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专题一 微重点 2 导数中函数的构造问题
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知定义域为R的奇函数f(x)，当x∈(-∞，0)时，f(x)+xf'(x)<0恒成立，若a=3f(3)，b=f(1)，c=-2f(-2)，则(
)
A.a>c>b B.c>b>a
C.c>a>b D.a>b>c
1 1 1
2.(2024·福州模拟)已知a= ln ，b=ln 2，c=- ，则( )
2 2 e
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>a>b
1 f(x)-lnx
3.(2024·潍坊模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(1)=e，当x>0时，f'(x)< +ex，则不等式 >1
x ex
的解集为( )
A.(0，1) B.(0，+∞)
C.(1，+∞) D.(0，1)∪(1，+∞)
4.(2024·银川模拟)设a=90.2，b=30.31，c=3ln 1.3，则( )
A.c<b<a B.b<c<a
C.a<c<b D.a<b<c
5.(2024·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)+f(-x)=0.对于任意的实数x，均有f(x)<
f '(x)
成立，若f(-3)=-16，则不等式f(x)>2x+1的解集为( )
ln2
A.(-∞，-3) B.(-∞，3)
C.(-3，+∞) D.(3，+∞)
6.(2024·武汉统考)若函数f(x)的导数f'(x)=x-sin x，f(x)的最小值为0，则函数y=f(x)-cos x的零点为( )
A.0 B.±√2
C.±2 D.2kπ(k∈Z)
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2024·池州模拟)下列不等关系中正确的是( )
ln2 ln3
A. < B.bea>aeb(a>b>1)
2 3
1 31 √3
C.cos < D.sin 1.2>
4 32 2
8.(2024·芜湖模拟)已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，若f(x)满足(x-1)[f'(x)-f(x)]>0，f(2-x)=f(x)e2-
2x，则下列判断正确的是( )A.f(1)<ef(0) B.f(2)>e2f(0)
C.f(3)>e3f(0) D.f(4)<e4f(0)
三、填空题(每小题5分，共10分)
1 3ln2 2ln3
9.若a= ，b= ，c= ，则a，b，c的大小关系为 .(用“<”连接)
e2 64 81
( π π)
10.(2024·成都模拟)已知函数f(x)的定义域为 - ， ，其导函数是f'(x).若f'(x)cos x+f(x)sin x<0，则关于x
2 2
(π)
的不等式f(x)>2f cos x的解集为 .
3答案精析
1.A 2.B 3.A 4.A 5.D 6.B
7.ABD 8.AC
9.c<b<a
1 lne
解析 因为a= = ，
e2 e2
3ln2 ln8
b= = ，
64 82
2ln3 ln9 lnx
c= = ，所以令g(x)= ，
81 92 x2
则a=g(e)，b=g(8)，c=g(9)，
1-2lnx
g'(x)= ，
x3
当x∈(√e，+∞)时，g'(x)<0，所以函数g(x)在(√e，+∞)上单调递减.
又√e<e<8<9，所以g(e)>g(8)>g(9)，即c<b<a.
( π π)
10. - ，
2 3
f(x)
解析 依题意令F(x)= ，
cosx
( π π)
x∈ - ， ，
2 2
f '(x)cosx+f(x)sinx
则F'(x)= ，
cos2x
π π
因为当- <x< 时，
2 2
f'(x)cos x+f(x)sin x<0，
( π π)
所以当x∈ - ， 时，F'(x)<0，
2 2
( π π)
所以F(x)在 - ， 上单调递减，
2 2
(π)
则f(x)>2f cos x等价于
3
(π)
f
f(x) 3
> ，
cosx π
cos
3(π)
即F(x)>F ，
3
π
{ x< ,
3
所以
π π
- <x< ,
2 2
π π ( π π)
解得- <x< ，所以所求不等式的解集为 - ， .
2 3 2 3
