专题8.4直线、平面平行的判定及性质2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题8.4 直线、平面平行的判定及性质 1.了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义，掌握公理、判定定理 新课程考试要求 和性质定理； 2. 掌握公理、判定定理和性质定理. 核心素养 本节涉及的数学核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象等. （1）以几何体为载体，考查线线、线面、面面平行证明. （2）利用平行关系及平行的性质进行适当的转化，处理综合问题. （3）空间中的平行关系在高考命题中，主要与平面问题中的平行、简单几何体的结构 考向预测 特征等问题相结合，综合直线和平面，以及简单几何体的内容于一体，经常是以简单 几何体作为载体，以解答题形式呈现是主要命题方式, 通过对图形或几何体的认识， 考查线面平行、面面平行的判定与性质，考查转化思想、空间想象能力、逻辑思维能 力及运算能力. 【知识清单】 知识点1．直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 a α ， b ⊄ α ， a ∥ α ， a β ， 条件 a∩α＝∅ a∥α a ∥ b α ∩ β ＝ b ⊂ ⊂ 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ a∥b 知识点2．面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 α∥β，α∩γ＝ a β，b β，a∩b＝P， 条件 α∩β＝∅ a， α∥β，a β a∥α，b∥α ⊂ ⊂ β∩γ＝b ⊂ 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α 知识点3．线面、面面平行的综合应用 1．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况． 2．直线和平面平行的判定 (1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面； (2)判定定理：a  α，bα，且a∥b a∥α； ⇒(3)其他判定方法：α∥β；aα a∥β. 3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，aβ，α∩β＝l a∥l. ⇒ 4．两个平面平行的判定 ⇒ (1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行； (2)判定定理：aα，bα，a∩b＝M，a∥β，b∥β α∥β； (3)推论：a∩b＝M，a，bα，a′∩b′＝M′，a′，b′β，a∥a′，b∥b′ α∥β. ⇒ 5．两个平面平行的性质定理 ⇒ (1)α∥β，aα a∥β； (2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b a∥b. ⇒ 6．与垂直相关的平行的判定 ⇒ (1)a⊥α，b⊥α a∥b； (2)a⊥α，a⊥β α∥β. ⇒ 【考点分类剖析】 ⇒ 考点一 ：直线与平面平行的判定与性质 【典例1】（2021·江苏省镇江中学高一月考）“直线l与平面无公共点”是“直线l在平面外”的 ________条件（.从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个合适的 填空） 【答案】充分不必要 【解析】 根据线面间得位置关系及充分性和必要性得定义即可得解. 【详解】 解：因为直线l与平面无公共点，则直线l在平面外，所以充分性成立， 又因直线l在平面外，则直线l与平面相交或平行，即直线l与平面有一个公共点或无公共点，所以 必要性不成立， 所以“直线l与平面无公共点”是“直线l在平面外”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. PABCD ABCD 【典例2】（2020·临猗县临晋中学月考（文））如图，已知四棱锥 ，底面四边形 为菱 AB2,BD2 3 M N PA PC 形， ， ． 分别是线段 ． 的中点．MN ABCD （1）求证： ∥平面 ； MN （2）求异面直线 与 所成角的大小． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 （1）解：连接 交 于点 ，∵ 分别是线段 的中点, ∴ ． MN  ABCD ABCD ∵ 平面 ， 平面 ABCD ∴ 平面 ． ABCD （2）解：由（1）知， 就是异面直线 与 所成的角或其补角． ABCD ∵四边形 为菱形， ， ，∴在 △ 中， ， ，∴ ， ∴异面直线 与 所成的角为 ． 【规律方法】 判断或证明线面平行的常用方法： 利用线面平行的定义，一般用反证法； 利用线面平行的判定定理(a⊄α，b α，a∥b a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线 平行，证明时注意用符号语言的叙述；) ⊂ ⇒ 利用面面平行的性质定理(α∥β，a α a∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β， ⊂ a∥ ⇒ α a∥β)． 【变式探究】 ⇒ ABCDABCD E,F AB,AB 1．（2021·河北安平中学高一月考）已知正方体 1 1 1 1的棱长为2，点 分别是棱 1 1的 中点，点P在四边形ABCD内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ） 9 A．