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微重点 1 函数的公切线问题
[考情分析] 函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从
而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养.
考点一 求两函数的公切线
例1 (2024·扬州模拟)若直线l既是曲线y=ln x的切线，也是曲线y=ex-2的切线，则直线l的方程为
.
1
答案 y=x-1或y= x
e
解析 设直线l与y=ex-2和y=ln x的切点分别为(x，ex 1 -2)，(x ，ln x )，
1 2 2
1
由导数的几何意义可得k=ex
1
-2= ，
x
2
曲线y=ex-2在点(x，ex 1 -2)处的切线方程为y-ex 1 -2=ex 1 -2(x-x )，
1 1
即y=ex
1
-2x+(1-x )ex
1
-2，
1
1
曲线y=ln x在点(x ，ln x )处的切线方程为y-ln x = (x-x )，
2 2 2 x 2
2
1
即y= x+ln x -1，
x 2
2
1
{ ex 1 -2= ,
x
则 2
(1-x )ex 1 -2=ln x -1,
1 2
{x =1, {x =2,
1 1
解得 或
x =e x =1,
2 2
1
故直线l的方程为y=x-1或y= x.
e
[规律方法] 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y=f(x)在点P(x ，
0
f(x ))处的切线方程是y-f(x )=f'(x )·(x-x )；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线
0 0 0 0
上求解.
跟踪演练1 (2023·南平模拟)已知曲线y=aln x和曲线y=x2有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处
有相同的切线l，则直线l的方程为 .
答案 2√ex-y-e=0
解析 设曲线g(x)=aln x和曲线f(x)=x2在公共点(x ，y )处的切线相同，
0 0
a
则f'(x)=2x，g'(x)= ，
x
由题意知f(x )=g(x )，f'(x )=g'(x )，
0 0 0 0{ 2x = a ，
0 x
即 0
x2=aln x ,
0 0
{a=2e，
解得
x =√e，
0
故切点为(√e，e)，
切线斜率k=f'(x )=2√e，
0
所以切线方程为y-e=2√e(x-√e)，
即2√ex-y-e=0.
考点二 与公切线有关的求值问题
1
例2 (2024·大连模拟)斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2+y2= 都相切，则实数a的值为( )
2
A.0或2 B.-2或0
C.-1或0 D.0或1
答案 A
解析 依题意得，设直线l的方程为y=x+b，
1 |b| √2
由直线和圆x2+y2= 相切可得， = ，解得b=±1，
2 √12+(-1) 2 2
当b=1时，y=x+1和y=ln(x+a)相切，
设切点坐标为(x ，x +1)，
0 0
{ 1
=1,
∴ x +a
0
x +1=ln(x +a),
0 0
{x =-1,
0
解得
a=2,
同理当b=-1时，y=x-1和y=ln(x+a)相切，可得a=0.
综上所述，a=2或a=0.
[规律方法] 利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程.
跟踪演练2 (2024·河南省部分重点高中联考)若两个函数f(x)=ln x+a和g(x)=bex(a，b∈R)存在过点
( 1)
2， 的公切线，设切点坐标分别为(x ，f(x ))，(x ，g(x ))，则(x +2x )[f(x )+2g(x )]= .
2 1 1 2 2 1 2 1 2
答案 9
1 1
解析 f'(x)= ，切点坐标为(x ，ln x +a)，切线斜率为 ，
x 1 1 x
11
切线方程为y-(ln x +a)= (x-x )，
1 x 1
1
( 1) 3 2
将 2， 代入得ln x +a= - ，
2 1 2 x
1
3 2
即f(x )= - .
1 2 x
1
g'(x)=bex，切点坐标为(x ，bex 2)，切线斜率为bex 2，
2
切线方程为y-bex 2=bex 2(x-x )，
2
( 1) 1
将 2， 代入得bex 2= ，
2 2(3-x )
2
1
即g(x )= ，
2 2(3-x )
2
1 1
又因为 =bex 2= ，
x 2(3-x )
1 2
可得x =2(3-x )，即x +2x =6，
1 2 1 2
3 2 3 2 2 3
f(x
1
)+2g(x
2
)=
2
-
x
+2bex 2=
2
-
x
+
x
=
2
，
1 1 1
所以(x +2x )[f(x )+2g(x )]=9.
