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期末考试B卷压轴题模拟训练（二）
一、填空题
19．直线y＝x+m与y＝﹣x+3的交点的横坐标为1，则关于x的不等式x+m＞﹣x+3＞0的整数解为 _____．
【答案】2
【分析】满足不等式x+m＞﹣x+3＞0就是直线y=x+m位于直线y=-x+3的上方且位于x轴的上方的图象，据
此求得自变量的取值范围即可求得整数解．
【详解】解：∵直线y=x+m与y=-x+3的交点的横坐标为1，
∴关于x的不等式x+m＞-x+3的解集为x＞1，
∵y=-x+3=0时，x=3，
∴-x+3＞0的解集是x＜3，
∴x+m＞-x+3＞0的解集是1＜x＜3，
∴整数解为2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，关键是根据不等式x+m＞-x+3＞0
就是直线y=x+m位于直线y=-x+3的上方且位于x轴的上方的图象来分析．
20．如图，在 中， ， ， 的角平分线交 于点 ，过点 作
交 于点 ，点 是 延长线上一点，且 ，连接 交 于点 ，则 _____．【答案】 /96度
【分析】由平行线及角平分线可得 是等腰三角形，即 ，由平行线的性质可得
，根据 可得出 ，由此可得 ，由平行线的性质可得
，再由三角形的外角性质可得出结论、
【详解】解：∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，外角的性质，
角平分线的定义等相关知识，根据条件得出三角形全等是解题关键．21．若关于 的方程 有增根，则 的值为_____．
【答案】
【分析】将原分式方程化为整式方程，根据方程有增根求解出增根的值，再把增根代入化简后的整式方程
中去即可求m的值．
【详解】解：方程两边同时乘以（x+1）（x-1），得：
x（x+1）+m（x-1）=1，
整理得：x2+（m+1）x-1-m=0 ①，
∵分式方程有增根，即（x+1）（x-1）=0，得：
x= -1或1．
当x= -1时，代入方程①中，得m= ；
当x=1时，代入方程①中，m无解．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，关键是求出增根的值，代入到分式方程化简后的整式方程中去求未
知参数的值．
22．定义：如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．因为
， ， ， ……，所以按从小到大的顺序，“智慧数”依次为3，5，
7，8……，按此规律，则第10个“智慧数”是________，第2022个智慧数是________．
【答案】 16 2699
【分析】观察可知，智慧数按从小到大顺序可按3个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍
数，则第n组的第一个数为4n（n≥2，且n为正整数），用2020除以3可知2020是第674组的第1个数，
用4乘以674即可得出答案．
【详解】解：“智慧数”按从小到大顺序构成如下数列：
3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…，∴第10个“智慧数”是16；
观察可知，智慧数按从小到大顺序可按3个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数，
∴第n组的第一个数为4n（n≥2，且n为正整数）．
∵2022÷3＝674，∴第2022个智慧数是第674组中的第3个数，即为4×674+3＝2699．
故答案为：16，2699．【点睛】本题考查规律探索，根据题目中的数据，找出规律是解题的关键．
23．如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，且AD＝4，点E为线段AD的中点，把线段AE绕点A逆时针
旋转，连接BE，点F为线段BE的中点，在旋转过程中CF的最大值为 _____．
【答案】5
【分析】取AB的中点G，连接FG，由三角形中位线的性质得出FG＝ AE＝1，得出点F在以G为圆心，
1为半径的圆上，当CF经过圆心G时，CF最大，由等边三角形的性质得出CG＝AD＝4，进而求出CF的
值，得出答案．
【详解】解：如图，取AB的中点G，连接FG，
∵AD＝4，点E为线段AD的中点，
∴AE＝ AD＝2，
∵点F为线段BE的中点，
∴FG是△ABE的中位线，
∴FG＝ AE＝1，
∴点F在以G为圆心，1为半径的圆上，
∴当CF经过圆心G时，CF最大，
∵△ABC为等边三角形，G是AB的中点，
∴CG⊥AB，∵AD⊥BC，
∴CG＝AD＝4，
∴CF＝FG＋CG＝1＋4＝5，
∴CF的最大值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，掌握三角形中位线的性质，旋转的性质，等边
三角形的性质，圆的定义是解决问题的关键．
二、解答题
24．在哈东开发区建设工程中，有一段6000米的路段由甲、乙两个工程队负责完成，已知甲工程队每天完
成的工作量是乙工程队每天完成的工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项
工程少用30天．
（1）求甲、乙两个工程队每天各完成多少米？
（2）由于施工条件限制，每天只能由一个工程队施工，但是工程指挥部仍然要求工期不能超过50天，求
甲工程队至少施工多少天？
