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培优 02 勾股定理逆定理及应用（4 大题型）
题型1 勾股数
勾股数问题解题策略
策略：
验证等式 ，且 a,b,c为正整数；
利用公式 生成。
关键：检查是否互素或含公约数，排除非本原解（如6,8,10需约分）．
1．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）下列各组数中是勾股数的一组是（ ）
A．2，5，6 B．3，4，5 C．0.6，0.8，1 D． ， ，
2．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下列各数中，能与6，10构成一组勾股数的是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A． B．3，4，6 C． D．9，12，154．（24-25七年级下·河北张家口·期末）下列各组数中，是一组勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B． C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13
5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并
将它们记录在如表格中．则当 时， 的值为（ ）
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
A．722 B．800 C．882 D．968
6．（24-25七年级下·河南郑州·期末）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经
隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为
“弦”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与
股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若
此类勾股数的勾为10，则其弦是（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
题型2 判断三边能否构成直角三角形
勾股定理逆定理的解题策略
排序三边，仅需验证 最大边平方 是否等于两小边平方和。
特例：若含无理数，直接计算 与 是否严格相等。．
7．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．5，7，9 C．4，6，8 D．3，5，7
8．（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知 的三条边长分别为 ， ， ，且满足 ，
则 一定是（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
9．（2025八年级上·全国·专题练习）已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．底与腰不相等的等腰三角形
10．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图，在 中， 平分 ，交 于点D， ，
， ，则点D到 的距离为 ．
11．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方
法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长 ， ， 都是正整数，则 ， ， 为一组
“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数．
11，60， 15，112， 19，180，
3，4，5 7，24，25
61 113 181
12，35，
4，3，5 8，15，17 16，63，65 20，21，29
37
5，12， 13，84， 17，144，
9，12，15 21，28，35
13 85 145
10，___， 14，48， 22，120，
6，8，10 18，80，82
26 50 122
(1)请补全上表中的勾股数．
(2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示 ， ， ，使该组代数式能表示上
表中所有的勾股数，并证明．
(3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花
要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为 ．如
果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？
12．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在等腰 中， ，点 是 上一点，．
(1)试说明： ；
(2)求 的长．
13．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图， 中， 是 上的一点， ， ，
， ．
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)求线段 的长．
14．（24-25八年级上·广东河源·阶段练习）如图，在 中， ， ， 的垂直平分线
交 于点 ，交 于点E，交 的延长线于点F，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)求 的长．
15．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在四边形 中， ， ，
， ，连接 ．(1)求 的长；
(2)求证： °．
16．（24-25八年级下·浙江台州·期末）第十四届国际数学教育大会（ ）于 年在上海举办，
其大会标识（如图 ）的中心图案是赵爽弦图（如图 ），该图由四个全等的直角三角形（ ， ，
， ）和中间一个小正方形 组成．连接 ， ，若 ， ．
(1)求线段 的长度；
(2)判断 是否为直角三角形，并说明理由．
17．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在 中， 边的垂直平分线 分别交 、 边于
点 和点 ，且 ．
(1)连接 ，求证： ；
(2)若 ，求 的长．题型3 利用勾股定理逆定理求解
解题策略
构造以已知量为边的直角三角形模型，逆用 反推直角位置。
示例：求角度时，若三边满足勾股等式，则最大边对角为直角．
18．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，四边形 中， ， ， ， ，
．则 （ ）
A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小
19．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在 中， ， ， ，借助尺规在
上确定一点P，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
20．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形 中，
为四边形 的对角广线，且 ，则四边形 的面积
为 ．
21．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在 中， ， ， 边上的中线 ，延长 至点 ，使 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)求 的长．
22．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，在 中， ，点D在边 上， ，
．
(1)猜想 的度数，并说明理由；
(2)若 ，求 的面积．
23．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在 中， 是 的中点， ，交 于点 ，
且 ， ， ．求证： ．
24．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
．
(1)连接 ，求 的长；(2)求四边形 的面积．
25．（24-25八年级下·河南开封·期中）如图，四边形 中， ，
，求四边形 的面积．
26．（24-25八年级下·全国·期末）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基
地种植蔬菜；如图，点 是自来水管的位置，点A和点 分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，
A、 两处相距6米， 两处相距8米， 两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班
和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案：
八（1）班方案：沿线段 铺设2段水管；
八（2）班方案：过点 作 于点 ，沿线段 铺设3段水管；
(1)求证： ；
(2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？
27．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在 中， 于点D．
(1)已知 ， ， ，求证： ；
(2)已知 ．
①若 ， ，求 的长；
②若设 ， ， ，则m，n，k的数量关系为__________．
28．（23-24八年级下·福建厦门·期中）将一些“勾股数”整理并填入下表，观察表格并回答问题：2
3 8 15 35 48 …
4
1
4 6 8 12 14 …
0
2
5 10 17 37 50 …
6
(1)当 时，直接写出 的值；
(2)是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理
由；