1 2 1 2
考点三 判断公切线条数
例3 (2024·广州模拟)曲线C ：y=x2与曲线C ：y=ln x公切线的条数是( )
1 2
A.0 B.1
C.2 D.3
答案 C
解析
设公切线与y=x2的切点为(x，x2
)，
1 1
与y=ln x的切点为(x ，ln x )，
2 2
1
y=x2的导数为y'=2x，y=ln x的导数为y'= ，
x
则在切点(x，x2 )处的切线方程为y-x2
=2x (x-x )，即y=2x
x-x2，
1 1 1 1 1 1 1
则在切点(x ，ln x )处的切线方程为
2 2
1
y-ln x = (x-x )，
2 x 2
2
1 { 2x = 1 ,
即y=
x
x+ln x
2
-1，∴ 1 x
2
2 x2=1-ln x ,
1 2
整理得到x2
-ln x =1+ln 2，
1 1
令f(x)=x2-ln x，x∈(0，+∞)，1 2x2-1
则f'(x)=2x- = ，
x x
√2
令f'(x)>0，得x> ；
2
√2
令f'(x)<0，得0<x< ，
2
( √2)
∴f(x)在区间 0， 上单调递减，
2
(√2 )
在区间 ，+∞ 上单调递增，
2
(√2) 1 1
f(x) =f = + ln 2<1+ln 2，
min 2 2 2
即函数f(x)与y=1+ln 2的图象如图所示，
由图可知，函数f(x)的图象与直线y=1+ln
2有两个交点，则方程x2
-ln x =1+ln 2有两个不相等的正根，即曲
1 1
线C ：y=x2与曲线C ：y=ln x公切线的条数是2.
1 2
[规律方法] 运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点
存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况.
1
跟踪演练3 已知函数f(x)=x3-x，则与曲线y=f(x)和y=x2+ 均相切的直线l有( )
4
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
答案 C
解析 f(x)=x3-x，所以f'(x)=3x2-1，
所以y=f(x)在点(x ，f(x
))处的切线方程为y-(x3
-x
)=(3x2
-1)(x-x )，
1 1 1 1 1 1
整理得y=(3x2 -1)x-2x3
.
1 1
1
设g(x)=x2+ ，直线l与g(x)的图象相切于点(x ，g(x ))，因为g'(x)=2x，
4 2 2
所以切线方程为y-
( x2+ 1)
=2x (x-x )，
2 4 2 2
1
整理得y=2x x-x2 + ，
2 2 4{3x2-1=2x ，
1 2
则 1 (*)
-2x3=-x2+ ,
1 2 4
整理得
(3x
1
2
-
1) 2
-2x3 -
1
=
9
x4 -2x3 -
3
x2 =
x
1
2
(9x2 -8x -6)=0，
2 2 1 4 4 1 1 2 1 4 1 1
当9x2 -8x -6=0时，Δ=82+4×9×6>0，方程有两个非零实数根，
1 1
x =0也满足方程，故上述方程有3个解，
1
所以方程组(*)有3组解，故满足题中条件的直线l有3条.
