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微重点 2 导数中函数的构造问题
[考情分析] 导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不
等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
考点一 导数型构造函数
考向1 利用f(x)与x构造
例1 (2024·绵阳模拟)已知函数f(x)满足f(x)=f(-x)，且当 x∈(-∞，0]时，f(x)+xf'(x)>0成立，若
( 1) ( 1)
a=30.2f(30.2)，b=(ln 2)·f(ln 2)，c= log f log ，则 a，b，c的大小关系是 ( )
39 39
A.a>b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.a>c>b
[规律方法] (1)出现nf(x)+xf'(x)的形式，构造函数F(x)=xnf(x)；
f(x)
(2)出现xf'(x)-nf(x)的形式，构造函数F(x)= .
xn
跟踪演练1 (2024·石家庄二中统考)已知函数f(x)的定义域为(-∞，0)，f(-1)=-1，其导函数f'(x)满足
xf'(x)-2f(x)>0，则不等式f(x+2 025)+(x+2 025)2<0的解集为 ( )
A.(-2 026，0) B.(-2 026，-2 025)
C.(-∞，-2 026) D.(-∞，-2 025)
考向2 利用f(x)与ex构造
例2 (2024·菏泽统考)若函数f(x)的定义域为R，满足f(0)=2，∀x∈R，都有f(x)+f'(x)>1，则关于x的不
等式f(x)>e-x+1的解集为 ( )
A.{x|x>1} B.{x|x>e}
C.{x|x<0} D.{x|x>0}
[规律方法] (1)出现f'(x)+nf(x)的形式，构造函数F(x)=enxf(x)；
f(x)
(2)出现f'(x)-nf(x)的形式，构造函数F(x)= .
enx
跟踪演练2 已知定义在R上的连续可导函数f(x)及其导函数f'(x)满足f(x)0时，
f(x)>0，则下列式子不一定成立的是 ( )
A.f(8)>2f(4) B.f(4)>2f(2)
(1)
C.f(2)>2f(1) D.f(1)>2f
2
考向3 利用f(x)与sin x，cos x构造
例3 (2024·杭州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)sin x+f'(x)cos x>0，则 ( )
(π) (π) (π) (π)
A.f <√3f B.f <√3f
3 6 6 3(π) (π) (π) (π)
C.f >√3f D.f >√3f
3 6 6 3
[规律方法] 函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式
(1)F(x)=f(x)sin x，
F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x；
f(x)
(2)F(x)= ，
sinx
f '(x)sinx-f(x)cosx
F'(x)= ；
sin2x
(3)F(x)=f(x)cos x，
F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x；
f(x)
(4)F(x)= ，
cosx
f '(x)cosx+f(x)sinx
F'(x)= .
cos2x
跟踪演练3 (2024·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0，
(π)
π)，有f'(x)sin x-f(x)cos x<0，则关于x的不等式f(x)>2f sin x的解集为 ( )
6
( π) ( π)
A. 0， B. 0，
3 6
(π ) (π )
C. ，π D. ，π
3 6
考点二 构造具体函数比较大小
1 ln5 ln6
例4 (1)(2024·昆明模拟)设a= ，b= ，c= ，则 ( )
6 10 12
A.cb>a B.a>b>c
C.b>c>a D.c>a>b答案精析
例1 A
跟踪演练1 B
例2 D [因为f(x)+f'(x)>1，
所以f(x)+f'(x)-1>0，
所以构造函数F(x)=exf(x)-ex，
则F'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1]>0，
所以F(x)在R上单调递增，
因为f(0)=2，
所以F(0)=1，
所以不等式f(x)>e-x+1 exf(x)-ex>1 F(x)>F(0)，
因为F(x)在R上单调递⇔增， ⇔
所以x>0，
所以不等式的解集为{x|x>0}.]
跟踪演练2 D
f(x)
例3 B [令F(x)= ，
cosx
π
x≠ +kπ，k∈Z，
2
f '(x)cosx+f(x)sinx
故F'(x)= >0恒成立，
cos2x
f(x) ( π π )
故F(x)= 在 - +kπ， +kπ ，
cosx 2 2
(π) (π)
k∈Z上单调递增，故F 0，
(1+x) 2
( π)
所以函数f(x)在 0， 上单调递增，所以f(0.01)>f(0)=0，
2
0.01
即ln(1+0.01)> ，
1+0.01
所以b>c；
( π)
令g(x)=ln(1+x)-x，x∈ 0， ，
2
1 x
则g'(x)= -1=- <0，
1+x 1+x
( π)
所以g(x)在 0， 上单调递减，
2
所以g(0.01)
