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微重点 2 导数中函数的构造问题
[考情分析] 导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不
等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
考点一 导数型构造函数
考向1 利用f(x)与x构造
例1 (2024·绵阳模拟)已知函数f(x)满足f(x)=f(-x)，且当 x∈(-∞，0]时，f(x)+xf'(x)>0成立，若
( 1) ( 1)
a=30.2f(30.2)，b=(ln 2)f(ln 2)，c= log f log ，则 a，b，c的大小关系是( )
39 39
A.a>b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.a>c>b
答案 A
解析 令g(x)=xf(x)，x∈R，
因为f(x)=f(-x)，所以g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x)，
所以g(x)为奇函数，
又因为当x∈(-∞，0]时，f(x)+xf'(x)>0，
所以当x∈(-∞，0]时，g'(x)=f(x)+xf'(x)>0，
所以g(x)在(-∞，0]上单调递增，
又g(x)为奇函数，
所以g(x)在R上单调递增，
又因为a=30.2f(30.2)=g(30.2)，
b=(ln 2)f(ln 2)=g(ln 2)，
( 1) ( 1) ( 1)
c= log f log =g log =g(-2)，
39 39 39
-2<0<ln 2<ln e=1=30<30.2，
所以g(-2)<g(ln 2)<g(30.2)，即a>b>c.
[规律方法] (1)出现nf(x)+xf'(x)的形式，构造函数F(x)=xnf(x)；
f(x)
(2)出现xf'(x)-nf(x)的形式，构造函数F(x)= .
xn
跟踪演练1 (2024·石家庄二中统考)已知函数f(x)的定义域为(-∞，0)，f(-1)=-1，其导函数f'(x)满足
xf'(x)-2f(x)>0，则不等式f(x+2 025)+(x+2 025)2<0的解集为( )
A.(-2 026，0) B.(-2 026，-2 025)
C.(-∞，-2 026) D.(-∞，-2 025)
答案 Bf(x) xf' (x)-2f(x)
解析 根据题意可令g(x)= (x<0) g'(x)= <0，
x2 x3
⇒
f(x)
所以g(x)= 在(-∞，0)上单调递减，
x2
f(x+2 025)
则原不等式等价于 <-1，
(x+2 025) 2
f(x+2 025)
由g(x+2 025)= <-1=g(-1) 0>x+2 025>-1，
(x+2 025) 2
⇒
解得-2 026<x<-2 025，故解集为(-2 026，-2 025).
考向2 利用f(x)与ex构造
例2 (2024·菏泽统考)若函数f(x)的定义域为R，满足f(0)=2，∀x∈R，都有f(x)+f'(x)>1，则关于x的不
等式f(x)>e-x+1的解集为( )
A.{x|x>1} B.{x|x>e}
C.{x|x<0} D.{x|x>0}
答案 D
解析 因为f(x)+f'(x)>1，
所以f(x)+f'(x)-1>0，
所以构造函数F(x)=exf(x)-ex，
则F'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1]>0，
所以F(x)在R上单调递增，
因为f(0)=2，所以F(0)=1，
所以不等式f(x)>e-x+1 exf(x)-ex>1 F(x)>F(0)，
因为F(x)在R上单调递⇔增，所以x⇔>0，
所以不等式的解集为{x|x>0}.
[规律方法] (1)出现f'(x)+nf(x)的形式，构造函数F(x)=enxf(x)；
f(x)
(2)出现f'(x)-nf(x)的形式，构造函数F(x)= .
enx
跟踪演练2 已知定义在R上的连续可导函数f(x)及其导函数f'(x)满足f(x)<f'(x)恒成立，且当x>0时，
f(x)>0，则下列式子不一定成立的是( )
A.f(8)>2f(4) B.f(4)>2f(2)
(1)
C.f(2)>2f(1) D.f(1)>2f
2
答案 D
f(x)
解析 设F(x)= ，
exf' (x)ex-f(x)ex f' (x)-f(x)
因为F'(x)= = ，
(ex ) 2 ex
又f(x)<f'(x)，所以F'(x)>0，即F(x)在R上为增函数，
f(8) f(4)
选项A，因为F(8)>F(4)，即 > ，
e8 e4
化简得f(8)>e4f(4)>2f(4)，故A成立；
f(4) f(2)
选项B，因为F(4)>F(2)，即 > ，
e4 e2
化简得f(4)>e2f(2)>2f(2)，故B成立；
f(2) f(1)
选项C，因为F(2)>F(1)，即 > ，
e2 e
化简得f(2)>ef(1)>2f(1)，故C成立；
(1)
选项D，因为F(1)>F ，
2
(1)
f
f(1) 2 1 (1)
即
e
>
1
，化简得f(1)> e2f
2
，
e2
1 (1) (1)
而 e2f
2
<2f
2
，故D不一定成立.