考点四 求参数的取值范围
x2
例4 (2024·曲靖模拟)已知a>0，若点P为曲线C ：y= +ax-m与曲线C ：y=2a2ln x的交点，且两条曲
1 2 2
线在点P处的切线重合，则实数m的取值范围是( )
A. ( -∞，e - 1 2 ] B. ( -∞，e4 1]
C. ( -∞，e 1 2 ] D.(-∞，2e]
答案 C
x2
解析 设点P的横坐标为n(n>0)，则由y= +ax-m可得y'=x+a，
2
2a2
又y=2a2ln x可得y'= ，
x
且两条曲线在点P处的切线重合，
2a2
所以切线的斜率k=n+a= (a>0)，解得n=a或n=-2a(舍去)，
n
即点P的横坐标为a(a>0)，
x2
由点P为曲线C ：y= +ax-m与曲线C ：y=2a2ln x的交点，
1 2 2
a2
所以 +a2-m=2a2ln a，
2
3
即m=-2a2ln a+ a2，
2
3
令f(a)=-2a2ln a+ a2(a>0)，
2
则f'(a)=-4aln a+a=a(1-4ln a)，
1
令f'(a)=0可得a= e4，
1
由a>0知，当0<a< e4时，f'(a)>0，1
当a> e4时，f'(a)<0，
( 1) ( 1 ) ( 1) 1
所以f(a)在 0，e4 上单调递增，在 e4，+∞ 上单调递减，所以f(a) max =f e4 = e2，
当a→+∞时，f(a)→-∞，
( 1]
则实数m的取值范围为 -∞，e2 .
[规律方法] 利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问
题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解.
跟踪演练4 若曲线y=kx-1(k<0)与曲线y=ex有三条公切线，则k的取值范围是 .
( 1 )
答案 - ，0
e
解析 令f(x)=kx-1(k<0)，g(x)=ex，
k
则f'(x)=- ，g'(x)=ex，
x2
设点A(x ，f(x ))，则曲线y=f(x)在点A处的切线为y-f(x )=f'(x )(x-x )，
1 1 1 1 1
k 2k
即y=- x+ ，
x2 x
1 1
设点B(x ，g(x ))，则曲线y=g(x)在点B处的切线为y-g(x )=g'(x )(x-x )，
2 2 2 2 2
即y=ex 2x+(1-x )ex 2，
2
k
{- =ex 2,
x2
1
由题意
2k
=(1-x )ex 2,
x 2
1
消去x 得-4k=(1-x )2ex 2，
1 2
由题意，方程-4k=(1-x)2ex有三个不同的实数根，
令φ(x)=(1-x)2ex，
则φ'(x)=(x2-1)ex=(x-1)(x+1)ex，
当x<-1或x>1时，φ'(x)>0，φ(x)单调递增；
当-1<x<1时，φ'(x)<0，φ(x)单调递减；
4
故当x=-1时，φ(x)取极大值φ(-1)= ；
e
当x=1时，φ(x)取极小值φ(1)=0，当x→-∞时，φ(x)→0；
当x→+∞时，φ(x)→+∞，y=φ(x)的大致图象如图所示，
4 1
由图可知0<-4k< ，即- <k<0.
e e
专题强化练
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共25分)
1.已知曲线f(x)=ex在点P(0，f(0))处的切线也是曲线g(x)=ln(ax)的一条切线，则实数a的值为( )
e e
A. B.
3 2
C.e D.e2
答案 D
解析 因为f(x)=ex，所以f(0)=1，f'(x)=ex，所以f'(0)=1，
所以切线方程为y=x+1，
1
又g(x)=ln(ax)，所以g'(x)= ，
x
设切线y=x+1与y=g(x)的切点为(m，n)，
1
可得切线的斜率为 =1，即m=1，
m
n=m+1=1+1=2，可得切点为(1，2)，
所以2=ln a，解得a=e2.
2.已知函数f(x)=ex-ax+b(a，b∈R)，g(x)=x2+x，若这两个函数的图象在公共点A(1，2)处有相同的切线，则
a-b的值为( )
A.e-2 B.e+2
C.e D.e2
答案 A
解析 因为f(x)=ex-ax+b(a，b∈R)，g(x)=x2+x，
所以f'(x)=ex-a，g'(x)=2x+1，
因为f(x)，g(x)在公共点A(1，2)处有相同的切线，
{g'(1)=f '(1), { 3=e-a,
所以 即
f(1)=2, e-a+b=2,
所以a-b=e-2.
