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2020-2021 学年八年级数学下册期末突破易错挑战满分（北师大版）
易错17 三角形中位线易错
【典型例题】
1．（2021·河南驻马店市·）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，
AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
【答案】（1） ； ；（2） 是等腰直角三角形，见解析
【分析】
（1）利用三角形的中位线得出PM＝ CE，PN＝ BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用
三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM＝ CE，PN＝ BD，即可得出
PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN＝ BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM＝ CE，
∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC＋∠ACD＝90°，
∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCA＋∠ADC＝90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；
是等腰直角三角形，理由如下：
由旋转知， ，
，
≌ ，
，
利用三角形的中位线得， ，
，
是等腰三角形，
同 的方法得， ，
，
同 的方法得， ，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形
的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出 ，解
（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE．
【专题训练】
一、选择题
1．（2021·重庆八中八年级月考）如图， ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点
D，点E为AC的中点，连接DE，则 CDE的周长为（ ）
A．11 B．17 C．18 D．16【答案】B
【分析】
根据等腰三角形的性质得到BD=DC，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到
答案．
【详解】
解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴ ，
∵点E为AC的中点，
∴ ，
∴△CDE的周长=CD+CE+DE=17，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边
的一半是解题的关键．
2．（2020·内蒙古呼伦贝尔市·八年级期末）如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于
点O， 点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是
△BCD的中位线，可得OE= BC，所以易求△DOE的周长．
【详解】
解：∵ ABCD的周长为36，
▱∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，
∴OD=OB= BD=6．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE= CD，
∴OE= BC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DE= BD+ （BC+CD）=6+9=15，
即△DOE的周长为15．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、
“平行四边形的对边相等”的性质．
3．（2021·江苏省江阴市第一中学八年级期中）如图，△ABC中，∠B＝90°，过点C作AB的平行线，与
∠BAC的平分线交于点D，若AB＝6，BC＝8．E，F分别是BC，AD的中点，则EF的长为 （ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．4
【答案】C
【分析】
延长EF交AC于点G，根据勾股定理求出AC=10，再根据角平分定义结合平行线的性质得出AC=CD，最
后根据三角形中位线的性质得出结论即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8
∴
∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD
∵AB//CD
∴∠BAD=∠CDA
∴∠CDA=∠CAD
∴DC =AC=10
延长EF交AC于点G，如图，
∴EG是△ADC的中位线，FG是△ABC的中位线，
∴
∴
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理以及三角形中位线性质定理，作出三角形中
位线是解答此题的关键．
4．（2021·重庆江北区·九年级期中）如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=9，点D为BC边上的中
点，将 ACD沿AD对折，使点C落在同一平面内的点 处，连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由折叠的性质可得AD⊥CC'，CN=C'N，由勾股定理可求AD，DN的长，即可求BC'的长．
【详解】
解：如图，连接CC'，
∵将△ACD沿AD对折，使点C落在同一平面内的点C'处，
∴AD⊥CC'，CN=C'N，
∵点D为BC边上的中点，
∴CD= BC=
AD=
∵S = ×AC×CD= ×AD×CN
△ACD
∴CN=
∴DN= ，
∵CN=C'N，CD=DB，
∴C'B=2DN= ，
故选：B．
【点睛】
本题考查翻折变换，勾股定理，三角形中位线定理，利用勾股定理可求DN的长是本题的关键．
5．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级二模）如图，在 ABC中，AB＝10，BC＝16，点D、
E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
根据直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到DF=5，由三角形中位线的性质得到DE=8，最后由线
段的和差解题即可．
【详解】
解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，