考向3 利用f(x)与sin x，cos x构造
例3 (2024·杭州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)sin x+f'(x)cos x>0，则( )
(π) (π) (π) (π)
A.f <√3f B.f <√3f
3 6 6 3
(π) (π) (π) (π)
C.f >√3f D.f >√3f
3 6 6 3
答案 B
f(x) π
解析 令F(x)= ，x≠ +kπ，k∈Z，
cosx 2
f' (x)cosx+f(x)sinx
故F'(x)= >0恒成立，
cos2x
f(x) ( π π ) (π) (π)
故F(x)= 在 - +kπ， +kπ ，k∈Z上单调递增，故F <F ，
cosx 2 2 6 3
(π) (π) (π) (π)
f f f f
6 3 6 3
即 < <
π π √3 1
cos cos
6 3 ⇒ 2 2(π) (π)
f <√3f .
6 3
⇒
[规律方法] 函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式
(1)F(x)=f(x)sin x，
F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x；
f(x)
(2)F(x)= ，
sinx
f' (x)sinx-f(x)cosx
F'(x)= ；
sin2x
(3)F(x)=f(x)cos x，
F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x；
f(x)
(4)F(x)= ，
cosx
f' (x)cosx+f(x)sinx
F'(x)= .
cos2x
跟踪演练3 (2024·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0，
(π)
π)，有f'(x)sin x-f(x)cos x<0，则关于x的不等式f(x)>2f sin x的解集为( )
6
( π) ( π)
A. 0， B. 0，
3 6
(π ) (π )
C. ，π D. ，π
3 6
答案 B
f(x)
解析 令函数g(x)= ，x∈(0，π)，
sinx
f '(x)sinx-f(x)cosx
则g'(x)= <0，
sin2x
(π)
f
(π) f(x) 6
因此函数g(x)在(0，π)上单调递减，不等式f(x)>2f sin x > ，
6 sinx π
sin
⇔ 6
(π) π
即g(x)>g ，解得0<x< ，
6 6
( π)
所以原不等式的解集为 0， .
6
考点二 构造具体函数比较大小1 ln5 ln6
例4 (1)(2024·昆明模拟)设a= ，b= ，c= ，则( )
6 10 12
A.c<b<a B.c<a<b
C.b<c<a D.b<a<c
答案 A
lnx 1-lnx
解析 设f(x)= ，则f'(x)= ，
2x 2x2
当x∈(0，e)时，f'(x)>0，
当x∈(e，+∞)时，f'(x)<0，
∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，
∵b=f(5)，c=f(6)，∴b>c，
1 ln5 5-3ln5 lne5-ln125
又a-b= - = = >0，
6 10 30 30
得a>b，∴a>b>c.
1
(2)(2024·遵义模拟)设a=tan 0.01，b=ln 1.01，c= ，则下列关系正确的是( )
101
A.a<b<c B.b<a<c
C.a<c<b D.c<b<a
答案 D
解析 b=ln 1.01=ln(1+0.01)，
1 1 0.01
c= = = ，
101 100+1 1+0.01
x ( π)
令f(x)=ln(1+x)- ，x∈ 0， ，
1+x 2
1 1 x
则f'(x)= - = >0，
1+x (1+x) 2 (1+x) 2
( π)
所以函数f(x)在 0， 上单调递增，
2
所以f(0.01)>f(0)=0，
0.01
即ln(1+0.01)> ，所以b>c；
1+0.01
( π)
令g(x)=ln(1+x)-x，x∈ 0， ，
2
1 x
则g'(x)= -1=- <0，
1+x 1+x
( π)
所以g(x)在 0， 上单调递减，
2所以g(0.01)<g(0)=0，即ln(1+0.01)<0.01，
( π)
令h(x)=x-tan x，x∈ 0， ，
2
cos2x+sin2x
则h'(x)=1- =-tan2x<0，
cos2x
( π)
所以函数h(x)在 0， 上单调递减，
2
所以h(0.01)<h(0)=0，即0.01<tan 0.01，
所以ln(1+0.01)<tan 0.01，即b<a，
综上所述，c<b<a.