3.已知函数f(x)=x2-4x+4，g(x)=x-1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为( )
A.3 B.2C.1 D.0
答案 A
解析 设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点(m，f(m))，(n，g(n))，f'(x)=2x-4，g'(x)=-x-2，g'(n)=f'(m)=
g(n)-f(m)
，
n-m
n-2
解得m=- +2，代入化简得8n3-8n2+1=0，
2
构造函数h(x)=8x3-8x2+1，
h'(x)=8x(3x-2)，
2
令h'(x)>0，得x<0或x> ；
3
2
令h'(x)<0，得0<x< ，
3
(2 )
则h(x)在(-∞，0)， ，+∞ 上单调递增，
3
( 2) (2) 5
在 0， 上单调递减，极大值h(0)=1>0，极小值h =- <0，故函数h(x)的图象和x轴有3个交点，方
3 3 27
程8n3-8n2+1=0有三个解，故公切线有3条.
4.对于三次函数f(x)，若曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线与曲线y=xf(x)在点(1，2)处的切线重合，则f'(2)等于
( )
A.-34 B.-14
C.-4 D.14
答案 B
解析 设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，
∵f(0)=d=0，∴f(x)=ax3+bx2+cx，
∴f'(x)=3ax2+2bx+c，
2-0
∴f'(0)=c= =2，
1-0
设g(x)=xf(x)，
则g(1)=f(1)=a+b+2=2，
即a+b=0， ①
又∵g'(x)=f(x)+xf'(x)，
∴g'(1)=f(1)+f'(1)=2，∴f'(1)=0，
即3a+2b+2=0， ②
由①②可得a=-2，b=2，∴f'(2)=-14.1
5.已知函数f(x)=ex-1，g(x)= ex2，若直线l是曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的公切线，则l的方程为( )
4
A.ex-y=0 B.ex-y-e=0
C.x-y=0 D.x-y-1=0
答案 B
解析 设直线l与曲线y=f(x)相切于点A(x，ex 0 -1)，与y=g(x)相切于点B ( x ， 1 ex2) ，
0 1 4 1
由f'(x)=ex-1，可得l的斜率k=ex
0
-1，
1 1
又由g'(x)= ex，可得k= ex ，
2 2 1
所以切线方程分别为y-ex 0 -1=ex 0 -1(x-x )，
0
1 1
y- ex2= ex (x-x )，
4 1 2 1 1
即y=ex
0
-1·x+(1-x )ex
0
-1，
0
1 1
y= ex x- ex2，
2 1 4 1
1
{ ex 0 -1= ex ,
2 1
则
1
(1-x )ex 0 -1=- ex2,
0 4 1
整理得x -1=ex 0 -2，即ln(x -1)=x -2，
0 0 0
所以x =2，则x =2，
0 1
故所求直线l的方程为y-e=e(x-2)，即ex-y-e=0.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
6.已知曲线C ：f(x)=ex+a和曲线C ：g(x)=ln(x+b)+a2(a，b∈R)，若存在斜率为1的直线与C ，C 同时相切，
1 2 1 2
则b的取值可以为( )
9
A.-e B.
4
C.2 D.e
答案 ABC
1
解析 由题知f'(x)=ex，g'(x)= ，
x+b
设斜率为1的切线在曲线C ，C 上的切点横坐标分别为x ，x ，
1 2 1 2
1
由题知ex 1= =1，
x +b
2
∴x =0，x =1-b，
1 2
两点处的切线方程分别为y-(1+a)=x和y-a2=x-(1-b)，( 1) 2 9 9
故a+1=a2-1+b，即b=2+a-a2=- a- + ≤ .
