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微重点 4 切割线放缩
[考情分析] 在高考题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，也可以用
切线不等式进行放缩.导数切线放缩法是一种非常实用的数学方法，它可以帮助我们更好地理解函数的性质
和变化规律，使问题简单化，利用切线不等式进行求解，能起到事半功倍的效果.
考点一 切线放缩
常见的切线放缩：∀x∈R都有ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立.
x>-1都有ln(x+1)≤x，当且仅当x=0时等号成立.
∀当x>0时，x>sin x；当x<0时，x<sin x.
例1 (2024·银川模拟)设函数f(x)=ex-m-ln x.
(1)若曲线y=ln x在点(1，0)处的切线与曲线y=ex-m也相切，求m的值；
(2)当m≤2时，证明：f(x)>0恒成立.
1
(1)解 由y=ln x，得y'= ，当x=1时，y'=1，
x
所以曲线y=ln x在点(1，0)处的切线斜率为1，
所以曲线y=ln x在点(1，0)处的切线方程为y=x-1，
由y=ex-m，得y'=ex-m，
设曲线y=ex-m与直线y=x-1相切于点(x ，x -1)，
0 0
{ ex 0 -m=1, {x =2,
则 解得 0 所以m的值为2.
ex 0 -m=x -1, m=2,
0
(2)证明 方法一 因为m≤2，所以ex-m≥ex-2，
所以f(x)=ex-m-ln x≥ex-2-ln x，
令h(x)=ex-2-ln x，x∈(0，+∞)，
1
所以h'(x)=ex-2- ，
x
1
令g(x)=ex-2- ，x∈(0，+∞)，
x
1
所以g'(x)=ex-2+ >0，
x2
所以g(x)即h'(x)在(0，+∞)上单调递增，
1 1
因为h'(1)= -1<0，h'(2)=1- >0，
e 2
1
所以∃x ∈(1，2)，使得h'(x )=ex 0 -2- =0， ①
0 0 x
0当x∈(0，x )时，h'(x)<0，当x∈(x ，+∞)时，h'(x)>0，
0 0
所以h(x)在(0，x )上单调递减，在(x ，+∞)上单调递增，
0 0
所以h(x) =h(x )=ex 0 -2-ln x ，
min 0 0
1
由①得ex
0
-2= ，所以x =e-x
0
+2，
x 0
0
1 x2-2x +1 (x -1) 2
所以h(x )=ex 0 -2-ln x = +x -2= 0 0 = 0 ，
0 0 x 0 x x
0 0 0
因为x ∈(1，2)，所以h(x) =h(x )>0，
0 min 0
所以ex-2-ln x>0，故ex-m≥ex-2>ln x，
所以f(x)>0.
方法二 因为m≤2，所以ex-m≥ex-2，
所以f(x)=ex-m-ln x≥ex-2-ln x，
由(1)知曲线y=ex-2和y=ln x的公切线方程为y=x-1，
设φ(x)=ex-2-x+1，x∈R，
则φ'(x)=ex-2-1，
当x<2时，φ'(x)<0，当x>2时，φ'(x)>0，
所以φ(x)在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，
所以φ(x)≥φ(2)=0，
故ex-2≥x-1，当且仅当x=2时等号成立.
令m(x)=x-1-ln x，x∈(0，+∞)，
1 x-1
所以m'(x)=1- = ，
x x
当x∈(0，1)时，m'(x)<0，当x∈(1，+∞)时，m'(x)>0，
所以m(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
所以m(x)≥m(1)=0，故x-1≥ln x，当且仅当x=1时等号成立，
所以ex-2≥x-1≥ln x，且两等号不能同时成立，
所以ex-2>ln x，即ex-2-ln x>0，即证得f(x)>0.
[规律方法] 该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题(拆成两个函数)，两函数有斜率相同
的切线，这是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递性即
可，难点在于合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线.
x2
跟踪演练1 已知函数f(x)=ex- -1.
2
(1)若直线y=x+a为f(x)的切线，求a的值；
(2)若对∀x∈(0，+∞)，恒有f(x)≥bx，求b的取值范围.解 (1)设直线y=x+a与曲线f(x)相切于点(x ，y )，
0 0
因为f'(x)=ex-x，则f'(x )=ex 0-x =1，
0 0
解得x =0，则y =f(x )=0，
0 0 0
即0+a=0，解得a=0.
(2)因为f(0)=0，且曲线f(x)在x=0处的切线方程为y=x.
