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微重点 3 同构函数问题
[考情分析] 同构函数问题，是近几年高考的热点问题，考查数学素养和创新思维.同构函数问题是指在不
等式、方程、函数中，通过等价变形形成相同形式，再构造函数，利用函数的性质解决问题，常见的同构
有双变量同构和指对同构，一般都是压轴题，难度较大.
考点一 地位同等同构型
例1 (2024·西安模拟)若e2a-eb>4a2-b2+1，则 ( )
A.4a2>b2 B.4a2 D. <
4 2 4 2
[规律方法] 含有地位相等的两个变量的不等式(方程)，关键在于对不等式(方程)两边变形或先放缩再变形，
使不等式(方程)两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质解决问题.
跟踪演练1 (多选)若2a+log a=4b+2log b，则 ( )
2 4
A.a>2b B.a<2b
C.a>b D.a1)，构造函数f(x)=x+ln x.
ea b
(2)商型： ≤ ，一般有三种同构方式：
a lnbea elnb ex
①同左构造形式： ≤ ，构造函数f(x)= ；
a lnb x
ea b x
②同右构造形式： ≤ ，构造函数f(x)= ；
ln ea lnb lnx
③取对构造形式：a-ln a≤ln b-ln(lnb)(b>1)，构造函数f(x)=x-ln x.
(3)和、差型：ea±a>b±ln b，一般有两种同构方式：
①同左构造形式：ea±a>eln b±ln b，构造函数f(x)=ex±x；
②同右构造形式：ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)=x±ln x.
x2+3x+2
跟踪演练2 (2024·抚顺模拟)设函数f(x)= .
ex+1
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当x>e-1时，证明：f(x)0，f(x)在(0，+∞)上单调递增，无极值；
1 1
当a>0时，令f'(x)<0，则x> ，令f'(x)>0，则00，
1
则g'(x)=(x+1)ex- -1，
x
1
令h(x)=(x+1)ex- -1，x>0，
x
1
则h'(x)=(x+2)ex+ >0，
x2
即h(x)在(0，+∞)上单调递增，
(1) 3 1
h = e2-3<0，
2 2
1
h(e)=(e+1)ee- -1>0，
e
(1 )
故∃x ∈ ，e ，
0 2
使得h(x )=0，即x ex 0=1，
0 0
当x∈(0，x )时，h(x)<0即g'(x)<0，g(x)在(0，x )上单调递减，
0 0
当x∈(x ，+∞)时，h(x)>0
0
即g'(x)>0，g(x)在(x ，+∞)上单调递增，
01
故g(x) =g(x )=x ex 0-ln -x -1=0，
min 0 0 ex
0
0
即g(x)≥0，即xex≥ln x+x+1，
则ln x+x+1≤xex.
方法二 (同构)
ln x+x+1=ln x+ln ex+1
=ln(xex)+1，
要证ln x+x+1≤xex，
即证ln(xex)+1≤xex，
令t=xex，t>0，
即证ln t+1≤t，
令φ(t)=ln t+1-t，t>0，
1 1-t
∴φ'(t)= -1= ，
t t
当t∈(0，1)时，φ'(t)>0，
当t∈(1，+∞)时，φ'(t)<0，
∴φ(t)在(0，1)上单调递增，
在(1，+∞)上单调递减，
∴φ(t)≤φ(1)=0，∴ln t+1-t≤0，
即ln t+1≤t，即原不等式成立.
1
例4
e
x2+3x+2
跟踪演练2 (1)解 由函数f(x)= ，
ex+1
x2+x-1
可得f'(x)=- ，
ex+1
令f'(x)=0，
-1-√5 -1+√5
解得x= 或x= .
2 2
( -1-√5)
当x∈ -∞， 时，f'(x)<0；
2
(-1-√5 -1+√5)
当x∈ ， 时，
2 2
f'(x)>0；(-1+√5 )
当x∈ ，+∞ 时，f'(x)<0.
2
( -1-√5) (-1+√5 )
故f(x)在 -∞， 和 ，+∞ 上单调递减，
2 2
(-1-√5 -1+√5)
在 ， 上单调递增.
2 2
x2+3x+2
(2)证明 f(x)=
ex+1
(x+1)(x+2)
= ，
ex+1
当x>e-1时，ln(x+2)>1，
(x+1)(x+2)
要证 .
x+1 ln(x+2)
ex (x-1)ex
设h(x)= ，则h'(x)= ，
x x2
当x>1时，h'(x)>0，
则h(x)在(1，+∞)上单调递增，
ex+1
且h(x+1)= ，
x+1
eln(x+2)
h(ln(x+2))= ，
ln(x+2)
当x>e-1时，x+1>e，ln(x+2)>1，
故只需证明x+1>ln(x+2).
x
令g(x)=x-ln(x+1)，x∈(-1，+∞)，则g'(x)= ，
x+1
当x∈(-1，0)时，g'(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(0，+∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增，故g(x)≥g(0)=0，
则x≥ln(x+1)在(-1，+∞)上成立，
故x+1>ln(x+2)，
即f(x)