【答案】（1）甲每天完成200米，乙每天完成100米；（2）甲工程队至少施工10天．
【分析】（1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米．根据甲工程队单独完成此项工程比
乙工程队单独完成此项工程少用30天，列方程求解；
（2）设甲工程队至少施工a天，根据工期不能超过50天，列出不等式，再进行求解即可得出答案．
【详解】（1）解：设乙每天完成 米，
根据题意得 ，解得 ，
经检验 为原分式方程的解， （米），
答：甲每天完成200米，乙每天完成100米．
（2）设甲施工 天，
根据题意得 ，解得 ，
答：甲工程队至少施工10天．
【点睛】此题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，理解题意，找出等量关系和不等关系是解
决问题的关键．
25．解答题
已知： 中， ，D是 的中点，延长 到点E，使 ，连结 ， ．(1)如图1，若 是等边三角形， ，则 的长等于______；
(2)如图2，过点B作 的平行线交 的延长线于点F，连接 ．
①求证： 是等边三角形；
②求证： ．
【答案】(1)6
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）由 是等边三角形， ，先证明 ，因为 是 的中点，所以
， ，则 ，根据勾股定理可以求出 的长，再求出 、
的长，再根据勾股定理求出 的长；
（2）①由 得 ， ，再证明 ，得 ，则
，则 是等边三角形；
②证明 ，则 ．
【详解】（1）解：如图1，∵ 是等边三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 中点，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
（2）①证明：∵ ，
∴ ， ，
在 和 中， ，
∴ （AAS），
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
②证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ （SAS），
∴ ．
【点睛】此题考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中
角所对的直角边等于斜边的一半、三角形内角和定理、勾股定理等知识，熟练运用含 的直角三角形
和全等三角形是解决问题的关键．26．在平面直角坐标系中，经过点 且与 平行的直线，交 轴于点 ，如图1所示．
（1）试求 点坐标，并直接写出 的度数；
（2）过 的直线与 成 夹角，试求该直线与 交点的横坐标；
（3）如图2，现有点 在线段 上运动，点 在 轴上， 为线段 的中点．
①试求点 的纵坐标 关于横坐标 的函数关系式；
②直接写出 点的运动轨迹长度为 ．
【答案】（1）B（ ，0），30°；（2） 或 ；（3）①y= +1（1- ≤x≤1）；
②
【分析】（1）由题意得出直线AB的解析式，令y=0即可得到点B坐标，再利用正切的含义求出∠ABO的
度数；
（2）设这样两条直线与直线AB交点为C、D（其中点C在点D上方），作CE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，
证明△CEM≌△MFD，令C（a， a+2），从而得到点D坐标，代入直线AB的解析式，即可得到结果；
（3）①分别过C作CP⊥x轴于P，取PD中点Q，连接NQ，根据C、D坐标得到点N的坐标，从而求出点
N的横纵坐标之间的关系；
②首先得到点N的运动轨迹，再用两点之间距离的求法求解即可．
【详解】解：（1）∵经过点 且与 平行的直线，交x轴于点B，∴直线AB的解析式为：y= +2，
令y=0，解得：x= ，
∴B（ ，0），
∵tan∠ABO= = ，
∴∠ABO=30°；
（2）这样的直线有2条，设它们与直线AB交点为C、D（其中点C在点D上方），
作CE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，
可得：△CMD为等腰直角三角形，
∴CM=DM，又∠ECM=90°-∠OMC=∠DMF，∠CEM=∠DFM=90°，
∴△CEM≌△MFD（AAS），
令C（a， a+2），可得CE=MF= a +2，ME=DF=1-a，
∴D（ a+3,1-a），
将D点坐标代入直线AB解析式得a= ，
∴此时D点横坐标为 ，
综上所述，所求横坐标为 或 ；（3）①将C（m，n）代入直线AB解析式可得n= m+2，
分别过C作CP⊥x轴于P，取PD中点Q，连接NQ，
则NQ∥CP且NQ= CP，
根据C、D坐标可得CP= m+2，OP=m，DO=3m-2，
∴DQ=PQ=2m-1，NQ= m+1，故N（-m+1， m+1），
设x=-m+1，y= m+1，
则m=1-x= ，
整理得：y= +1，
又0≤m≤ ，
∴1- ≤-m+1≤1，
综上，N点横纵坐标满足函数关系式y= +1（1- ≤x≤1）；
②由①可知点N的运动轨迹为一条线段，
在y= +1中，令x=1- ，则y= ，令x=1，则y= ，
则 = ，
∴N点的运动轨迹长度为 ．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，求函数解析式，中位线定
理，三角函数，等腰直角三角形的判定和性质，知识点较多，难度较大，解题的关键是根据题意得到相应
点的坐标，以及根据坐标和图形的性质得到相应线段的长度．
