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专题 4.6 构造函数解决抽象不等式及
比较大小
题型一 构造函数 型可导函数
题型二 构造函数 型可导函数
题型三 构造函数 型可导函数
题型四 导函数带常数型
题型五 比较大小
题型一 构造函数 型可导函数
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当
时， ， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意构造函数 ，通过导数研究函数 的单调性和奇偶性，
将不等式等价转化为 ，分情况讨论并求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
构造函数 ，当 时， ，
所以函数 在区间 内单调递增，且 ，
又 是定义在R上的偶函数，所以 是定义在R上的偶函数，
所以 在区间 内单调递减，且 ．
不等式 整理可得： ，
即 ，当 时， ，则 ，解得 ；当
时， ，则 ，
解得 ，又 ，所以 ．
综上，不等式 的解集为 ．故选：A．
例2．（2023春·宁夏·高三六盘山高级中学校考开学考试）已知函数
，又当 时， ，则关于x的不等式
的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设 ，并判断出 为偶函数，利用导数求出其单调性，将所
求的式子转化为 ，从而得到 ，解出 的范围.
【详解】由 ，
，
设
所以 ，即 为 上的偶函数
当 时， ，
因为 ，所以
则 在区间 上单调递增
所以
即
即
等价于 ，
即
解得 ．
故选：A.练习1．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数 是定义在 上的可导函
数，其导函数为 ，若对任意 有 ， ，且 ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造 ，确定函数 在 上单调递增，计算 ， ，
转化得到 ，根据单调性得到答案.
【详解】设 ，则 恒成立，故函数 在 上单调递增.
，则 ，即 ，故 .
，即 ，即 ，故 ，解得 .
故选：B.
练习2．（2023·高二单元测试）设函数 ， 在 上的导函数存在，且
，则当 时（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对于AB，利用特殊函数法，举反练习即可排除；对于CD，构造函数
，利用导数与函数单调性的关系证得 在 上单调递减，从而得以
判断.
【详解】对于AB，不妨设 ， ，则 ， ，满足题意，
若 ，则 ，故A错误，
若 ，则 ，故B错误；
对于CD，因为 ， 在 上的导函数存在，且 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
因为 ，即 ，所以 ，由 得 ，则 ，故C正确；
由 得 ，则 ，故D错误.
故选：C.
练习3．（2023·全国·高三专题练习）已知 为函数 的导函数，且
，则不等式 的解 集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 ，得到函数 的单调性，再转化为解不等式
即得解.
【详解】令 ，所以 ，
所以 为 上的增函数，由 ，所以 ，
则不等式等价于 ，则不等式的解为 。
故 选 ：C.
练习4．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）已知函数 的定义域为R，其导函数为 ，
若 ，且当 时， ，则
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令 ，由已知可推得 为偶函数， 在 上单调递增，
在 上单调递减.不等式变形可得， .根据二
倍角的余弦公式，可得出 .然后根据 的奇偶性和单调性，可推得
，平方求解不等式，即可得出答案.
【详解】由已知可推得， .令 ，则 ，
所以 ，
所以， 为偶函数.
又 ，
因为当 时， ，
所以， ，所以 在 上单调递增.
又 为偶函数，所以 在 上单调递减.
由 可得，
.
因为 ，
所以， .
因为 在 上单调递减， 为偶函数，
所以有 ，
平方整理可得， ，
解得 .
故选：C.
【点睛】关键点睛：构造函数 ，根据已知得出函数的奇偶性以及单调性.
练习5．（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）若 为定义在 上的连
续不断的函数，满足 ，且当 时， ．若
，则 的取值范围___________．
【答案】
【分析】由已知当 时， ，可构造函数 ，可得为奇函数，又 ，得 在 上是减函数，从而在 上是
减函数，再根据函数的奇偶性和单调性即可求解．
【详解】 ， ，
设 ，则 ，
则 ， 为奇函数，
又当 时， ， 在 上是减函数，
从而在 上是减函数，
又 ,等价于 ，
即 ， ，解得 ,
故 的取值范围为 ，
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要根据当 时， 的结构特征，
发现规律，即构造函数 ，继而证明该函数为奇函数，再结合单
调性解决问题.
题型二 构造函数 型可导函数
例3．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数 是定义
在 上的偶函数，其导函数为 ，且当 时， ，则不等式
的解集为______．
【答案】 或
【分析】构造函数 ，根据题意可判断， 是偶函数，在 上是增函
数，在 减函数，把原不等式转化为解不等式 ，进而
，解之即得答案.