∴DF= AB=5，
∵BC= 16，D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE= BC=8，
∴EF=DE-DF=3，
故选：B．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．
6．（2021·江苏苏州市·九年级一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ；将
△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△EDC，此时，点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，
则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）．A．30，2 B．60，2 C．60， D．60，
【答案】C
【分析】
根据含 角直角三角形性质，得 、 ；根据勾股定理，得 ；根据旋转的性质，
得 、 ；再根据等腰三角形性质，得 ；根据三角形内角和性质计算得
、 ，根据三角形中位线性质，得 ，从而得阴影部分的面积
，结合题意，经计算即可得到答案．
【详解】
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°
∴ ，
∴
∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△EDC，
∴ ，
∴
∴
∴ ，
∴ ，即∴
∴
∴
∴
∴阴影部分的面积
∵
∴阴影部分的面积
故选：C．
【点睛】
本题考查了含 角直角三角形、勾股定理、旋转、等腰三角形、三角形内角和、等边三角形、三角形中
位线的知识；解题的关键是熟练掌握含 角直角三角形、勾股定理、旋转、等腰三角形、三角形内角和
的性质，从而完成求解．
二、填空题
7．（2019·辽宁锦州市·九年级二模）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，
EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为________
【答案】
【分析】
连接DE，根据等边三角形的性质可得∠C=60°，根据三角形的中位线的性质得DE∥AC，DE=2，再根据等
边三角形的性质可得∠C=60°，利用直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求得EG和DG即可．
【详解】
解：连接DE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，AC=BC=4，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，CE= BC=2，
∴DE∥AC，DE= AC=2，
∵EF⊥AC，
∴∠EFC=∠DEF=90°，
在Rt△EFC中，∠CEF=90°﹣∠C=30°，CE=2，
∴CF= CE=1，EF= ，
∵G为EF的中点，
∴EG= EF= ，
在Rt△DEG中，由勾股定理得DG= ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、三角形的中位线、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理，
熟练掌握等边三角形的性质和三角形的中位线性质是解答的关键．8．（2021·重庆八中八年级月考）如图， ABC中，DE垂直平分BC，CE平分∠ACB，FG为 ACE的中
位线，连接DF，若∠DFG＝108°，则∠AED＝_____．
【答案】126°
【分析】
设∠EBC=∠ECB=x，利用垂直平分线和外角和中位线的性质表示∠DFG，从而可求得x，由此可求得
∠AED．
【详解】
解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
设∠EBC=∠ECB=x，
∴∠AEC=∠EBC+∠ECB=2x，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ACE=x，
∵FG是△ACE的中位线，
∴FG∥AC，
∴∠EFG=∠ACE=x，
∵D为BC的中点，F为CE的中点，
∴DF∥AB，
∴∠EFD=∠AEF=2x，
∵∠DFG=∠GFE+∠EFD=x+2x=3x，
∴3x=108°，
∴x=36°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=2x+90°-x=90°+x=90°+36°=126°，
故答案为：126°．
【点睛】此题考查三角形的中位线定理，关键是根据线段平分线、角平分线以及三角形中位线定理解答．
9．（2021·山东烟台市·八年级期末）如图，在 中， 平分 ， 于点 ，交BC
于点F，点 是 的中点，若 ， ，则 的长为______．
【答案】1.5
【分析】
根据角平分线的定义和全等三角形的判定和性质定理以及三角形的中位线定理即可得到结论；
【详解】
∵BD平分∠ABC，AF⊥BD，
∴∠ABE=∠FBE，∠AEB=∠FEB=90°，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△FBE(ASA)，
∴BF=AB=7，AE=EF，
∵BC=10，
∴CF=3，
∵点G是AC的中点，
∴AG=CG，
∴EG= CF= ，
故答案为：1.5．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的
关键；
10．（2021·江苏扬州市·九年级一模）如图，在 中， ，若将 平移6个单位长度得到，点 、 分别是 、 的中点，则 的最大值是______．
【答案】8
【分析】
取 的中点M，连接PM，MQ，根据平移的性质和三角形中位线的性质得出PM=6， ，
，然后利用三角形三边关系求解即可．
【详解】
如图，取 的中点M，连接PM，MQ，
根据题意可得：PM=6， ，．
∵点M是 的中点，点Q是 的中点，
∴ ，
∴ ，即 ，∴
∴PQ的最大值为8．
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查平移的性质和三角形三边关系，三角形的中位线的性质，掌握三角形三边关系是解题的关键．
11．（2021·重庆八中八年级月考）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为
线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度
的最大值为_____．
【答案】5
【分析】
连接DN，根据三角形中位线定理得到 ，根据题意得到当点N与点B重合时，DN最大，根据
勾股定理计算，得到答案．
【详解】
解：连接DN，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MND的中位线，∴ ，