截面 的面积是 ACE 2 1 1 B D ACE B．点 1和点 1到平面 1 1 的距离不相等 C．若 PD 1 // 平面 A 1 C 1 E ，则点 P 的轨迹的长度是 2 D．若 PD 1 // 平面 A 1 C 1 B ，则点 P 的轨迹的长度是 2 2 【答案】ACD 【解析】 BC G ACE ACEG ACE BD 取 中点为 ，截面 1 1 为等腰梯形 1 1 ，求其面积即可；平面 1 1 过线段 1 1的中点，即可作出 ACE ACB 判断；过点 P 分别做与平面 1 1 ，平面 1 1 平行的平面，从而明确点 P 的轨迹，得到长度. 【详解】 取 BC 中点为 G ，易得 EG∥A 1 C 1，即截面 A 1 C 1 E 为等腰梯形 A 1 C 1 EG ， AC 2 2,EG 2,AE 5, 又 1 1 13 3 2 ∴截面 的面积是 EG+A 1 C 1 h  2  9 ，故A正确； ACE 2 2 2 1 1 BD AC O O BD 连接 1 1，与 1 1交于 点，则 点为 1 1的中点， ACE BD 而平面 1 1 过线段 1 1的中点， B D ACE ∴点 1和点 1到平面 1 1 的距离相等，故B错误； 取 AD 的中点为 M ，取 DC 的中点为 N ，连接 D 1 M、D 1 N、MN ， 易得平面 D 1 MN  平面 A 1 C 1 E ，即点 P 的轨迹为 MN ，且 MN  2 ，故C正确； 同样易知平面 D 1 AC 平面 A 1 C 1 B ，即点 P 的轨迹为 AC ，且 AC 2 2 ，故D正确； 故选：ACD ABCDE BCD CDE 2 2．（2019·江西高考模拟（文））已知空间几何体 中， 与 均为边长为 的等边三 ABC 13 CDE  BCD ABC  BCD 角形， 为腰长为 的等腰三角形，平面 平面 ，平面 平面 .BCD F A AF CDE （1）试在平面 内作一条直线，使直线上任意一点 与 的连线 均与平面 平行，并给出详 细证明 （2）求点B到平面AEC的距离 4 39 【答案】（1）见解析；（2） 13 【解析】 如图所示:取BC和BD的中点H、G，连接HG，HG为所求直线， HG//CD 证明如下：因为BC和BD的中点H、G，所以 , CDE  BCD EO CDEO  又平面 平面 ，且 平面BCD ABC  BCD AH  BC AH 平面BCD 又平面 平面 . ,得 ， EO//AH AH //平面CDE 所以 ，即 平面AHG//平面CDE F A AF CDE 所以 ，所以直线HG上任意一点 与 的连线 均与平面 平行. EO//AH EO// 由（1）可得 ，即 平面ABC 1 3 d  DH  所以点E到平面ABC的距离和点O到平面ABC的距离相等，记为 2 2 1 S  2 12 2 3 三角形ABC的面积 21 3 39 S   13  而三角形ACE的面积 1 2 2 4 V V 用等体积法 EABC BACE可得： 1 3 1 39 4 39 2 3   hh 3 2 3 4 13 【特别提醒】 解决有关线面平行的基本问题的注意事项：(1)易忽视判定定理与性质定理的条件，如易忽视线面平行的 判定定理中直线在平面外这一条件；(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断；(3)可举反例否定 结论或用反证法判断结论是否正确. 考点二 平面与平面平行的判定与性质 ABCABC 【典例3】（2021·长春市第二十九中学高一期中）如图所示，在三棱柱 1 1 1中，E，F，G，H分 AB,AC 别是AB，AC， 1 1 1 1的中点. （1）求证：GH //平面ABC；EFA// （2）求证：平面 1 平面BCHG. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 （1）首先根据三角形中位线性质得到GH//BC，再利用线面平行的判定证明GH //面ABC即可. （2）首先根据题意易证 EF//BC ， A 1 E//BG ，从而得到 EF// 平面 BCHG ， A 1 E// 平面 BCHG ，再利用面面 AEF// BCHG 平行的判定证明平面 1 平面 即可. 【详解】 ABCABC （1）在三棱柱 1 1 1中， 因为 G ， H 分别是 A 1 B 1， A 1 C 1的中点， 所以GH//BC ， 1 1 BC//BC GH//BC 又因为 1 1，所以 . 因为GH 平面ABC，BC平面ABC， 所以GH //面ABC； （2）因为E，F 分别是AB，AC的中点，所以EF//BC. ABCABC G AB 又因为在三棱柱 1 1 1中， 为 1 1的中点， AG//EB AGEB AEBG 所以 1 ， 1 ，即四边形 1 为平行四边形. AE//BG 所以 1 . 因为EF//BC，EF 平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF//平面BCHG， 因为 A 1 E//BG ， A 1 E 平面 BCHG ， BG 平面 BCHG ，所以 A 1 E// 平面 BCHG ， EF,AE AEF EFAEE 又因为 1 平面 1 ，且 1 ， AEF// BCHG 所以平面 1 平面 . ABCABC 【典例4】（2021·江苏省镇江中学高一月考）如图，在三棱柱 1 1 1中，底面 ABC 是正三角形，AA 1  平面 ABC ，已知 AB2 ，侧棱长为 3 ， D 是 A 1 B 1的中点， E 、 F 、 G 分别是 AC ， BC ， CD 的中 点. BB （1）求 FG 与 1所成角的大小； EFG// ABBA （2）求证：平面 平面 1 1 30 【答案】（1） ； （2）证明见解析. 