【详解】令 ，
则 ，由当 时， ，
所以当 时，
即 在 上是增函数，
由题意 是定义在 上的偶函数，
所以 ，
所以 ，
所以 是偶函数，在 递减，
所以 ，
，
即不等式等价为 ，
所以 ，所以 或 .
故答案为： 或 .
例4．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 的导函数为 ，且
若 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性，进而确定正确答案.
【详解】设 ，
则 ，
因为 恒成立，
所以 ，
所以 在 单调递增，
则 ， ， ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 ，即 ，
所以 ，
即 ．
故选：B
练习6．（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考期中）已知 是偶函数 的
导函数， ．若 时， ，则使得不等式
成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设 ，求导得 ，进而可得 时， 单调递
增，由于 为偶函数，推出 为奇函数，进而可得 在 上单调递增，由
于 ，则 ，由于 ，则 ，推出
，即可得出答案．
【详解】设 ， ，
由题意得 时， ， 单调递增，
因为 为偶函数，所以 ，
所以 ，
所以 为奇函数，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故选：C．
练习7．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）设定义在 上的可导函数 的
导函数为 ，且 ，若 ，则不等式 的解集为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 ，利用导数说明函数的单调性，不等式 等价于
，即 ，结合单调性即可得解.
【详解】因为 ，所以
令 ，则 ，
即 在定义域 上单调递减，
又 ，所以 ，
因为 ，所以不等式 等价于 ，即 ，
所以 ，即不等式 的解集为 .
故选：D
练习8．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知 是定义在
上的奇函数， 是 的导函数，当 时， ，若
，则不等式 的解集是________．
【答案】
【分析】构造新函数 ，利用条件求得 的单调性，再根据奇偶性即可解
得不等式解集.
【详解】解：构造函数 ，其中 为奇函数且 ，
则 ，
所以，函数 为奇函数，且 ， ，
当 时， ，
所以，函数 在 上是单调递增函数，
因为函数 为奇函数，故函数 在 上是严格增函数，
故 ，
当 时， ，可得 ；
当 时， ，可得 ．综上所述，不等式 的解集为 ．
故答案为：
练习9．（2023春·天津南开·高二天津二十五中校考阶段练习）设 ， 分别是定义
在 上的奇函数和偶函数，且 ，当 时， 且
则不等式 的解集是________.
【答案】
【分析】构造函数，根据已知，利用函数的奇偶性、导数进行求解.
【详解】设 ，则 ，
因为当 时， ，所以当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，
又 ， 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，
所以 ，即 是 上的奇函数，
故函数 在 上单调递增， ，
又 ，所以 ，所以 ，
不等式 等价于 ，解得 或 ，
不等式 的解集是解集为 .
故答案为： .
练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，
满足 ， ， ，当 时， ，则不
等式 的解集为______．
【答案】
【分析】令 ，由 及 可得， ，从而得
关于 对称，再令 ，则原不等式 等价于 ，
利用导数得 在 上单调递增，再由 得 关于 对称，从
而得 在 上单调递增且有 ， 从而得答案.
【详解】解：令 ，因为 ，
所以 ，所以 （ 为常数），又因为 ，所以 ，所以 ＝0，
即 ，则函数 关于 对称，
令 ，则原不等式 等价于 ，
当 时，因为 ，
则 ，
此时 单调递增．
因为 ，所以函数
关于 对称，
则函数 在 时单调递增，
又因为 ，则 ， ，
所以 的解集为 ，
即原不等式的解集为 ．
故答案为： ．
题型三 构造函数 型可导函数
例5．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为
，若 ，且 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】依题意令 ，求导分析单调性，不等式 ，可转化为
，即 ，即可得出答案．
【详解】解：依题意令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
对于不等式 ，显然 ，则 ，即 ，又 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
解得 ，即关于 的不等式 的解集为 .
故选：B．
例6．（2023·全国·高二专题练习）设函数 是定义在 上的可导函数，且
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，根据 得到 的单调性，再变形不
等式由单调性求解即可.
【详解】由题知，函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有
，即 ，
设 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ，
故选：B
练习11．（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）定义在 上的函数 的导函数
为 ，若 ，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】设 ，由已知得出 在 上单调递减，结合 进一步计
算得到结果.
【详解】设 ，则 ，因为 ，所以 在
上单调递减.
因为 ，所以 ，所以当 时， ，当 时， ，故
不等式 的解集为 .
故选：B.
练习12．（2023·安徽黄山·统考三模）已知定义域为 的函数 ，其导函数为 ，
且满足 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，由 得 ，进而判断函数 的单
调性，判断各选项不等式.
