文档内容
微重点 1 函数的公切线问题
[考情分析] 函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从
而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养.
考点一 求两函数的公切线
例1 (2024·扬州模拟)若直线l既是曲线y=ln x的切线，也是曲线y=ex-2的切线，则直线l的方程为
.
[规律方法] 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y=f(x)在点P(x ，
0
f(x ))处的切线方程是y-f(x )=f'(x )·(x-x )；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线
0 0 0 0
上求解.
跟踪演练1 (2023·南平模拟)已知曲线y=aln x和曲线y=x2有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处
有相同的切线l，则直线l的方程为 .
考点二 与公切线有关的求值问题
1
例2 (2024·大连模拟)斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2+y2= 都相切，则实数a的值为 ( )
2
A.0或2 B.-2或0
C.-1或0 D.0或1
[规律方法] 利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程.
跟踪演练2 (2024·河南省部分重点高中联考)若两个函数f(x)=ln x+a和g(x)=bex(a，b∈R)存在过点
( 1)
2， 的公切线，设切点坐标分别为(x ，f(x ))，(x ，g(x ))，则(x +2x )·[f(x )+2g(x )]= .
2 1 1 2 2 1 2 1 2
考点三 判断公切线条数
例3 (2024·广州模拟)曲线C ：y=x2与曲线C ：y=ln x公切线的条数是 ( )
1 2
A.0 B.1
C.2 D.3
[规律方法] 运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点
存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况.
1
跟踪演练3 已知函数f(x)=x3-x，则与曲线y=f(x)和y=x2+ 均相切的直线l有 ( )
4
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
考点四 求参数的取值范围x2
例4 (2024·曲靖模拟)已知a>0，若点P为曲线C ：y= +ax-m与曲线C ：y=2a2ln x的交点，且两条曲
1 2 2
线在点P处的切线重合，则实数m的取值范围是 ( )
A. ( -∞，e - 1 2 ] B. ( -∞，e4 1]
C. ( -∞，e 1 2 ] D.(-∞，2e]
[规律方法] 利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问
题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解.
跟踪演练4 若曲线y=kx-1(k<0)与曲线y=ex有三条公切线，则k的取值范围是 .答案精析
1
例1 y=x-1或y= x
e
跟踪演练1 2√ex-y-e=0
例2 A
跟踪演练2 9
例3 C [设公切线与y=x2的切点为(x ，x2 )，
1 1
与y=ln x的切点为(x ，ln x )，
2 2
1
y=x2的导数为y'=2x，y=ln x的导数为y'= ，
x
则在切点(x
，x2
)处的切线方程为
1 1
y-x2=2x (x-x )，
1 1 1
即y=2x
x-x2
，
1 1
则在切点(x ，ln x )处的切线方程为
2 2
1
y-ln x = (x-x )，
2 x 2
2
1
即y= x+ln x -1，
x 2
2
{ 2x = 1 ,
∴ 1 x
2
x2=1-ln x ,
1 2
整理得到x2
-ln x =1+ln 2，
1 1
令f(x)=x2-ln x，x∈(0，+∞)，
1 2x2-1
则f'(x)=2x- = ，
x x
√2
令f'(x)>0，得x> ；
2
√2
令f'(x)<0，得00)，则由y= +ax-m
2
可得y'=x+a，
2a2
又y=2a2ln x可得y'= ，
x
2a2
且两条曲线在点P处的切线重合，所以切线的斜率k=n+a= (a>0)，
n
解得n=a或n=-2a(舍去)，
即点P的横坐标为a(a>0)，
x2
由点P为曲线C ：y= +ax-m与曲线C ：y=2a2ln x的交点，
1 2 2
a2
所以 +a2-m=2a2ln a，
2
3
即m=-2a2ln a+ a2，
2
3
令f(a)=-2a2ln a+ a2(a>0)，
2
则f'(a)=-4aln a+a=a(1-4ln a)，
1
令f'(a)=0可得a= e4，
1
由a>0知，当00，
1
当a> e4时，f'(a)<0，
( 1) ( 1 )
所以f(a)在 0，e4 上单调递增，在 e4，+∞ 上单调递减，
( 1) 1
所以f(a) max =f e4 = e2，( 1]
当a→+∞时，f(a)→-∞，则实数m的取值范围为 -∞，e2 .]
( 1 )
跟踪演练4 - ，0
e
