方程．
【详解】解：根据二元一次方程的定义，则是二元一次方程的是 ， ，共2个．
故选： ．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键是掌握有两个未知数，并且含有未知数的项的次
数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
（2）在下列方程组 ， ， ， ， 中，是二元一次方程组的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】
【分析】分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“1、只有两个未知数；2、未知数的项最高次数
都应是一次；3、都是整式方程”．
【详解】解：方程组 ， ， 符合二元一次方程组的定义，符合题意．
方程组 属于二元二次方程组，不符合题意．方程组 中的第一个方程不是整式方程，不
符合题意． 故选： ．
【点睛】本题是考查对二元一次方程组的识别，掌握二元一次方程组的定义，就很容易判断．【练习1】（1）下列方程中：① ；② ；③ ；④ ，二元一次方程有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】根据二元一次方程定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，像这样的整式方
程叫做二元一次方程进行分析即可．
【详解】解：① ，是二元二次方程；② ，是分式方程；
③ ，是二元一次方程；④ ，是二元一次方程．
所以③④是二元一次方程，故选： ．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．
②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次
方程．
（2）下列方程组中，不是二元一次方程组的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据二元一次方程组满足的三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有
两个未知数．③每个方程都是一次方程．即可进行判断．
【详解】解：所给方程组中， 是一元二次方程，所以不是二元一次方程组的是： ．故选： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解决本题的关键是掌握每个方程都是一次方程这个条件．
例2．（1）若方程 是关于x，y的二元一次方程，则a的值为_____．
【答案】-3
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程
叫做二元一次方程可得|a|-2=1，且a-3≠0，再解即可．【详解】解：由题得， ，解得a=-3，故答案为：-3．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义．二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个
未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
（2）已知 是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值为（ ）．
A．m=2，n=1 B． m=1，n= C．m=1，n= D．m=1，n=
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的定义即可求解．
【详解】∵ 是关于x，y的二元一次方程，∴2m-1=1,4-2n=1解得m=1，n= 故选D．
【点睛】此题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键是熟知二元一次方程的特点．
【练习2】（1）若关于 ， 的方程 是二元一次方程，则 ________ ．
【答案】2或4
【分析】根据二元一次方程的定义，可得x和y的指数分别都为1，列关于m、n的方程，然后求解即可．
【详解】根据二元一次方程的定义： 解得：m=3， ，
∴m+n=3+1=4或m+n=3-1=2；故答案为：2或4．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程
叫做二元一次方程．
（2）已知（m2﹣4）x2+3x﹣（m+2）y＝0是关于x，y的二元一次方程，则m的值为______．
【答案】2
【分析】利用二元一次方程的定义判断即可．
【详解】解：∵（m2﹣4）x2+3x﹣（m+2）y＝0是关于x，y的二元一次方程，
∴m2﹣4＝0且m+2≠0，解得：m＝2．故答案为：2．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，根据定义列出式子是解题的关键．
题型二：二元一次方程（组）的解例3．（1）已知 是方程 的一个解，则k的值=________．
【答案】
【分析】直接利用方程的解的定义把已知数解代入方程得出答案．
【详解】解： 是方程 =0的一个解，∴3+10k-5k=0，解得：k= ．故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的解，正确把握定义是解题关键．
（2）已知： 是方程组 的解，求2m+3n的值．
【答案】2m+3n＝13．
【分析】把 与 的值代入方程组求出 与 的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：把 代入方程组得： ，
解得： ，则 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
（3）已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足 ，则m的值为_______．
【答案】4
【分析】先解二元一次方程组，得到x+y，即可得到关于m的方程，求解即可．
【详解】 ①+②得： ，
， ，解得： ，故答案为：4．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，求出x+y是解题关键．【练习3】（1）若 是方程 的一个解，则m的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】把 代入 ，得到关于m的方程，解方程即可得到结论．
【详解】解：把 代入 得，2-2m=1，解得：m= ，故选：B．
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的解，得到关于m的方程是解题的关键．
（2）已知二元一次方程组 的解是 ，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】D
【分析】根据方程组的解的意义将x、y的值代入方程组即可求解．
【详解】解：把 代入方程组得 ，解得 ，
所以 ．故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是准确代入求值．
（3）如果方程组 的解中的x与y互为相反数，则k的值为（ ）
A．1 B．1或 C． D．
【答案】C
【分析】根据x与y互为相反数，得到y=-x，代入方程组求出k的值即可．
【详解】解：由题意得：y=-x，代入方程组得： ，∴x=-3
解得：k=-27．故选：C．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
考点二：求解二元一次方程组
题型一：用代入消元法解二元一次方程组
例4．（1）将方程3x﹣y＝1变形为用x的代数式表示y（ ）
A．3x＝y+1 B．x＝ C．y＝1﹣3x D．y＝3x﹣1
【答案】D
【分析】利用解一元一次方程的步骤，解出y即可．
【详解】由方程3x﹣y=1移项可得3x﹣1=y，即y=3x﹣1．故选D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的变形，即用一个未知数表示另一个未知数，利用解一元一次方程的步
骤解出所要表示的未知数即可．
（2）在方程组 中，代入消元可得（ ）
A．3y–1–y=7 B．y–1–y=7
C．3y–3=7 D．3y–3–y=7
【答案】D
【分析】将第2个方程代入第1个方程，再去括号即可得．
【详解】将x=y–1代入3x–y=7，得：3（y–1）–y=7，去括号，得：3y–3–y=7，故选D．
【点睛】本题考查了用代入法解二元一次方程组．用含一个未知数的代数式表示出另一个未知数是解答这
种题型的关键.此题属于基础题.