【详解】 ，则 ，
因为 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，
所以 ， ，故A不正确；
所以 ，即 ，即 ，故B不正确；
，即 ，即 ，故C正确；
，即 ，即 ，故D不正确；故选：C.
练习13．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）定义在 上的函数 的导函
数都存在，且 ，则必有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】通过分析不等式，构造新函数求导后得出单调性，即可得出结论
【详解】由题意， ，
由 ，得 ．
设函数 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，从而 ．
即 ，即 ．
故选：A.
【点睛】本题考查导数的应用与不等式的综合，考查数学抽象、数学运算、逻辑推理的核
心素养．
练习14．（2023春·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）已知定义在 上的函数
满足 ，且 ，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由导数公式得出 ，从而得出函数 的单调性，将不
等式 可化为 ，利用单调性解不等式即可.
【详解】因为 ，所以函数 在区间 上单调递减，
不等式 可化为 ，即 ，解得 .
故选：A练习15．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数 、 是定义域为 的可导函数，
且 ，都有 ， ，若 、 满足 ，则当
时下列选项一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，求出新函数导数，根据题意可知新函数为单调递减函数，
由此可知 ，即可判断出A、B选项；构造 和 可判断
出C、D选项.
【详解】由题意： ，
设 ，则 ，
由 得 ，
因为 ，所以 ，
又 、 是定义域为 的恒大于0的可导函数，
故 ，B错误， ，A错误；
，
因为 ， 不知道正负，所以C不一定成立；
，
即 ，D正确.
故选：D.
题型四 导函数带常数型
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数 的定义域是 ， ， ，其导函数为 ，对定义域内的任意 ，都有 成立，则不等式
（2） 的解集为______.
【答案】
【分析】根据不等式构造函数 ，利用导数判断函数为增函数，将不等式
化为 （2），利用单调性即可求解.
【详解】当 时，由 ，
得 ，即 ．
令 ，则 在 ， ， 上也为偶函数，
且当 时， 总成立， 在 上是增函数．
不等式 （2） 可化为 （2），
则 ，又 ， ， ，解得 ， ， ．
故答案为：
【点睛】本题考查了构造函数，判断函数的单调性，利用单调性解不等式，属于中档题.
例8．（2022秋·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考期中）已知定义域为 的偶函数 ，其
导函数为 ，满足 ,则 的解集为_________．
【答案】
【分析】令 ，对函数求导，根据条件可得 单调递增，且
单调递增，进而利用单调性和奇偶性求解．
【详解】 的解集为 的解集，令 ，
则 ，
因为 ，所以当 时有 ，
所以 ，
即当 时， 单调递增，
又因为 ，所以 ，
所以 的解集为 的解集，
由单调性可知，
又因为 为偶函数，所以解集为练习16．（2022春·安徽滁州·高二校考期末）设 是定义在 上的函数，其导函数为
，若 ， ，则不等式 （其中 为自然对数
的底数）的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】构造函数 ，用导数研究其单调性，再将不等式
转化为 ，即 求解.
【详解】因为 满足 ，，
令 ，
则 ，
所以 在R上是增函数，
又 ，则 ，
不等式 可化为 ，
即 ，
所以 ，
所不等式的解集是 ，
故选：C
练习17．（2023春·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考期中）已知定义在 上的函数
，其导函数为 ，若 ， ，则不等式 的解集
是______．
【答案】
【分析】不等式 转化为 ，令 ，利用导数说
明函数的单调性，结合单调性解函数不等式.
【详解】不等式 转化为 ，
令 ，则 ， 在 上单调递减，， ， 的解集为 ，
即不等式 的解集为 .
故答案为：
练习18．（2023春·辽宁大连·高三瓦房店市高级中学校考开学考试）设函数 是定义在
上的可导函数，且 ， ，若关于 的方程 有
个不等实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将已知等式变形为 ，即 ，令
，可知 ，结合 可得 ，由此得到 解析式，将
问题转化为 与 有两个不同交点的问题，利用导数求得 单调性和最值，采用
数形结合的方式可求得结果.
【详解】 ， 由 得： ，
则 ，
令 ，则 ， ，
又 ， ，则 ；
， 当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
又 ，当 时， 恒成立，
大致图象如下图所示，
则当 时， 与 有两个不同交点，即当 时，方程 有两个不等实数根.
故选：D.
练习19．（2023春·河南郑州·高二河南省实验中学校考期中）设函数 的定义域为 ，
其导函数为 ，且满足 ， ，则不等式
（其中 为自然对数的底数）的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，利用导数判断出 的单调性，由此求得不等式
的解集.
【详解】设 ，
，即 ，
，
在 上单调递减，又 ，
不等式 ，
即 ， ，
原不等式的解集为 .