故可猜测当x∈(0，+∞)时，f(x)的图象恒在切线y=x的上方，
即证当x∈(0，+∞)时，f(x)>x，
x2
即证当x∈(0，+∞)时，ex- -x-1>0，
2
x2
设h(x)=ex- -x-1，
2
则h'(x)=ex-x-1，
设P(x)=h'(x)=ex-x-1，则P'(x)=ex-1，
因为P'(x)>0在(0，+∞)上恒成立，
所以h'(x)在(0，+∞)上单调递增，
又因为h'(0)=0，
所以当x∈(0，+∞)时，h'(x)>0，
所以h(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以当x∈(0，+∞)时，h(x)>h(0)=0，
x2
即ex- -x-1>0，
2
x2
即ex- -1>x，
2
由此可得，当x∈(0，+∞)时，只需x≥bx即可，解得b≤1.故b的取值范围为(-∞，1].
考点二 双切线放缩
例2 (2024·河南省名校联盟模拟)已知b>0，函数f(x)=(x+a)ln(x+b)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为
xln 2-y-ln 2=0.
(1)求a，b的值；
1 1 1
(2)若方程f(x)= (e为自然对数的底数)有两个实数根x ，x ，且x <x ，证明： x -x <1+ + .
e 1 2 1 2 2 1 e eln2
x+a
(1)解 因为f'(x)= +ln(x+b)，
x+b
1+a
所以f'(1)= +ln(1+b)=ln 2，
1+b
由题意知f(1)=0，
所以f(1)=(1+a)ln(1+b)=0，又因为b>0，{
(1+a)ln(1+b)=0,
联立 1+a
+ln(1+b)=ln2,
1+b
{a=-1,
解得
b=1.
(2)证明 由(1)可知f(x)=(x-1)ln(x+1)，x>-1，f(0)=0，f(1)=0，
2
f'(x)=1- +ln(x+1)，设u(x)=f'(x)，
x+1
2 1
则u'(x)= + >0，
(x+1) 2 x+1
所以u(x)即f'(x)在(-1，+∞)上单调递增.
又f'(0)=-1<0，f'(1)=ln 2>0，
所以存在x ∈(0，1)，使得f'(x )=0，
0 0
且当x∈(-1，x )时，f'(x)<0，
0
当x∈(x ，+∞)时，f'(x)>0，
0
故f(x)在(-1，x )上单调递减，在(x ，+∞)上单调递增.
0 0
由(1)知f(x)的图象在点(1，0)处的切线方程为xln 2-y-ln 2=0，
令h(x)=(x-1)ln 2，
F(x)=f(x)-h(x)=(x-1)ln(x+1)-(x-1)ln 2，
则F'(x)=f'(x)-h'(x)=f'(x)-ln 2，
因为f'(x)在(-1，+∞)上单调递增，
所以F'(x)在(-1，+∞)上单调递增.
又F'(1)=0，所以当-1<x<1时，F'(x)<0，当x>1时，F'(x)>0.
所以F(x)在(-1，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增.
故F(x)≥F(1)=0，即(x-1)ln(x+1)≥(x-1)ln 2，当且仅当x=1时等号成立.
1
因为方程f(x)= 有两个实数根x ，x ，且x <x ，
e 1 2 1 2
1
也就是f(x )=f(x )= >f(1)=f(0)=0，且注意到f(x)在(1，+∞)上单调递增，
2 1 e
所以-1<x <0<x <1<x ，
1 0 2
所以(x -1)ln(x +1)>(x -1)ln 2，
2 2 2
即f(x )>h(x ).
2 2
1
设方程h(x)= 的根为x '，
e 2
1
则 x '=1+ ，
2 eln2又h(x)在(-1，+∞)上单调递增，所以h(x ')=f(x )>h(x )，
2 2 2
故x '>x . ①
2 2
易知f(x)的图象在坐标原点处的切线方程为y=-x，令g(x)=-x，
T(x)=f(x)-g(x)=(x-1)ln(x+1)+x，则T'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)+1，
因为f'(x)在(-1，+∞)上单调递增，
所以T'(x)在(-1，+∞)上单调递增.
又 T'(0)=0，
所以当-1<x<0时，T'(x)<0，当x>0时，T'(x)>0，
所以T(x)在(-1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增.
所以T(x)≥T(0)=0，(x-1)ln(x+1)≥-x，当且仅当x=0时等号成立.
因为-1<x <0，所以(x -1)ln(x +1)>-x ，即f(x )>g(x ).
1 1 1 1 1 1
1 1
设方程g(x)= 的根为x '，则x '=- ，
e 1 1 e
又g(x)在(-1，+∞)上单调递减，
所以g(x ')=f(x )>g(x )，所以x '<x ，
1 1 1 1 1
从而-x '>-x . ②
1 1
1 1
由①②可知x -x <x '-x '=1+ + .