【练习4】把方程3x﹣5y＝2写成用x的代数式表示y的形式是（ ）
A．x＝15y+6 B． C． D．
【答案】C
【分析】将x看做已知数，y看做未知数即可．
【详解】解：3x-5y=2，解得： ．故选：C．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数，y看做未知数．
例5．解下列方程组：（1） （2） ；
【答案】（1） ；（2） ；
【分析】（1）（2）由代入消元法即可得出答案．
【详解】解：（1） ，把①代入②得： ，解得： ，
把 代入①得： ， 原方程组的解为 ；
（2） ，
由②得：y=2x-7③，将③代入①得，3x+2（2x-7）=21，解得x=5，
将x=5代入③得，y=3，∴这个方程组的解是 ；
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法；熟练掌握代入消元法是解题的关键．
【练习5】（1）已知 是二元一次方程组 的解，则2m﹣n的值是（ ）
A．4 B．2 C． D．﹣4
【答案】A
【分析】先把x＝2，y＝1代入方程，可得 ，解可求m、n的值，最后把m、n的值代入所求代
数式计算即可．
【详解】把x＝2，y＝1代入方程，可得 ，解得 ，∴2m﹣n＝2×3﹣2＝4．故选：A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组解的概念和二元一次方程组的解法是
解题的关键．
（2）已知最简根式 与 是同类二次根式，则 ________， ________．
【答案】 1
【分析】根据同类二次根式的定义得到 ，解方程组即可．
【详解】由题得： ，解得： ．故答案为： ，1．
【点睛】此题考查最简二次根式、同类二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解最简二次根式、同
类二次根式的定义列出方程组是解题的关键．
（3）解方程组：
（1）
（2） ．
【答案】（1） ；
（2）
【分析】（1）（2）方程组利用代入消元法求出解即可．【详解】解：（1） ，
把①代入②得： ，解得：y=-3，代入①中，解得： ，
则方程组的解为 ；
（2） ，
由②得 ③，③代入①得， ，
解得： ，把 代入③得， ，所以，方程组的解是 ；
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
题型二：用加减消元法解二元一次方程组
例6．x，y满足方程 ，则 的值为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【分析】利用整体法将两式相加，即可求得.
【详解】解： ，①＋②得： ， ，故选A.
【点睛】本题考查代数式的求值，灵活运用加减消元的思想是关键.