故选：D
【点睛】有关函数及其导数有关的不等式问题，求解方法是通过构造函数法，利用导数研
究所构造函数的单调性、极值和最值等进行研究，由此对问题进行求解.
练习20．（2023春·湖北黄冈·高二浠水县第一中学校考阶段练习）设定义在 上的函数
的导函数为 ，若 ， ，则不等式
（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 的结构特征构造函数 ，并判断其单调性，
结合 可得 的解集，即可求得答案.
【详解】设 ，则 ,∵ ，∴ ,
而 ,故 ,
∴ 在R上单调递增，
又 ，故 ，
∴ 的解集为 ，
即不等式 的解集为 ，
故选：B
【点睛】方法点睛：像此类给出一个关于导数的不等式的问题，要能根据所给不等式的结
构特征，构造恰当的函数，从而利用其单调性求得答案.
题型五 比较大小
例9．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知 ，则 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，求导可得 在 上单调递增，即可得
，从而得出 大小，构造函数 ，求导可得 在
上单调递增，即可得 ，从而得出 大小，即可得结论.
【详解】解：设 ， ，所以 ，
，所以 单调递增，
则 ，
所以 ，则 ；
， ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，故 ，故 .故选：C.
例10．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知 ， ，
，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】令 ，求得 ，得到函数 的单调性，得到
， ，求得 且 ，再令 ，求得
，得到 的单调性，求得 ，得出 ，再令
，求得 ，得出 单调递增，结合
，求得 .
【详解】令函数 ，可得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
又由 ， ，可得 ， ，
令 ，可得
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
可得 ，所以 ，
再令 ，
可得 ，所以 单调递增，
可得 ，即 ，
可得 ，即 ，
综上可得， .
故选：B.
练习21．（2023春·辽宁·高二凤城市第一中学校联考期中）设 ，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 研究其单调性来比较 ，构造函数 研究其单
调性来比较 即可.
【详解】由 ，
设 ， ，
∴ ，
当 时，
∴ 在 上单调递减，
∴ ，即
所以 ；
由
设 ，则 ，
所以 ，
当 时， ，
所以 ，
所以 在 单调递减，又 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
故选：C.
练习22．（2023·吉林·统考模拟预测）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】令 ，求得 ，得到函数的单调性与最大值，再由当
且 时，设 且 ，求得 ，即
可求解.
【详解】解：由 ，
令函数 ，可得 ，
当 ，可得 ， 单调递增；
当 ，可得 ， 单调递减，
所以当 ，函数 取得极大值，即为最大值 ，
函数 的图形，如图所示，
对于函数 ，当 且 时， .
设 且 ，
则 ，可得 ，所以 ，所以 ,
所以 .故选：A.
练习23．（2023·广西桂林·校考模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由于 都与 有关系，如果 是 的话，对应 分别是 ，
和 ，分别构建 ，结合导数分析运算可得 ，方法一：构建
，结合导数分析运算可得 ；方法二：利用常见不等式
， ，分析可得 .
【详解】先比较 ，
构建 ，则 ，
构建 ，则 ，
构建 ，则 对 恒成立，
∴ 在 上单调递增，则 ，可得 ，
则 ，即 ，
构建 ，则 在 上单调递减，且 ，
故 在 内存在零点 ，
当 时， ；当 时， ；
且 ，可得：当 时， ；当 时， ；
故 在 上单调递增，在 上单调递减，∵ ，则 ，
可得 ，且 ，
故 在 内恒成立，则 在 内恒成立，
∴ 在 上单调递增，则 ，
即 ，则 ，所以 ；
再比较 ，
方法一：构建 ，求导 ，
∵ ，则 ，即 ，
故 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，则 ，
即 ，则 ，所以 ；
方法二（结论法）：我们知道 ， ，
所以 恒成立
令 ，可得 ，所以 ；
综上所述： .
故选：D.
练习24．（2023·全国·校联考二模）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由 ， 构造函数 ，通过求导讨论 的单调性，
再构造函数 ，通过求导讨论 的单调性，得到 ，从而得到
，从而判断出 ；再由 ， ，求出 ，比较 和 的大小，从而判断出 ，即可得到 .
【详解】因为 ， ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以 ，
即 ， ，即
所以 ，所以 ；
由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
综上所述 .
故选：A
练习25．（2023·重庆·校联考模拟预测）设 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】利用构造函数法，结合导数以及基本不等式判断出 的大小关系.
【详解】构造函数 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减， ，
所以 ，即 ，
也即 ，则 ，
，
所以 .
故选：D