∵点M，N分别为线段BC，AB上的动点，
∴当点N与点B重合时，DN最大，此时
∴EF长度的最大值为： ，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是
解题的关键．
12．（2020·黑龙江大庆市·八年级期末）如图，在四边形 中，点 是对角线 的中点，点 、
分别是 、 的中点， ， ，则 的度数是______．
【答案】
【分析】
根据中位线定理推出PE= AD，PF= BC，由此得到PE=PF，推出△PEF是等腰三角形，根据三角形的
内角和定理求出答案．
【详解】
∵点 是对角线 的中点，点 、 分别是 、 的中点，
∴PE= AD，PF= BC，
∵ ，
∴PE=PF，
∴△PEF是等腰三角形，∴∠PFE= ，
∴ = ，
故答案为： ．
【点睛】
此题考查三角形的中位线定义及定理，等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，熟记三角形的中
位线的定义及定理是解题的关键．
三、解答题
13．（2020·湖南益阳市·八年级期末）如图，已知△ABC中，AB=3，AC=5，∠BAE＝∠CAE，BE⊥AE于点
E，BE的延长线交AC于点D，F是BC的中点，求EF的长．
【答案】1
【分析】
由已知得到 后，再根据三角形全等的性质和中位线的性质可以得到解答 ．
【详解】
解：在 和 中
∵
∴ ，
∵
∴
【点睛】
本题考查三角形的综合应用，灵活应用三角形全等的判定和性质以及中位线的性质是解题关键．
14．（2020·黑龙江大庆市·八年级期末）如图，四边形 四条边上的中点分别为 、 、 、 ，顺次连接 、 、 、 ，得到四边形 ．求证：四边形 是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】
连接AC，根据三角形的中位线定理得到 ， ，同理推出 ， ，
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形
【详解】
证明：连接AC．
是DC的中点，H是AD的中点，
，且 ，
同理可知 ，且 ，
，且 ，四边形 是平行四边形．
【点睛】
本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，解题的关键是正确的构造三角形病正确的运用
中位线定理，难度不大．
15．（2021·易门县龙泉中学九年级期末）已知，如图，CD是Rt△FBE的中位线，A是EB延长线上一点，
且AB= BE．
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠E=60°，AD=3cm，求BE的长．
【答案】（1）见解析；（2）3cm
【分析】
（1）由CD是Rt△FBE的中位线与AB= BE，可得CD∥BE，CD=AB，即可证得四边形ABCD是平行四边
形；
（2）由BC是Rt△FBE斜边上的中线，可求得BC=CE，又由∠E=60°，可得△BCE是等边三角形，继而求
得答案．
【详解】
解：（1）证明：∵CD是Rt△FBE的中位线，
∴CD∥BE，CD= BE，
∴AB= BE，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3cm，
∵CD是Rt△FBE的中位线，∴BC=CE= EF，
∵∠E=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=BC=3cm．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角形中位线的
性质．注意利用三角形中位线的性质，证得CD∥AB，CD=AB是解此题的关键．
16．（2021·上海九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝ AB，点
E、F分别为边BC、AC的中点．
（1）求证：DF＝BE；
（2）过点A作AG BC，交DF于点G，求证：AG＝DG．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）过点F作FH∥BC，交AB于点H，则四边形HBEF是平行四边形，有HF＝BE，证得AC是HD的中
垂线后得到HF＝FD，故问题得证；
（2）由于四边形DBEF是等腰梯形，有∠B＝∠D，而AG∥BC有∠B＝∠DAG，故有∠D＝∠DAG，然后
问题可得解．
【详解】
证明：（1）如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H，
∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，
∴AH＝BH＝ AB，EF∥AB．∵AD＝ AB，
∴AD＝AH．
∵CA⊥AB，
∴CA是DH的中垂线．
∴DF＝FH．
∵FH∥BC，EF∥AB，
∴四边形HFEB是平行四边形．
∴FH＝BE．
∴BE＝FD．
（2）由（1）知BE＝FD，
又∵EF∥AD，
∵EF＜BD，
∴四边形DBEF是等腰梯形．
∴∠B＝∠D．
∵AG∥BC，∠B＝∠DAG，
∴∠D＝∠DAG．
∴AG＝DG．
【点睛】
本题主要考查三角形中位线及平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角形中位线及平行四边形的性质与判
定是解题的关键．
17．（2021·山东烟台市·八年级期末）如图， 的对角线 、 交于点 ， ， 分别是
、 的中点．
（1）求证：四边形 是平行四边形；（2）若 ， ， ，求 的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到AO＝OC，BO＝OD，根据三角形中位线的性质得到MO∥AD，NO∥AB，
根据平行四边形的判定可证得结论；
（2）由勾股定理求得AB ，根据三角形中位线的性质得到 进而可得结论．
【详解】
（1）∵四边形 是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD．
∵ ， 分别是 、 的中点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴
∵ 是 的中点， ，∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质，勾股定理，根据三角形中位线的性质得
到 是解决问题的关键．
18．（2020·四川成都市·八年级期末）如图，点E为
▱
ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝
BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：EF⊥EG．
【答案】（1）50°；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC；证明BC是△EFG的中位线，得出BC∥FG，BC＝
FG，证出AD∥FH，AD∥FH，由平行四边形的判定方法即可得出结论；