2 1 2 1 e eln2
[规律方法] 含有两个零点的f(x)的解析式(可能含有参数)，告知方程f(x)=b有两个实根x ，x ，要证明两
1 2
个实根之差小于(或大于)某个表达式.求解策略是求出f(x)在两个零点处(有时候不一定是零点处)的切线方程
(有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直线)，然后严格证明曲线f(x)在切线(或所找直线)的上方或
下方，进而对x ，x 作出放大或者缩小，从而实现证明.
1 2
1
跟踪演练2 已知f(x)=x-xln x-1，记f(x)在x= 处的切线方程为y=g(x).
e
(1)证明：g(x)≥f(x)；
1
(2)若方程f(x)=m有两个不相等的实根x ，x (x <x )，证明：x -x >2m+2-e- .
1 2 1 2 1 2 e
证明 (1)f(x)=x-xln x-1的定义域为(0，+∞)，
(1)
∵f'(x)=1-(ln x+1)=-ln x，∴f' =1，
e
(1) 1 1 2
f = + -1= -1，
e e e e
1 (2 ) 1
∴f(x)在x= 处的切线方程为y- -1 =x- ，
e e e
1
则g(x)=x+ -1.
e1 1
令F(x)=g(x)-f(x)=x+ -1-(x-xln x-1)= +xln x，x∈(0，+∞)，
e e
1
则F'(x)=1+ln x，令F'(x)=0，解得x= ，
e
1 ( 1)
∴当0<x< 时，F'(x)<0，F(x)在 0， 上单调递减，
e e
1 (1 )
当x> 时，F'(x)>0，F(x)在 ，+∞ 上单调递增，
e e
(1)
∴F(x) =F =0，
min e
∴F(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，即g(x)≥f(x).
(2)由(1)知f'(x)=-ln x，令f'(x)=0，得x=1，
∴当0<x<1时，f'(x)>0，f(x)在(0，1)上单调递增，
当x>1时，f'(x)<0，f(x)在(1，+∞)上单调递减，
∴f(x) =f(1)=0，
max
当x→0时，f(x)→-1；当x>e时，f(x)<f(e)=-1，
∵方程f(x)=m有两个不相等的实根x ，x (x <x )，∴-1<m<0，且0<x <1<x <e，
1 2 1 2 1 2
∵f'(e)=-1，f(e)=-1，
∴函数f(x)在x=e处的切线方程为y-(-1)=-(x-e)，即y=-x+e-1.
下证f(x)≤-x+e-1，
令h(x)=-x+e-1-f(x)=-x+e-1-(x-xln x-1)=-2x+xln x+e，x∈(0，+∞)，
则h'(x)=-2+ln x+1=-1+ln x，令h'(x)=0，解得x=e，
∴当0<x<e时，h'(x)<0，h(x)在(0，e)上单调递减，
当x>e时，h'(x)>0，h(x)在(e，+∞)上单调递增，∴h(x) =h(e)=0，
min
∴h(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，即f(x)≤-x+e-1，当且仅当x=e时等号成立.
∵1<x <e，
2
∴m=f(x )<-x +e-1，即-x >m-e+1，
2 2 2
1
由(1)知，f(x)≤g(x)=x+ -1，
e
1
∵0<x <1，∴m=f(x )≤x + -1，
1 1 1 e
1 1
即x ≥m- +1，∴x -x >2m+2-e- .
1 e 1 2 e专题强化练
(分值：30分)
1.(13分)已知函数f(x)=ln(x+1).
(1)证明：当x>-1时，f(x)≤x；(5分)
1 1 1
(2)已知n∈N*，证明：
e
1+
2
+
3
+…+ n>ln(n+2).(8分)
证明 (1)令h(x)=ln(x+1)-x(x>-1)，
1 x
则h'(x)= -1=- ，
x+1 x+1
当-1<x<0时，h'(x)>0，则函数h(x)在(-1，0)上单调递增，
当x>0时，h'(x)<0，则函数h(x)在(0，+∞)上单调递减，
∴h(x)≤h(0)=0，即f(x)≤x.
(2)由(1)可得ln(x+1)≤x，
1
当且仅当x=0时取等号，令x= ，n∈N*，
n
1 (1 ) n+1
∴ >ln +1 =ln ，
n n n
1 1 1 2 3 4 n+1
1+ + +…+ >ln +ln +ln +…+ln =ln(n+1)，
2 3 n 1 2 3 n
1 1 1
即1+ + +…+ >ln(n+1)，
2 3 n
1 1 1
则 e 1+ 2 + 3 +…+ n>n+1， ①
又由(1)知，ln(x+1)≤x，当且仅当x=0时取等号，
令x=n+1，又n∈N*，
∴ln(n+2)<n+1 ， ②
1 1 1
由①②得 ，e 1+ 2 + 3 +…+ n>ln(n+2).
