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专题一 微重点 4 切割线放缩
(分值：30分)
1.(13分)已知函数f(x)=ln(x+1).
(1)证明：当x>-1时，f(x)≤x；(5分)
1 1 1
(2)已知n∈N*，证明：
e
1+
2
+
3
+…+ n>ln(n+2).(8分)
2.(17分)[牛顿法求函数的零点]牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.
具体做法如下：如图，设r是f(x)=0的根，首先选取x 作为r的初始近似值，若f(x)在点(x ，f(x ))处的切线
0 0 0
与x轴相交于点(x ，0)，称x 是r的一次近似值；用x 替代x 重复上面的过程，得到x ，称x 是r的二次
1 1 1 0 2 2
近似值；一直重复，可得到一列数：x ，x ，x ，…，x ，….在一定精确度下，用四舍五入法取值，当
0 1 2 n
x ，x (n∈N*)的近似值相等时，该值即作为函数f(x)的一个零点r.
n-1 n
(1)若f(x)=x3+3x2+x-3，当x =0时，求方程f(x)=0的根的二次近似值(保留到小数点后两位)；(4分)
0
3
(2)求函数g(x)=ex-3在点(2，g(2))处的切线方程，并证明：ln 3<1+ ；(5分)
e2
(3)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线.若h(x)=x(1-ln x)，关于x的方
程h(x)=a的两个根分别为x ，x (x <x )，证明：x -x >e-ea.(8分)
1 2 1 2 2 1答案精析
1.证明 (1)令h(x)=ln(x+1)-
x(x>-1)，
1 x
则h'(x)= -1=- ，
x+1 x+1
当-1<x<0时，h'(x)>0，则函数h(x)在(-1，0)上单调递增，
当x>0时，h'(x)<0，则函数h(x)在(0，+∞)上单调递减，
∴h(x)≤h(0)=0，即f(x)≤x.
(2)由(1)可得ln(x+1)≤x，
当且仅当x=0时取等号，
1
令x= ，n∈N*，
n
1 (1 ) n+1
∴ >ln +1 =ln ，
n n n
1 1 1 2 3 4 n+1
1+ + +…+ >ln +ln +ln +…+ln =ln(n+1)，
2 3 n 1 2 3 n
1 1 1
即1+ + +…+ >ln(n+1)，
2 3 n
1 1 1
则 e 1+ 2 + 3 +…+ n>n+1， ①
又由(1)知，ln(x+1)≤x，
当且仅当x=0时取等号，
令x=n+1，又n∈N*，
∴ln(n+2)<n+1 ， ②
1 1 1
由①②得， e 1+ 2 + 3 +…+ n>ln(n+2).
2.(1)解 f'(x)=3x2+6x+1，
当x =0时，f'(0)=1，f(0)=-3，
0
f(x)在点(0，-3)处的切线方程为
y+3=x，
与x轴的交点横坐标为(3，0)，
所以x =3，f'(3)=46，f(3)=54，
1(42 )
f(x)在点(3，54)处的切线方程为y-54=46(x-3)，与x轴的交点为 ，0 ，所以方程f(x)=0的根的二次近似
23
42
值为 ≈1.83.
23
(2)解 由题意可知，g(2)=e2-3，
g'(x)=ex，g'(2)=e2，
所以g(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y-(e2-3)=e2(x-2)，
即e2x-y-e2-3=0.
x
设m(x)=ln x-1- ，x>1，
e2
1 1
则m'(x)= - ，
x e2
显然m'(x)在(1，+∞)上单调递减，
令m'(x)=0，解得x=e2，
所以当x∈(1，e2)时，m'(x)>0，
则m(x)在(1，e2)上单调递增，
当x∈(e2，+∞)时，m'(x)<0，
则m(x)在(e2，+∞)上单调递减，
e2
所以m(x)≤m(e2)=ln e2-1- =0，
e2
当且仅当x=e2时等号成立，
所以m(3)<m(e2)，
3
即ln 3-1- <0，
e2
3
所以ln 3<1+ .
e2
(3)证明 由h(x)=x-xln x(x>0)，
得h'(x)=-ln x，
当0<x<1时，h'(x)>0；
当x>1时，h'(x)<0，
所以h(x)在(0，1)上单调递增，
在(1，+∞)上单调递减，
所以x=1是h(x)的极大值点，也是h(x)的最大值点，
即h(x) =h(1)=1，
max
又当x→0时，h(x)→0，当x→+∞时，h(x)→-∞，h(e)=0，所以当方程h(x)=a有两个根时，必满足0<a<1，
且0<x <1<x <e；
1 2
1
曲线y=h(x)过点(1，1)和点(e，0)的割线方程为y= (x-e)，
1-e
下面证明当1≤x≤e时，
1
h(x)≥ (x-e)，
1-e
1
设u(x)=h(x)- (x-e)(1≤x≤e)，
1-e
1
则u'(x)=-ln x+
e-1
( 1 )
=- lnx-lnee-1 ，
1
所以当1<x< ee-1时，u'(x)>0；
1
当 ee-1<x<e时，u'(x)<0，
( 1 )
所以u(x)在 1，ee-1 上单调递增，
u(x)≥u(1)=0；
( 1 )
u(x)在 ee-1，e 上单调递减，
u(x)≥u(e)=0，
所以当1≤x≤e时，u(x)≥0，
1
即h(x)≥ (x-e)(1≤x≤e)(当且仅当x=1或x=e时取等号)，
1-e
由于1<x <e，
2
1
所以a=h(x )> (x -e)，
2 1-e 2
解得x >a-ea+e.①
2
下面证明当0<x≤1时，h(x)≥x，
设n(x)=h(x)-x
=-xln x(0<x≤1)，
因为当0<x≤1时，ln x≤0，
所以n(x)≥0，
即h(x)≥x(当且仅当x=1时取等号)，
由于0<x <1，所以a=h(x )>x ，
1 1 1
则-x >-a， ②
1由①②可知x -x >e-ea.
2 1
