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专题07 几何最值模型之将军饮马（含勾股）
将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学
生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解
决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称
变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解
让大家对这类问题有比较清晰的认识。
.........................................................................................................................................1
模型来源.............................................................................................................................................................1
真题现模型.........................................................................................................................................................2
提炼模型.............................................................................................................................................................4
模型拓展.............................................................................................................................................................5
模型运用.............................................................................................................................................................6
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）....................................................................6
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动）..................................................................10
模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动）......................................................................13
模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动）......................................................................16
..................................................................................................................................................20
“将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来
源。
传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边
饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的
经典案例，广泛用于中学数学教学。
（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，已知 ， ，过点 作 轴的垂
线 ， 为直线 上一动点，连接 ， ，则 的最小值为 ．
（2024·安徽滁州·一模）如图，在 中， ，A、C两点关于直线EF对称，连接 ， ，
的周长为18，若点P在直线 上，连接 ， ，则 的最大值为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．13
（2025·四川内江·中考真题）如图，在 中， ， ， ，点 、 、 分别是
边 、 、 上的动点，则 周长的最小值是 ．1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。
模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧：
A
A
B
m
P
m
P
B A'
图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。
模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最
小值即为：线段A’B的长度。
2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。
模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧：
A
A
B'
B m
P' P
m
B
P P'
图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|
P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。
模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。
当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，
当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。
1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动）
如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。
n
A'
n
A
Q
A
m
P
m A"
证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B,
根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，
再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。
2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动）
模型（1）：两定点+两动点
条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3）
A
m
A
A'
m
P' P m
A
P P
B
n
Q' Q B
n Q
Q n
B B' B'
图1-1 图1-1 图1-1
模型（1-1）（两点都在直线外侧型）
如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。
模型（1-2）（直线内外侧各一点型）如图（1-2），作点 B 关于定直线 n 的对称点 B’,连结 AB’,根据对称得到： QB=QB’，故
PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。
模型（1-3）（两点都在直线内侧型）
如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’,
根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）
例1（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，
的三个顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）．
(1)在图中画出 关于直线 成轴对称的 ；(2)求 的面积；
(3)在直线 上找一点 ，使 的长最短，请在图中标出点 的位置．
例2（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图，点 在等边 的边 上， ，射线 ，垂
足为点 ，点 是射线 上一动点，点 是线段 上一动点，当 的值最小时， ．则
这个最小值是（ ）A． B． C． D．
例3（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在 中， ，点D为
的中点，点E为 上的一个动点，连接 、 ，则 的最小值为 ．
例4（24-25八年级上·宁夏银川·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入
微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分
密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定
理和实数后，进行了如下的问题探索与分析
【提出问题】已知 ，求 的最小值
【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 和 的
线段，将代数求和转化为线段求和问题．
【解决问题】(1)如图，我们可以构造边长为1的正方形 ，P为 边上的动点．设 ，则
．
① ； ．② ______ ______的线段和．
(2)在（1）的条件下，已知 ，求 的最小值；
例5（2025·四川成都·模拟预测）如图，在 中， ， ，点 是 的中点，连接
， ， 分别是 ， 上的动点，连接 ， ，则 的最小值为 ．模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动）
例1（2024·安徽滁州·一模）如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于点F，交 于点
E，连接 ， ， 的周长为18．若点P在直线 上，连接 ， ，则 的最大值
为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．13