(3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的
另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．
题型4 网格中构造直角三角形
网格图中构造直角三角形的解题策略
连格点求边长，验证 ；
或 作垂线，可利用面积法解题；
技巧：优先选水平/竖直边，斜边用勾股定理计算．
29．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在 网格中，点 ， ， 都是网格线的交点，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
30．（2024·北京·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则
（填“＞”“＝”或“＜”）．31．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格
点．
(1)求 的面积；
(2)猜想 的形状，并说明理由．
32．（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，在边长均为1的 正方形网格中，A、B、C、
D均在格点上．
(1)求 的度数；
(2)求四边形 的面积．
33．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，这是 的正方形方格，请仅用无刻度的直尺按要求完
成以下作图（保留作图痕迹）．(1)在图1中找格点 ，使得 ．
(2)如图2，在线段 上找一点 ，使得 ．
34．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）已知在7×7的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方
形网格中用无刻度的直尺按要求作图：
(1)如图1， 与 交于点 M；
①找格点 E，使 ；
②直接写出 的度数 ．
(2)如图2，点A、B、C均在格点上，依照（1）中方法在 上作点 M，使 ．
35．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为
1，小正方形的顶点称为格点，点A、B均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图．
(1) 的长为________；
(2)在图①中，以 为腰作一个等腰直角三角形 ，使 ；
(3)在图②中，以 为边作一个正方形 ．
培优综合练
36．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港
口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点
A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西 方向航行，那么慢船沿（ ）方向
航行．A．南偏西 B．北偏西 C．南偏西 D．北偏西
37．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，P为边
上一动点， 于E， 于F，求 的最小值为（ ）
A．5 B．4.8 C．2.4 D．4
38．（24-25八年级下·山东德州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩
上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形
如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成
的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2026 B．2025 C． D．
39．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图， 是正 内一点， ， ， ，将
线段BO以点 为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ，下列结论，① 可以由 绕点 逆时
针旋转 得到；②点 与 的距离为5；③ ；④四边形 面积 ；⑤
，其中正确的结论是（ ）A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤
40．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图， 中， ， ，点P在 内，且
， ， ，则 的面积为 ．
41．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）在学习了勾股定理后，数学兴趣小组在江老师的引导下，利用
正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动：
(1) 三边的长分别 、 、 ，求 的面积．小明同学的做法是：由勾股定理得
， ， ，于是画出线段 、 、 ，从而画
出 ，如图1所示．这样不需求 的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．
则 的面积为 ；
(2)若 三边的长分别为 ， ， ，
① 直角三角形（填“是”或“不是”），理由是 ，
②请用构图法在图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的 ，并求出它的面积；
(3)若 三边的长分别为 、 、 （ ， ．且 ），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出 ，它的面积为 （结果
用m，n表示）．
(4)在图4中运用构图法画出能说明 与 大小的图形，得出结论 （填“>”或
“<”），理由是 ．
42．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，点D是 内一点，连接 ， ， ．
(1)如图1，当 时，若 ， ， ，求 的度数；
(2)如图2，以 为斜边向上作等腰 ，连接 ，若 ， ，求证：
且 ；
(3)如图3，在第（2）问的结论下，点P为 垂直平分线上一点，连接 ， ，将 绕点C顺时针旋
转 至 ，连接 ， ， ，若射线 交直线 于点Q，当 取得最小值时，直接写出
的值．
43．（2025·河北廊坊·一模）观察下列等式：
第1个等式
第2个等式
第 3个等式第 4个等式
…… ……
（1）补充上述表格．
发现：
（2）请用含n(n为正整数，且n>1)的等式表示上述规律： ；
应用：
（3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数(例如：3，4，5)．现有一个直角
边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积．
44．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数 ，
称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，
这组数的整数倍，如 等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如
等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数 才能满足关系式 ．设
为一组勾股数，观察下表回答问题：
表1 表2
a b c a b c
3 4 5 6 8 10
5 12 13 8 15 17
7 24 25 10 24 26
9 40 41 12 35 37
(1)根据表1的规律写出勾股数（11，________，________）；
观察可得：表1中b、c与 之间的关系是________；（填勾股定理不得分）
(2)根据表2的规律写出勾股数（16，________，________）；
观察可得：表2中b、c与 之间的关系是________；（填勾股定理不得分）(3)老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗？
（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如 ）
45．（2024八年级上·全国·专题练习）定义：如图，点 、 把线段 分割成 、 、 ，若以
、 、 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 、 是线段 的勾股分割点．
(1)已知 、 把线段 分割成 、 、 ，若 ， ， ，则点 、 是线
段 的勾股分割点吗？请说明理由．
(2)已知点 、 是线段 的勾股分割点，且 为直角边，若 ， ，求 的长．
46．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）定义： 为正整数，若 ，则称 为“完美勾股数”，
为 的“伴侣勾股数”．如 ，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)判断填空：数 __________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知 的三边 满足 ．求证： 是“完美勾股数”．
47．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）学习勾股定理后知道：直角三角形的三边长是正整数时称之为
“勾股数”．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，
25，…，他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成．
(1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9，40，41，这是一组勾股数吗？并说明理由；
(2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明猜想这样的勾股数可以为 ， ，
（n为正整数），请帮小明证明他的猜想的正确性．