[规律方法] 构造函数比较大小的常见类型
(1)构造相同的函数，利用单调性，比较函数值的大小；
(2)构造不同的函数，通过比较两个函数的函数值进行比较大小.
跟踪演练4 (1)(2024·德阳模拟)已知a=4ln 3π，b=3π，c=4ln π3，则a，b，c的大小关系是( )
A.c<b<a B.b<c<a
C.b<a<c D.a<b<c
答案 B
解析 因为a=4ln 3π=4πln 3，b=3π，c=4ln π3=4×3ln π，
lnx
观察a，c的式子结构，构造函数f(x)= ，
x
1-lnx
则f'(x)= ，
x2
当x∈(0，e)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(e，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
因为π>3>e，所以f(π)<f(3)，
ln π ln3
即 < ，
π 3
所以3ln π<πln 3，即4×3ln π<4πln 3，即c<a；
又ln π>ln e=1，
所以3π<3×4<4×3ln π，即b<c，
综上，b<c<a.
8 lna 7 lnb 6 lnc
(2)(2024·石家庄模拟)已知a，b，c∈(1，+∞)， = ， = ， = ，则下列大小关系正确
a ln10 b ln11 c ln12
的是( )
A.c>b>a B.a>b>c
C.b>c>a D.c>a>b答案 B
解析 设f(x)=xln x(x>1)，g(x)=(18-x)ln x(x≥10)，
8 lna
因为 = ，
a ln10
7 lnb 6 lnc
= ， = ，
b ln11 c ln12
所以aln a=8ln 10，bln b=7ln 11，cln c=6ln 12，
即f(a)=g(10)，f(b)=g(11)，f(c)=g(12)，
g'(x)=(18-x)'ln x+(18-x)(ln x)'
18
=-ln x+ -1，
x
18
令h(x)=g'(x)=-ln x+ -1(x≥10)，
x
1 18
则h'(x)=- - <0，g'(x)在[10，+∞)上单调递减，
x x2
所以g'(x)≤g'(10)<0，所以g(x)在[10，+∞)上单调递减，
所以g(10)>g(11)>g(12)，即f(a)>f(b)>f(c)，
f'(x)=ln x+1，当x>1时，f'(x)>0，所以f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以a>b>c.
专题强化练
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知定义域为R的奇函数f(x)，当x∈(-∞，0)时，f(x)+xf'(x)<0恒成立，若a=3f(3)，b=f(1)，c=-2f(-2)，则(
)
A.a>c>b B.c>b>a
C.c>a>b D.a>b>c
答案 A
解析 因为f(x)为奇函数，
则f(-x)=-f(x)，
设g(x)=xf(x)，则g(x)的定义域为R，
且g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x)，
所以g(x)是偶函数，
当x∈(-∞，0)时，g'(x)=f(x)+xf'(x)<0，
则g(x)在(-∞，0)上单调递减，
所以g(x)在(0，+∞)上单调递增，又因为a=3f(3)=g(3)，b=f(1)=g(1)，c=-2f(-2)=g(-2)=g(2)，所以a>c>b.
1 1 1
2.(2024·福州模拟)已知a= ln ，b=ln 2，c=- ，则( )
2 2 e
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>a>b
答案 B
1 1
解析 因为b=ln 2>0，而a= ln <0，c<0，所以b最大，
2 2
构造函数f(x)=xln x(x>0)，
因为f'(x)=ln x+1(x>0)，
1 1
当0<x< 时，f'(x)<0，当x> 时，f'(x)>0，
e e
( 1) (1 ) (1) (1)
所以f(x)在 0， 上单调递减，在 ，+∞ 上单调递增，又因为a=f ，c=f ，
e e 2 e
(1) (1)
所以f >f ，
2 e
即a>c，故b>a>c.