（3）连接EH，CH，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，
∵∠DCE＝20°，
∵AB∥CD，∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝ FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝ FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD∥FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
（3）连接EH，CH，
∵CE＝CG，FH＝HG，
∴CH＝ EF，CH∥EF，
∵EB＝BF＝ EF，
∴BE＝CH，
∴四边形EBHC是平行四边形，
∴OB＝OC，OE＝OH，
∵OC＝OH，
∴OE＝OB＝OC＝ BC，
∴△BCE是直角三角形，
∴∠FEG＝90°，
∴EF⊥EG．【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟
练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
19．（2020·高平市教育局教学研究室八年级期末）阅读下面材料，完成任务．
三角形中位线定理
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．关于中位线有如下定理：三角形的中位线平行于第三边，
并且等于第三边的一半．如图①，在 中， ， 分别是 ， 的中点．（ 是 的
一条中位线)则有 ， ．
下面是该定理的部分证明过程：如图②延长 至点 ，使 ，连结 ， ……
任务：
（1）请按照上面的思路，写出该证明的剩余部分．
（2）已知：如图③，在 中， ， ， ．
求证： 、 互相平分．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
(1)证明 ，得到 ， ，再证明四边形 是平行四边形，从而可
得结论；
(2)连接 、 ，证明四边形 为平行四边形，即可得到结论．
【详解】证明：(1)在 和 中，
， ， ，
∴
∴ ， ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ,
又∵
∴ ， ，
(2)连接 、 ，
∵ ， ,
∴ ，
同理 ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ 、 互相平分．
【点睛】
本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线的性质，掌握以上知识
是解题的关键．
20．（2020·辽宁抚顺市·九年级期末）如图①，C为线段BD上的一点，BC≠CD，分别以BC，BD为边在
BD的上方作等边△ABC和等边△CDE，连接AE，F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，连接FG，
GH，FH．（1）△FGH的形状是 ；
（2）将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转，其他条件不变，（1）的结论是否成立？结合图②说明理由；
（3）若BC＝ ，CD＝4，将△CDE绕点C旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出△FGH的周
长．
【答案】（1）等边三角形；（2）成立，理由见解析；（3） 或 ．
【分析】
（1）根据题意先判断出四边形ABCE和四边形ACDE都是梯形．得出FG为梯形ABCE的中位线，GH为
梯形ACDE的中位线．从而得出 ， ．即证明 为等边三角
形．
（2）先判断出PF，PG是△ABC和△CDE的中位线，再判断出∠FPG＝∠FCH，进而证明
△FPG≌△FCH，得出结论FG＝FH，∠PFG＝∠CFH，最后证明出∠GFH= ，即证明△FGH为等边三
角形．
（3）①当点E在AE上时，先求出CM，进而求出AM，即可求出AD，再判断出 ，进而求
出BE=AD=2， ，即可判断出 ，再求出BN、EN，进而求出BD，最后即可求
出FH，即可得出结果；②当点D在AE的延长线上时同①的方法即可得出结果．
【详解】
（1）∵ 和 都为等边三角形，且边长不相等．
∴ ， ．∴四边形ABCE和四边形ACDE都是梯形．
又∵F、G、H分别是BC、AE、CD中点，
∴FG为梯形ABCE的中位线，GH为梯形ACDE的中位线．
∴ ， ．
∴ ， ．
∴ 为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
（2）取AC的中点P，连接PF，PG，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，CE＝CD， ∠BAC＝ ∠ACB＝ ∠ECD＝ ∠B＝60°．
又F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，
∴FP＝ AB，FC＝ BC，CH＝ CD，PG＝ CE，PG∥CE，PF∥AB．
∴FP＝FC，PG＝CH，∠GPC＋∠PCE＝180°，∠FPC＝∠BAC＝60°，∠PFC＝∠B＝60°．
∴∠FPG＝∠FPC＋∠GPC＝60°＋∠GPC，∠GPC＝180°－∠PCE．
∴∠FCH＝360°－∠ACB－∠ECD－∠PCE＝360°－60°－60°－（180°－∠GPC）＝60°＋∠GPC．
∴∠FPG＝∠FCH．
∴△FPG≌△FCH（SAS）．
∴FG＝FH，∠PFG＝∠CFH．
∴∠GFH＝∠GFC＋∠CFH＝∠GFC＋∠PFG＝∠PFC＝60°．
∴△FGH为等边三角形．
所以成立．
（3）①当点D在AE上时，如图，
∵ 是等边三角形，∴ ， ．
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
过点C作 于M，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得， ,
在 中，根据勾股定理得， ,
∴ ,
∵ ,
∴ ，
∴ ，
连接BE，
在 和 中，
，
∴ （SAS），
∴BE=AD=2, ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点B作 于N，
∴ ，在 中， ，∴ ，
∴ ,DN=DE-EN=3，
连接BD，
根据勾股定理得： ，
∵点H是CD中点，点F是BC中点，
∴FH是 的中位线，
∴ ，
由（2）可知，△FGH为等边三角形．
∴△FGH的周长 ．
②当点D在AE的延长线上时，如图，
同理可求 ，所以△FGH的周长 ．即满足条件的△FGH的周长位 或 ．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含 角的直角三角形的性质，
三角形的中位线定理．属于几何变换综合题，综合性强，较难．