【解析】 （1）连接 DB ，证得 GF//BD ，把异面直线 FG 与 BB 1所成角转化为直线 DB 与 BB 1所成的角，在直角 DBB 1 中，即可求解； （2）由（1）知 GF//BD ，证得 GF// 平面 ABB 1 A 1，再由 E 是 AC 的中点，得到 EF//AB ，证得 EF // 平面 ABBA EFG// ABBA 1 1，结合面面平行的判定定理，即可证得平面 平面 1 1. 【详解】 DB G,F DC,BC GF//BD （1）连接 ，因为 分别是 的中点，所以 ， BB BB 所以异面直线 FG 与 1所成角即为直线 DB 与 1所成的角，DB 3 tanDBB  1  在直角DBB中，由DB 1,BB  3，可得 1 BB 3 , 1 1 1 1 DBB 30 所以 1 . （2）由（1）知 GF//BD ， BD 平面 ABB 1 A 1 ，GF  平面ABB A，所以 GF// 平面 ABB 1 A 1， 1 1 因为E是AC的中点，所以EF//AB， AB� ABBA EF  ABBA EF // ABBA 因为 平面 1 1，且 平面 1 1，所以 平面 1 1， 又因为EFFGF ，且EF,FG平面EFG， EFG// ABBA 所以平面 平面 1 1. 【规律方法】 判定面面平行的常用方法： (1)面面平行的定义，即判断两个平面没有公共点； (2)面面平行的判定定理； (3)垂直于同一条直线的两平面平行； (4)平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行. 【变式探究】   1. （2020·安徽省太和第一中学高二开学考试）已知直线l，m，平面 ， ，下列命题正确的是（ ） l// l // A． ，l// m// l  m// B． ， ， ， l//m l  m// C． ， ， l// m// l  m lm M // D． ， ， ， ， 【答案】D 【解析】 l// l   由题意得，对于A中， ， 与 可能相交，所以A是错误的； l// m// l  m l//m   // 对于B中， ， ， ， ，如果 ， ， 可能相交，故 是错误的； l//m l  m  l// m// 对于C中， ， ， 与 可能相交，所以C错误的；对于D中， ， ， l  m lm M  ， ， 满足面面平行的判定定理，所以 ，故D正确的， 故选：D. ABCABC BC 2. （2020·赣州市赣县第三中学月考（文））如图，在三棱柱 1 1 1中，E，F，G分别为 1 1， AB 1 1，AB的中点． 1 ACG// 求证：平面 1 1 平面BEF； 2 ACGBC  H 若平面 1 1 ，求证：H为BC的中点． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】1 如图， BC AB EF //AC  E ，F分别为 1 1， 1 1的中点， 1 1，  AC  ACG EF  ACG EF // ACG 1 1 平面 1 1 ， 平面 1 1 ， 平面 1 1 ， AB AF  BG 又F，G分别为 1 1，AB的中点， 1 ， AF //BG AGBF BF //AG 又 1 ，  四边形 1 为平行四边形，则 1 ，  AG ACG BF  ACG BF // ACG 1 平面 1 1 ， 平面 1 1 ， 平面 1 1 ， 又EFBF  F ， ACG//  平面 1 1 平面BEF； 2 ABC// ABC ACG ABC  AC 平面 平面 1 1 1，平面 1 1 平面 1 1 1 1 1， ACG BC  H 平面 1 1 与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交 ， AC //GH GH //AC 则 1 1 ，得 ， G为AB的中点，H 为BC的中点． 【总结提升】 证明两个平面平行的方法有： ①用定义，此类题目常用反证法来完成证明； ②用判定定理或推论(即“线线平行⇒面面平行”)，通过线面平行来完成证明； ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明； ④借助“传递性”来完成． 面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用． 考点三 线面、面面平行的综合应用ABCDEFGH M N P Q 【典例5】（2020·全国高三其他（文））如图，在正方体 中， 、 、 、 分别是 FG GH AD AB 、 、 、 的中点，则下列说法： HP// BMN PQ EG MQ//NP FQ// BMN ① 平面 ；② ；③ ；④ 平面 ， 其中正确的命题序号是________. 【答案】①②③④ 【解析】 分析:①构造平行四边形可证明线线平行，通过线线平行可证线面平行； ②利用线面垂直，证明线线垂直； ③构造平行四边形可证明线线平行； ④构造平面，通过线线平行可证线面平行. 详解: ABCDEFGH M N P Q FG GH AD AB 在正方体 中， 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点， BC R PR HP MB MN BN GR ①如图,设 中点为 ，连接 ， ， ， ， ， ，MG= BR MG//BR 则有 ， MGRB ∴四边形 为平行四边形， PRHG 同理四边形 为平行四边形， BM //GR HP//GR ∴ ， ， BM //HP ∴ PH  BMN BM  BMN 且 平面 ， 平面 ， HP// BMN ∴ 平面 ， 故命题①正确； PQ BD EG FH ②如图，连接 ， ， ， ，EG  BDHF PQ//BD 则有 平面 ， ， 且BD平面BDHF ， EG  BD ∴ ， PQ EG ∴ ， 故命题②正确； PN PQ MQ MN FH BD ③如图，连接 ， ， ， ， ， ， 1 1 MN = FH PQ= BD 则有MN //FH ， 2 ，PQ//BD， 2 ，BD//FH ，BD= FH ， PQ//MN PQMN ∴ ， ， PQMN ∴四边形 是平行四边形， MQ//NP ∴ ， 故命题③正确； EF S AS SN DN BD BN MN BM QF ④如图，设 中点为 连接 ， ， ， ， ， ， ，MN //BD 由③得 ， SF = AQ SF //AQ ∵ ， ， SAQF ∴四边形 为平行四边形， SADN 同理四边形 为平行四边形， SA//FQ SA//DN ∴ ， ， DN //FQ ∴ ， DN  BDNM FQ BDNM 且 平面 ， 平面 ， FQ// BDNM ∴ 平面 ， FQ// BMN 即 平面 ， 故命题④正确. 