2 4 4
7.已知l ，l 是函数y=aex与y=ln x-ln a的图象的两条公切线，记l 的倾斜角为α，l 的倾斜角为β，且l ，l
1 2 1 2 1 2
( π)
的夹角为θ 0≤θ≤ ，则下列说法正确的有( )
2
A.sin α=cos β
B.tan α+tan β≥2
3 2
C.若tan θ= ，则a3=
4 e3
D.l 与l 的交点可能在第三象限
1 2
答案 ABC
解析 如图，因为y=aex与y=ln x-ln a互为反函数，
故两函数的图象关于直线y=x对称，则l ，l 关于直线y=x对称，
1 2
π (π )
故α+β= ，sin α=sin -β =cos β，故A正确；
2 2
(π ) 1
由题意，α，β均为锐角，tan α>0，tan β>0，tan α+tan β=tan α+tan -α =tan α+ ≥2，
2 tanα
π
当且仅当tan α=1，即α=β= 时取等号，故B正确；
4
θ
设l 与两个函数图象分别切于M，N两点，与y=x交于点Q，∠OQN= ，
1 2
3
由tan θ= ，
4
θ
2tan
2 3
即 = ，
θ 4
1-tan2
2
θ 1
解得tan = 或-3(舍去)，
2 3
1
+1
(θ π) 3
故k =tan + = =2，
MN 2 4 1
1-
3
对于y=ex，则y'=ex，令y'=ex=2，解得x=ln 2，所以切点为(ln 2，2)，
所以曲线y=ex的斜率为2的切线方程为y=2x-2ln 2+2，
故曲线y=aex=ex+ln a的斜率为2的切线方程为y=2(x+ln a)-2ln 2+2，
同理可得y=ln x的斜率为2的切线方程为y=2x-ln 2-1，
故曲线y=ln x-ln a的斜率为2的切线方程为y=2x-ln 2-1-ln a，
所以-ln 2-1-ln a=2ln a-2ln 2+2，
2
则ln a3=ln 2-3，则a3= ，故C正确；
e3
由图可知点Q必在第一象限，故D错误.
三、填空题(每小题5分，共15分)
8.(2024·宜宾模拟)写出与函数f(x)=sin 2x在x=0处有公共切线的一个函数g(x)= .
答案 x2+2x(答案不唯一)
解析 因为f(x)=sin 2x，所以f'(x)=2cos 2x，
则f'(0)=2，f(0)=0，依题意只需满足g(0)=0，g'(0)=2即可，
不妨令g(x)=x2+2x，则g'(x)=2x+2，
则g'(0)=2，又g(0)=0，符合题意.
9.已知函数g(x)=√x的图象与函数f(x)=aln x的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为
.
答案 (e2，e)
解析 函数f(x)=aln x的定义域为(0，+∞)，
a
可得f'(x)= ，由g(x)=√x，
x
1
可得g'(x)= ，
2√x
设曲线f(x)=aln x与曲线g(x)=√x的公共点为(x ，y )，
0 0
1 a
由于在公共点处有相同的切线，所以 = ，
2√x x
0 0
所以x =4a2(a>0)，
0
由f(x )=g(x )，可得aln x =√x ，
0 0 0 0
{ x =4a2,
0
联立可得
aln x =√x ,
0 0
解得x =e2，所以y =e，所以公共点坐标为(e2，e).
0 0
10.(2024·茂名模拟)若曲线y=ln x与曲线y=x2+2ax有公切线，则实数a的取值范围是 .
[ 1 )
答案
- ，+∞
21
解析 两个函数求导分别为y'= ，y'=2x+2a，
x
设y=ln x，y=x2+2ax图象上的切点分别为(x ，ln x )，(x，x2 +2ax )，
1 1 2 2 2
x
则切线方程分别为y= +ln x -1，y=(2x
+2a)x-x2，
x 1 2 2
1
1
则 =2x +2a，ln x
-1=-x2，
x 2 1 2
1
所以2a=ex 2 2-1-2x 2 ，
设f(x)=ex2-1-2x，f'(x)=2(xex2-1-1)，f'(1)=0，
令g(x)=f'(x)=2(xex2-1-1)，
所以g'(x)=2(2x2+1)ex2-1>0，
所以g(x)即f'(x)在R上单调递增，且f'(1)=0，
则f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
1
所以2a≥f(1)=-1，故a≥- .
2