例7．解二元一次方程组：
（1） ； （2） ．【答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：（1） ，
① ②，得 ，解得 ，
把 代入②，得 ，解得 ，故方程组的解为 ；
（2） ，
① ，得 ③，由②，得 ④，
③ ④ ，得 ，解得 ，
把 代入③，得 ，解得 ，故方程组的解为 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解决本题的关键是掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程
组．
【练习6】（1）如果 是一个二元一次方程，那么实数 _______， _______．
【答案】3 ， 4
【分析】由二元一次方程的定义可得； ，解方程组可得答案．【详解】解：由题意得 ，整理为：
①＋②得： , 把 代入①得：
所以方程组的解是： ．故答案为：
【点睛】本题考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
（2）已知A 是2x﹣y+4的算术平方根，B 是y﹣3x的立方根，试求A+B
的平方根．
【答案】
【分析】先根据题意列方程组，解方程组求出对应的x和y的值，再计算A和B的值，最后计算其结果．
【详解】解：由题意得： ，方程组整理，得， ，
②﹣①，得3y＝3，解得y＝1，把y＝1代入①，得x﹣1＝2，解得x＝3，
∴方程组的解为 ，∴A ，
B ，∴A+B＝3﹣2＝1，∴A+B的平方根为： ．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根和立方根的定义是关键，本题要注意理解题
意，是易错题，最后求出A和B的值，还要求和的平方根，是两个值．
【练习7】解方程组．
（1） ． （2） ．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）用整体思想，再结合加减消元法解二元一次方程组即可．【详解】解：（1） ，
① ，得 ③，③ ②，得 ，解得 ，
将 代入①，得 ， 方程组的解为 ；
（2） ，
① ②得， ，解得， ，将 代入①，得 ，
方程组的解为 ．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关
键．
题型三：求参数的值
例8．（1）已知方程组 中，x，y的值相等，则m=________．
【答案】4．
【分析】根据x与y的值相等得到y=x，代入方程组即可求出m的值．
【详解】解：由题意得y=x，代入方程组 得： ，
解得：x=1，m=4．故答案为：4．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
（2）已知方程组 与 的解相同，那么 ．
【答案】1.5【分析】可先解方程组 ，求得 、 的值，再代入另两个方程，解关于 、 的方程组即可．
【详解】解：解方程组 ，得 ，
把 、 的值代入 ， 可得方程组 ，
解得 ， ．
【点睛】本题要求同学们不仅熟悉代入法，更需要熟悉二元一次方程组的解法，解题时要根据方程组的特
点进行有针对性的计算．
（3）定义一种新的运算“※”，规定： ※ ，其中 、 为常数，已知2※ ，3※
，则 ※ ．
【答案】15
【分析】由2※ 、3※ 可得 ，解之得出 、 的值，再根据公式求解可得．
【详解】解：根据题意，得： ，解得： ，
则 ※ ， ※ ，故答案为：15
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，根据题意列出关于 、 的方程组，并利用加减消元法求得 、
的值是解题的关键．
【练习9】（1）已知关于 ， 的二元一次方程组 的解互为相反数，则 的值是
（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B【分析】由题意得： 解方程组，求解 的值，再把 的值代入： ，从而
可得答案．
【详解】解：由题意得：
② ①得：
把 代入： ， 故选：
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法，掌握以上知识是解题的关键．
（2）若方程组 与方程组 同解，则 ．
【答案】8
【分析】先求出方程组 的解，再把 、 的值代入方程组 中，得到关于 、 的二
元一次方程组，求出 、 的值，代入代数式求解即可．
【详解】解：解方程组 ，
① ②得， ，解得 ，
① ②得， ，解得 ．
把 ， 代入方程组 ，得 ，
解得 ， ．故 ．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，解答此题的关键是先求出 、 的值，得到关于 、 的
二元一次方程组，再求出 、 的值．
（3）已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，则 的值为
【答案】1【分析】② ①得到 ，代入 中计算即可求出 的值．
【详解】解： ，
② ①得： ，
，
，
解得： ，
故答案为：1
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
1．下列方程：① ；② ；③ ；④ ；⑤ 中，二元一
次方程的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
【详解】解：① 是分式方程，不是二元一次方程；② 是二元一次方程；
③ 是二元二次方程；④ 是二元一次方程；⑤ 是一元二次方程．所以二元一次方程有②④，共2个．故选： ．
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
2．下列属于二元一次方程组的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二
元一次方程组．
【详解】解： ．是二元一次方程组，故符合题意；
．有三个未知数，故不是二元一次方程组，故不符合题意；
． 是二元二次方程，故不是二元一次方程组，故不符合题意；
． 是一元二次方程，故不是二元一次方程组，故不符合题意； 故选： ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程
组成的方程组”．
3．若 是二元一次方程 的解，则 ___________．
【答案】6
【分析】根据二元一次方程的定义直接把 代入二元一次方程 中得到关于k的方程，然
后解此方程就可以求出k的值．
【详解】解：把 代入二元一次方程 中得，3k -14=4，解得k=6故答案为：6．
【点睛】考查了二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数k为未知
数的方程，再求解．