2.(17分)[牛顿法求函数的零点]牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.
具体做法如下：如图，设r是f(x)=0的根，首先选取x 作为r的初始近似值，若f(x)在点(x ，f(x ))处的切线
0 0 0
与x轴相交于点(x ，0)，称x 是r的一次近似值；用x 替代x 重复上面的过程，得到x ，称x 是r的二次
1 1 1 0 2 2
近似值；一直重复，可得到一列数：x ，x ，x ，…，x ，….在一定精确度下，用四舍五入法取值，当
0 1 2 n
x ，x (n∈N*)的近似值相等时，该值即作为函数f(x)的一个零点r.
n-1 n(1)若f(x)=x3+3x2+x-3，当x =0时，求方程f(x)=0的根的二次近似值(保留到小数点后两位)；(4分)
0
3
(2)求函数g(x)=ex-3在点(2，g(2))处的切线方程，并证明：ln 3<1+ ；(5分)
e2
(3)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线.若h(x)=x(1-ln x)，关于x的方
程h(x)=a的两个根分别为x ，x (x <x )，证明：x -x >e-ea.(8分)
1 2 1 2 2 1
(1)解 f'(x)=3x2+6x+1，
当x =0时，f'(0)=1，f(0)=-3，
0
f(x)在点(0，-3)处的切线方程为y+3=x，与x轴的交点横坐标为(3，0)，
所以x =3，f'(3)=46，f(3)=54，
1
(42 )
f(x)在点(3，54)处的切线方程为y-54=46(x-3)，与x轴的交点为 ，0 ，所以方程f(x)=0的根的二次近似
23
42
值为 ≈1.83.
23
(2)解 由题意可知，g(2)=e2-3，g'(x)=ex，g'(2)=e2，
所以g(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y-(e2-3)=e2(x-2)，即e2x-y-e2-3=0.
x
设m(x)=ln x-1- ，x>1，
e2
1 1
则m'(x)= - ，
x e2
显然m'(x)在(1，+∞)上单调递减，
令m'(x)=0，解得x=e2，
所以当x∈(1，e2)时，m'(x)>0，则m(x)在(1，e2)上单调递增，
当x∈(e2，+∞)时，m'(x)<0，则m(x)在(e2，+∞)上单调递减，
e2
所以m(x)≤m(e2)=ln e2-1- =0，
e2
当且仅当x=e2时等号成立，
所以m(3)<m(e2)，
3 3
即ln 3-1- <0，所以ln 3<1+ .
e2 e2
(3)证明 由h(x)=x-xln x(x>0)，得h'(x)=-ln x，
当0<x<1时，h'(x)>0；当x>1时，h'(x)<0，所以h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
所以x=1是h(x)的极大值点，也是h(x)的最大值点，即h(x) =h(1)=1，
max
又当x→0时，h(x)→0，当x→+∞时，h(x)→-∞，h(e)=0，
所以当方程h(x)=a有两个根时，必满足0<a<1，
且0<x <1<x <e；
1 2
1
曲线y=h(x)过点(1，1)和点(e，0)的割线方程为y= (x-e)，
1-e
1
下面证明当1≤x≤e时，h(x)≥ (x-e)，
1-e
1
设u(x)=h(x)- (x-e)(1≤x≤e)，
1-e
1 ( 1 )
则u'(x)=-ln x+ e-1 =- lnx-lnee-1 ，
1
所以当1<x< ee-1时，u'(x)>0；
1
当 ee-1<x<e时，u'(x)<0，
( 1 )
所以u(x)在 1，ee-1 上单调递增，u(x)≥u(1)=0；
( 1 )
u(x)在 ee-1，e 上单调递减，u(x)≥u(e)=0，
1
所以当1≤x≤e时，u(x)≥0，即h(x)≥ (x-e)(1≤x≤e)(当且仅当x=1或x=e时取等号)，
1-e
1
由于1<x <e，所以a=h(x )> (x -e)，
2 2 1-e 2
解得x >a-ea+e. ①
2
下面证明当0<x≤1时，h(x)≥x，
设n(x)=h(x)-x=-xln x(0<x≤1)，
因为当0<x≤1时，ln x≤0，所以n(x)≥0，
即h(x)≥x(当且仅当x=1时取等号)，
由于0<x <1，所以a=h(x )>x ，
1 1 1
则-x >-a， ②
1
由①②可知x -x >e-ea.
2 1
