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专题一 微重点 1 函数的公切线问题
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共25分)
1.已知曲线f(x)=ex在点P(0，f(0))处的切线也是曲线g(x)=ln(ax)的一条切线，则实数a的值为( )
e e
A. B.
3 2
C.e D.e2
2.已知函数f(x)=ex-ax+b(a，b∈R)，g(x)=x2+x，若这两个函数的图象在公共点A(1，2)处有相同的切线，则
a-b的值为( )
A.e-2 B.e+2
C.e D.e2
3.已知函数f(x)=x2-4x+4，g(x)=x-1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为( )
A.3 B.2
C.1 D.0
4.对于三次函数f(x)，若曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线与曲线y=xf(x)在点(1，2)处的切线重合，则f'(2)等于
( )
A.-34 B.-14
C.-4 D.14
1
5.已知函数f(x)=ex-1，g(x)= ex2，若直线l是曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的公切线，则l的方程为( )
4
A.ex-y=0 B.ex-y-e=0
C.x-y=0 D.x-y-1=0
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
6.已知曲线C ：f(x)=ex+a和曲线C ：g(x)=ln(x+b)+a2(a，b∈R)，若存在斜率为1的直线与C ，C 同时相切，
1 2 1 2
则b的取值可以为( )
9
A.-e B.
4
C.2 D.e
7.已知l ，l 是函数y=aex与y=ln x-ln a的图象的两条公切线，记l 的倾斜角为α，l 的倾斜角为β，且l ，l
1 2 1 2 1 2
( π)
的夹角为θ 0≤θ≤ ，则下列说法正确的有( )
2
A.sin α=cos β
B.tan α+tan β≥2
3 2
C.若tan θ= ，则a3=
4 e3
D.l 与l 的交点可能在第三象限
1 2三、填空题(每小题5分，共15分)
8.(2024·宜宾模拟)写出与函数f(x)=sin 2x在x=0处有公共切线的一个函数g(x)= .
9.已知函数g(x)=√x的图象与函数f(x)=aln x的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为
.
10.(2024·茂名模拟)若曲线y=ln x与曲线y=x2+2ax有公切线，则实数a的取值范围是 .答案精析
1.D 2.A 3.A 4.B 5.B 6.ABC
7.ABC 8.x2+2x(答案不唯一)
9.(e2，e)
解析 函数f(x)=aln x的定义域为(0，+∞)，
a
可得f'(x)= ，由g(x)=√x，
x
1
可得g'(x)= ，
2√x
设曲线f(x)=aln x与曲线g(x)=√x的公共点为(x ，y )，
0 0
由于在公共点处有相同的切线，
1 a
所以 = ，
2√x x
0 0
所以x =4a2(a>0)，
0
由f(x )=g(x )，
0 0
可得aln x =√x ，
0 0
{ x =4a2,
0
联立可得
aln x =√x ,
0 0
解得x =e2，所以y =e，所以公共点坐标为(e2，e).
0 0
[ 1 )
10. - ，+∞
2
1
解析 两个函数求导分别为y'= ，y'=2x+2a，
x
x
设y=ln x，y=x2+2ax图象上的切点分别为(x ，ln x )，(x ，x2 +2ax )，则切线方程分别为y= +ln x -1，
1 1 2 2 2 x 1
1
y=(2x +2a)x-x2 ，
2 2
1
则 =2x +2a，ln x
-1=-x2
，
x 2 1 2
1
所以2a=ex 2 2-1-2x 2 ，
设f(x)=ex2-1-2x，
f'(x)=2(xex2-1-1)，
f'(1)=0，
令g(x)=f'(x)=2(xex2-1-1)，所以g'(x)=2(2x2+1)ex2-1>0，
所以g(x)即f'(x)在R上单调递增，且f'(1)=0，
则f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
1
所以2a≥f(1)=-1，故a≥- .
2
