文档内容
专题一 微重点 3 同构函数问题
(分值：60分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.(2024·南通模拟)若命题“∃a，b∈R，使得a-cos b≤b-cos a”为假命题，则a，b的大小关系为( )
A.ab
C.a≤b D.a≥b
2.(2024·滁州统考)若存在两个正实数x，y使得等式x(1+ln x)=xln y-ay成立(其中ln x，ln y是以e为底的对
数)，则实数a的取值范围为( )
( 1 ] ( 1]
A. 0， B. 0，
e2 e
C. ( -∞， 1 ] D. ( -∞， 1]
e2 e
3.设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aeae B.b>ea
C.ab1-ln x有解，则实数a的取值范围为( )
A. ( - 1 ，+∞ ) B. ( - 1 ，+∞ )
e2 e
C. ( -∞， 1 ) D. ( -∞， 1)
e2 e
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.若f(x)=xex-a(x+ln x)有两个零点，则实数a的取值范围是 .
6.(2024·河南省名师联盟模拟)已知正数a，b满足bea=ln a-ln b，则b的最大值为 .
三、解答题(共30分)
7.(15分)(2024·商洛模拟)已知函数f(x)=xln x-x-ln x+1的导函数为f'(x).
(1)证明：函数f(x)有且只有一个极值点；(6分)
(2)若xf'(x)-f(x)≤-3-mxex恒成立，求实数m的取值范围.(9分)
8.(15分)已知函数f(x)=x(aex-1)，a∈R.
(1)若曲线y=f(x)在x=-1处的切线l与直线x-ay+2=0垂直，求l的方程；(6分)
(2)若g(x)=f(x)+(2-ln x-x)e3+x，求证：当a>1时，g(x)>0.(9分)答案精析
1
1.B 2.C 3.B 4.A 5.(e，+∞) 6.
e
7.(1)证明 由题意知f(x)的定义域为(0，+∞)，
1
且f'(x)=ln x+1-1-
x
1
=ln x- ，
x
1
令φ(x)=ln x- ，
x
1 1 1+x
则φ'(x)= + = >0(x>0)，
x x2 x2
所以φ(x)即f'(x)在(0，+∞)上单调递增，
又f'(1)=-1<0，
1
f'(e)=1- >0，
e
所以f'(x)在(1，e)上有唯一零点x ，
0
当0x 时，f'(x)>0，
0
所以f(x)在(0，x )上单调递减，在(x ，+∞)上单调递增，所以函数f(x)有且只有一个极值点x .
0 0 0
(2)解 xf'(x)-f(x)≤-3-mxex恒成立，
即(xln x-1)-(xln x-x-ln x+1)
≤-3-mxex恒成立，
即ln x+x+1≤-mxex恒成立，
即ln(xex)+1≤-mxex恒成立.
令t=xex>0，则ln t+1≤-mt，
lnt+1
所以-m≥ ，
t
lnt+1
令g(t)= (t>0)，
t
-lnt
则g'(t)= ，
t2
令g'(t)<0，得t>1，
令g'(t)>0，得01时，
g(x)>xex+(2-ln x-x)e3，
故只需证xex+(2-ln x-x)e3≥0，
即证eln x+x≥(ln x+x-2)e3，
即证eln x+x-3≥ln x+x-3+1.
令F(t)=et-(t+1)，
则F'(t)=et-1，
当t>0时，F'(t)>0，F(t)单调递增；
当t<0时，F'(t)<0，F(t)单调递减.
所以F(t) =F(0)=0，即et≥t+1，当且仅当t=0时取等号.
min
易知函数y=ln x+x-3的值域为R，所以eln x+x-3≥ln x+x-3+1，
当且仅当ln x+x-3=0时取等号，
故当a>1时，g(x)>0.