1 f(x)-lnx
3.(2024·潍坊模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(1)=e，当x>0时，f'(x)< +ex，则不等式 >1
x ex
的解集为( )
A.(0，1) B.(0，+∞)
C.(1，+∞) D.(0，1)∪(1，+∞)
答案 A
f(x)-lnx
解析 不等式 >1等价于f(x)>ex+ln x，即f(x)-ex-ln x>0，
ex
构造函数g(x)=f(x)-ex-ln x，x>0，
1
所以g'(x)=f'(x)-ex- ，
x
1
因为当x>0时，f'(x)< +ex，
x
所以g'(x)<0对∀x∈(0，+∞)恒成立，
所以g(x)在(0，+∞)上单调递减，
又因为g(1)=f(1)-e-ln 1=0，
所以不等式f(x)-ex-ln x>0等价于g(x)>g(1)，所以0<x<1，
f(x)-lnx
即 >1的解集为(0，1).
ex
4.(2024·银川模拟)设a=90.2，b=30.31，c=3ln 1.3，则( )A.c<b<a B.b<c<a
C.a<c<b D.a<b<c
答案 A
x-1
解析 根据题意，构造函数f(x)=x-1-ln x，则f'(x)= ，
x
当x≥1时，f'(x)≥0，所以f(x)在区间[1，+∞)上单调递增，
可得f(1.3)>f(1)=0，即f(1.3)=1.3-1-ln 1.3=0.3-ln 1.3>0，
所以0.3>ln 1.3，
又指数函数y=3x在R上单调递增，
则30.31>30.3>3ln 1.3，即b>c，
因为a=90.2=30.4>30.31=b，所以c<b<a.
5.(2024·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)+f(-x)=0.对于任意的实数x，均有f(x)<
f '(x)
成立，若f(-3)=-16，则不等式f(x)>2x+1的解集为( )
ln2
A.(-∞，-3) B.(-∞，3)
C.(-3，+∞) D.(3，+∞)
答案 D
f' (x)
解析 f(x)< f'(x)-f(x)ln 2>0，
ln2
⇔
f(x)
令g(x)= ，
2x
2xf' (x)-2xf(x)ln2
则g'(x)=
(2x
)
2
f' (x)-f(x)ln2
= >0，
2x
则g(x)在R上单调递增.
由f(x)+f(-x)=0，则f(-x)=-f(x)，
所以f(x)为奇函数，
由f(-3)=-16，f(x)为奇函数，得f(3)=16，
f(3)
则g(3)= =2，
8
f(x)
从而原不等式f(x)>2x+1可化为 >2，
2x
即g(x)>g(3).
由于g(x)在R上单调递增，故g(x)>g(3)等价于x>3，所以不等式的解集为(3，+∞).6.(2024·武汉统考)若函数f(x)的导数f'(x)=x-sin x，f(x)的最小值为0，则函数y=f(x)-cos x的零点为( )
A.0 B.±√2
C.±2 D.2kπ(k∈Z)
答案 B
解析 因为函数f(x)的导数f'(x)=x-sin x，
1
所以f(x)= x2+cos x+c，c为常数，
2
设g(x)=f'(x)=x-sin x，则g'(x)=1-cos x≥0恒成立，g(x)在R上单调递增，
又g(0)=0，所以当x∈(-∞，0)时，g(x)<0，即f'(x)<0，所以f(x)在(-∞，0)上单调递减，
当x∈(0，+∞)时，g(x)>0，即f'(x)>0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以f(x)在x=0处取得最小值，
即f(x) =f(0)=1+c=0，故c=-1，
min
1
所以f(x)= x2+cos x-1，
2
1
故y=f(x)-cos x= x2-1，
2
1
令 x2-1=0，解得x=±√2，
2
函数y=f(x)-cos x的零点为±√2.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2024·池州模拟)下列不等关系中正确的是( )
ln2 ln3
A. < B.bea>aeb(a>b>1)
2 3
1 31 √3
C.cos < D.sin 1.2>
4 32 2
答案 ABD
ln2 ln3
解析 对于A项， < 3ln 2<2ln 3 ln 8<ln 9，故A项正确；
2 3
ex ⇔ ex ( ⇔ x-1)
对于B项，设k(x)= ，x>1，则k'(x)= >0在(1，+∞)上恒成立，故函数k(x)在(1，+∞)上单调递增，
x x2
ea eb
因为a>b>1，所以k(a)>k(b)，即 > ，故bea>aeb，故B项正确；
a b
1 31 1 1 1(1) 2
对于C项，cos < cos <1- =1- ，
4 32 4 32 2 4
⇔
1
故构造f(x)=cos x-1+ x2(x>0)，
2(1) 1 31
则f'(x)=x-sin x>0，则f(x)在(0，+∞)上单调递增，f =cos - >f(0)=0，
4 4 32
1 31
即cos > ，故C项错误；
4 32
π √3
对于D项，sin 1.2>sin = ，故D项正确.