故答案为：①②③④. ABCDABC D BD 【典例6】（2019·兴仁市凤凰中学期末）如图，在正方体 1 1 1 1中， S 是 1 1的中点， E ， F G BC DC SC ， 分别是 ， ， 的中点.求证：BDDB EG// （1）直线 平面 1 1； BDDB EFG// （2）平面 平面 1 1. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 （1）如图， SB  E,G BC,SC EG//SB 连接 ， 分别是 的中点， .  SB BDDB EG BDDB 又 平面 1 1， 平面 1 1， BDDB EG// 所以直线 平面 1 1. SD  F,G DC,SC FG//SD （2）连接 ， 分别是 的中点， .  SD BDDB FG BDDB FG// BDDB 又 平面 1 1, 平面 1 1， 平面 1 1. EG  EFG FG  EFG EGFG G 又 平面 ， 平面 ， ，BDDB EFG// ∴平面 平面 1 1. 【规律方法】 1.证明线面平行的常用方法与思路 (1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何 体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行． (2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线． 2.判定面面平行的四种方法 (1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)． (2)利用面面平行的判定定理(主要方法)． (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)． (4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)． 3．面面平行的应用 (1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行． (2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行． 4.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，其转化关系为 在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于 “模式化”. 【变式探究】 m n    1.（2021·浙江高一期末）已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，（ ） A．若m//n，n，则m// n m nm // B．若 ， ， ，则   m m C．若 ， ， ，则 m n m// n// // D．若 ， ， ， ，则 【答案】C 【解析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】 对于A中，若m//n，n，则m//或m，所以A不正确； n m nm   对于B中，若 ， ， ，则 与 可能为相交平面，所以B不正确； a b 对于C中，假设 ， ， 在平面内任取一定P，分别作PAa,PBb， , a,b 因为 ，根据面面垂直的性质定理，可得 , m am,bm abP m 又由 ，所以 ，且 ，所以 ，所以C正确. m n m// n// m n // 对于D中，若 ， ， ， ，只有当 与 相交时，才能得到 ，所以D不正确. 故选：C. m n   2.【多选题】（2021·江苏省镇江中学高一月考）设 ， 表示不同直线， ， 表示不同平面，以下推理 不正确的是（ ） A．若m//n，n，则m// B．若m//，n，则m//n m n m// n// // C．若 ， ， ， ，则 // m// m//n n// n D．若 ， ， ，则 或 【答案】ABC 【解析】 对于A,B,C举出反例即可；对于D根据线面平行和面面平行的判定定理和性质定理判断即可. 【详解】 对于A，若m//n，n，则m//或m，故A不正确； 对于B，若m//，n，则m//n或m与n异面，故B不正确； m n m// n// //   对于C，若 ， ， ， ，则 或 与 相交，故C不正确； // m// m// m m// m//n n// n m n// 对于D，若 ， ，则 或 .若 ，又因为 ，则 或 ；若 ，则n 或 .故D正确. 故选:ABC 【易错提醒】 1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误. 2.线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理 为依据，绝不能主观臆断. 3.解题中注意符号语言的规范应用.