例2（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图在 中， ， ，将 沿边进行对
折使得点 落在点 处，过点 作 垂直 于点 ，点 是直线 上一动点，当 的最大值是
时，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
例3（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，已知点 ， ，点 为 轴上一点当 最大
值时，点 的坐标为( )A． B． C． D．
例4（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在 中， ，在 上方作射线
，且 ，若 为 上的一个动点，则 的最大值为 ．
模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动）
例1（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，已知 ， 是 内部的一点，且 ，点
分别是 上的动点，若 周长的最小值等于 ，则 （ ）
A． B． C． D．
例2（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）如图， ，点 是 内的定点且 ，若
点 、 分别是射线 、 上异于点 的动点，则 周长的最小值是（ ）A． B． C． D．
例3（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图， ，点 、 分别在射线 、 上，
， 的面积为14， 是直线 上的动点，点 关于 对称的点为 ，点 关于 对称的点
为 ，当点 在直线 上运动时， 的面积最小值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．18
例4（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）问题背景：如图①，点 ， 在直线 同侧，在直线上找一点 ，
使 的值最小．
作法如下：作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，与直线 的交点就是所求的点 ，线段 的长度即
为 的最小值．
(1)实践应用：如图②，在等边三角形 中，若 是 的中点， 为高 上一点， ，连接 ，
求 的最小值．(2)拓展延伸 ：如图②，在等边三角形 中，若 为高 上一点，高 ，求 的最小值．(3)拓展延伸 ：如图③， ， 是四边形 内一定点， ， 分别是
， 上的动点，当 周长的最小值为 时，求 的长．
模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动）
例1（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且 ，
， 与 关于y轴对称， ，P、Q分别是 上的动点，则 的
最小值是 ．
例2（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， ， ， 分别为 ， 上的点，
， ， 分别为 ， 上的动点，则 的最小值为 ．
例3（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在 中， ，D是 边上一点，连接
，M，N是线段 上两点， ， ，P，Q分别是 边上的动点，连接
，则 的最小值为 ．1．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，等腰三角形 的底边 长为2，面积是8，腰 的垂直平分
线 分别交 、 边于E，F点．若点D为 边的中点，点M为线段EF上一动点，则 周长的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（2025·安徽马鞍山·三模）在 中， ， ， ，点 为 上一点， 为
内部一点，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
3．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在 中， ， ， 于点D，P是
上的一个动点， 于点E，连接 ．若 ，则 的最小值是（ ）．
A．5 B．6 C．8 D．9
4．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在 中， ， ， ， ，点D、E分
别是边 、 上的动点，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
5．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在 中， ， ， 的面积为 ，
平分 ，点 ， 分别为 ， 上动点，连结 ， ，则 的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在 中， ， ，点 在 上，且
，过点 作 的垂线交 于点 ，点 为线段 上一个动点，若 ，则 的周
长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系 中， ，点 在直线
上．有以下结论：
①当点 的坐标为 时， 取得最小值；②当点 的坐标为 时， 取得最大值；
③当点 的坐标为 时， 取得最大值；④当点 的坐标为 时， 取得最小
值．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
8．（24-25八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点 ，则
的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．6
9．（2025八年级上·山东·专题练习）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 ， 的坐标分别为
， 是 轴上方的一个动点．若 的面积等于 面积的 ，则当 的值最小时，
点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10.（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在 中，∠ ， ，点C在直线
上， ，点P为 上一动点，连接 ， ．当 的值最小时， 的度数为 ．
11．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图， ， 为 内一定点， 上有一点 ，上有一点 ，当 的周长取最小值时， 的度数是 ．
12．（2024·江苏泰州·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交
AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______.
13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在 中， ，在 上方作射线
，且 ，若 为 上的一个动点，则 的最大值为 ．
14．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，已知 的三个顶点坐标分别是 ， ，
．(1)画出 关于 轴对称的 ；(2)画出 关于直线 对称的 ，并求四边形
的面积；(3) 为 轴上一动点， 的最小值为_________．
15．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图1，在 中， ．(1)求 的
面积．(2)如图2，点 、 、 分别为边 、 、 上（均不与端点重合）的动点，求 周长的
最小值．
16．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，已知点 ， ，点M在
坐标轴上．(1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______；
(2)若点M在y轴上，求 的最小值；(3)若点M在x轴，当 最大时，求点M的坐标．17．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知 轴上两点 ，
的距离记作 ，若 、 是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求 间
的距离，
如图，过 、 分别向 轴、 轴作垂线 、 和 、 ，垂足分别是 、 、 、 ，直
线 交 于点 ，在 中， ， ，
，
平面直角坐标系内任意两点 ， 间的距离公式为：
(1)直接应用平面内两点间距离公式计算点 ， 之间的距离为___________；
(2)在平面直角坐标系中的两点 ， ， 为 轴上任一点，则 的最小值和此时 点的坐标；(3)在平面直角坐标系中有一点 ．① 可以表示 到点
和点___________的距离和；②请结合平面直角坐标系，应用两点间的距离公式求代数式
的最小值．
18．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【问题起源】如图1，在一条笔直的道路 上建一个燃气站 ，
并向路同侧的两个城镇 铺设燃气管道，如何确定燃气站 的位置使得铺设管道的路径最短．
【解决方案】如图2，作点 关于直线 的对称点 ，连接 与直线 交于点 ，则点 就是燃气站 的
位置．
【实际运用】（1）如图3，在实际铺设中，在两个城镇之间有一片水源地（水源地的右下角顶点为点
），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案，最短的铺设路径方案是：_____；（填方
案序号）方案3：作点 关 方案4：作点 关于
方案1：过点 作 方案2：连接 并
于 的对称点 ，连 的对称点 ，连接
于点 ，连接 延长交 于点 ，连
接 交 于点 交 于点 ，连
，则铺设 接 ，则铺设管
，连接 ， 接 ，则铺
管道路径是 道路径是
则铺设管道路径是 设管道路径是
． ．
． ．
【数学思考】（2）如图4，在 中， ， ， ，点 ， 在 ， 边上运动，
且 ．如何确定点 的位置，使得 的值最小；
①解决方案：如图5，过点 做射线 ，在射线 上截取 ．请完成后续作图；
②请解释上述作图的理由；（3）如图6，在锐角 中， ，点 与点 的距离为 ，点
与点 的距离为 ，点 到 的距离为 ．点 ， ， 分别在边 ， ， 上（均不与点
重合），请直接写出 周长的最小值．
19.（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图1，已知直线 的同侧有两个点A、B，在直线 上找一点 ，
使 点到A、B两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线 的对称
点，对称点与另一点的连线与直线 的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题(1)如图2，画出格点 （顶点均在格点上）关于直线 对称的 ，并在 上画出点 ，使
最小；(2)如图3，在锐角三角形 中， ， ， 的角平分线交 于点
分别是 和 上的动点，则 的最小值为___________．(3)如图4， ，
， ，点 ， 分别是射线 ， 上的动点，则 的最小值为___________．