3 2
8.(2024·芜湖模拟)已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，若f(x)满足(x-1)[f'(x)-f(x)]>0，f(2-x)=f(x)e2-
2x，则下列判断正确的是( )
A.f(1)<ef(0) B.f(2)>e2f(0)
C.f(3)>e3f(0) D.f(4)<e4f(0)
答案 AC
f(x)
解析 设F(x)= ，
ex
exf' (x)-exf(x) f' (x)-f(x)
则F'(x)= = ，
e2x ex
∵函数f(x)满足(x-1)[f'(x)-f(x)]>0，
当x>1时，f'(x)-f(x)>0，∴F'(x)>0，
∴F(x)在(1，+∞)上单调递增；
当x<1时，f'(x)-f(x)<0，∴F'(x)<0，
∴F(x)在(-∞，1)上单调递减，
f(2-x) f(x)
又由f(2-x)=f(x)e2-2x =
e2-x ex
⇔ ⇔
F(2-x)=F(x)，
∴F(x)关于直线x=1对称，从而F(1)<F(0)=F(2)<F(3)<F(4)，
f(1) f(0)
由F(1)<F(0)，∴ < ，∴f(1)<ef(0)，故A正确；
e1 e0
f(0) f(2)
由F(0)=F(2)，∴ = ，∴f(2)=e2f(0)，故B错误；
e0 e2
f(0) f(3)
由F(0)<F(3)，∴ < ，
e0 e3
∴f(3)>e3f(0)，故C正确；
f(0) f(4)
由F(0)<F(4)，∴ < ，
e0 e4
∴f(4)>e4f(0)，故D错误.
三、填空题(每小题5分，共10分)1 3ln2 2ln3
9.若a= ，b= ，c= ，则a，b，c的大小关系为 .(用“<”连接)
e2 64 81
答案 c<b<a
1 lne 3ln2 ln8
解析 因为a= = ，b= = ，
e2 e2 64 82
2ln3 ln9 lnx
c= = ，所以令g(x)= ，
81 92 x2
则a=g(e)，b=g(8)，c=g(9)，
1-2lnx
g'(x)= ，
x3
当x∈(√e，+∞)时，g'(x)<0，所以函数g(x)在(√e，+∞)上单调递减.
又√e<e<8<9，所以g(e)>g(8)>g(9)，即c<b<a.
( π π)
10.(2024·成都模拟)已知函数f(x)的定义域为 - ， ，其导函数是f'(x).若f'(x)cos x+f(x)sin x<0，则关于x
2 2
(π)
的不等式f(x)>2f cos x的解集为 .
3
( π π)
答案 - ，
2 3
f(x) ( π π)
解析 依题意令F(x)= ，x∈ - ， ，
cosx 2 2
f' (x)cosx+f(x)sinx
则F'(x)= ，
cos2x
π π
因为当- <x< 时，f'(x)cos x+f(x)sin x<0，
2 2
( π π)
所以当x∈ - ， 时，F'(x)<0，
2 2
( π π)
所以F(x)在 - ， 上单调递减，
2 2
(π)
f
(π) f(x) 3
则f(x)>2f cos x等价于 > ，
3 cosx π
cos
3
(π)
即F(x)>F ，
3
π
{ x< ,
3
所以
π π
- <x< ,
2 2π π
解得- <x< ，
2 3
( π π)
所以所求不等式的解集为 - ， .
2 3