4．已知关于 的方程组 的解是 ，则 ___________．【答案】
【分析】把方程组的解 代入可得 ，得到a和b的值即可求解．
【详解】解：把方程组的解 代入可得： ，解得 ， ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．
5．若 是关于 ， 的二元一次方程，则 的值是________．
【答案】-1
【分析】根据二元一次方程定义可得：m2=1，且m-1≠0，再解即可．
【详解】解：依题意得：m2=1，且m-1≠0，解得m=﹣1．故答案为：-1．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．
②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次
方程．
6．已知，方程 是关于 ， 的二元一次方程，则 ______．
【答案】1
【分析】根据二元一次方程的定义解题．
【详解】解：由题意得 ， ，∴ ， ，∴ ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7．如果方程组 与方程组 有相同的解，则 ．
【答案】1
【分析】先根据两方程组有相同的解，将 和 组成方程组，求出 ， 的值，代入和 组成的方程组，即可求出 的值．
【详解】解：解方程组 ，得 ．
把 ， 分别代入方程组的其余两个方程，得 ，解得 ． ．
【点睛】此题考查了对方程组解的理解：方程组有相同的解，即四个方程有相同解．
将已知系数的两个方程组成的方程组的解代入其余两方程，即可解出 、 的值．
8．已知方程组 中的 、 相等，则
【答案】2
【分析】根据题意得到 ，代入方程组求出 的值即可．
【详解】解：把 代入方程组得： ，
解得： ，故答案为：2．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解 即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
9．若 是关于 ， 的二元一次方程组 的解，则 的值为______．
【答案】5
【分析】将 代入方程组求解即可．
【详解】将 代入方程组 ，得 解得 ，
故答案为：5．
【点睛】此题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键．
10．已知点 ，点 关于 y 轴对称，则 a－b＝____．【答案】-1
【分析】关于y轴对称的坐标特征是：横坐标变为相反数，纵坐标不变，据此列出二元一次方程组
，利用代入消元法解得a， b的值，继而解题．
【详解】根据题意， ， 关于 y 轴对称，则 ，
把②代入①得， 解得 ，
把 代入②中，得 ，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查关于y轴对称的点坐标特征，涉及用代入消元法解二元一次方程组等知识，是重要考点，
难度较易，掌握相关知识是解题关键．
11．解方程组．
（1） ；（2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】两方程组利用代入消元法，加减消元法求出解即可．
【详解】（1） ，
由②式解得： ③，将③式代入①式得： ，
解得 ，将 代入③式得： ，∴方程组的解为： ．
（2）方程组可化为 ，得： ，解得 ，
把 代入①得： ，解得
∴方程组的解为： ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解方程组是解本题的关键．
12．解方程组：
（1） ；（2） ．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：（1） ，
① ② 得： ，解得： ，
把 代入②得： ，解得： ，
则方程组的解为 ；
（2）方程组整理得： ，
① ②得： ，解得： ，
把 代入①得： ，解得： ，
则方程组的解为 ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．13．已知 是关于x、y的二元一次方程组 的解，求a+b的值
【答案】1
【分析】
将x＝4，y＝3代入方程组中，得到关于a，b的二元一次方程组，即可求出a与b的值．
【详解】解：将x＝4，y＝3代入方程组 得： ，
解得： ，则a＋b＝−1＋2＝1．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
14．完成下列问题：
（1）已知方程组 的解x、y的值相等，求m的值．
（2）甲、乙两位同学在解方程组 时，甲看错了a，解得 ；乙将一个方程中的b写成了
相反数，解得 ，求a、b的值．
【答案】（1）m=9；（2）a=3，b=-2
【分析】
（1）根据x、y的值相等得到x=y，结合3x+2y=1求出x和y的值，再代入 中求出m值；
（2）甲看错了第一个方程，把他解的答案代入第二个方程，乙将一个方程中的b写成了相反数，把他解得
答案代入方程，求a、b的值．
【详解】解：（1）∵ 的解x、y的值相等，∴x=y，代入3x+2y=1中，∴ ，代入 中，则 ，解得：m=9；
（2）由题意得：
把 代入3x+by=5，得：9+2b=5，解得：b=-2，因为乙将一个方程中的b写成了相反数，
所以把b=2代入方程组得：ax+2y=1，把 代入方程ax+2y=1得：a=3．
【点睛】此题考查的是二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解答此题先要根据题意列出方程，然后
求解．
15．[阅读材料]
善于思考的小明在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程 变形： ， 即 ，
把方程 代入 得： ，所以 ，将 代入 得 ，
所以原方程组的解为 ．
[解决问题]
（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组 ，
（2）已知x，y满足方程组 ，求 的值．
【答案】（1）原方程组的解为 ；（2）
【分析】（1）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案；
（2）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案．【详解】解： 将方程 变形得:
把方程 代入 得: ， 所以 将 代入 得 ，
所以原方程组的解为 ；
，把方程 变形，得到 ，
然后把 代入 ，得 ，∴ ，∴ ；
【点睛】本题考查了方程组的“整体代入”的解法．整体代入法，就是变形组中的一个方程，使该方程左
边变形为另一个方程的左边的倍数加一个未知数的形式，整体代入，求出一个未知数，再代入求出另一个
未知数．
