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微重点 4 切割线放缩
[考情分析] 在高考题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，也可以用
切线不等式进行放缩.导数切线放缩法是一种非常实用的数学方法，它可以帮助我们更好地理解函数的性质
和变化规律，使问题简单化，利用切线不等式进行求解，能起到事半功倍的效果.
考点一 切线放缩
常见的切线放缩：∀x∈R都有ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立.
x>-1都有ln(x+1)≤x，当且仅当x=0时等号成立.
∀当x>0时，x>sin x；当x<0时，x<sin x.
例1 (2024·银川模拟)设函数f(x)=ex-m-ln x.
(1)若曲线y=ln x在点(1，0)处的切线与曲线y=ex-m也相切，求m的值；
(2)当m≤2时，证明：f(x)>0恒成立.
[规律方法] 该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题(拆成两个函数)，两函数有斜率相同
的切线，这是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递性即
可，难点在于合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线.
x2
跟踪演练1 已知函数f(x)=ex- -1.
2
(1)若直线y=x+a为f(x)的切线，求a的值；
(2)若对∀x∈(0，+∞)，恒有f(x)≥bx，求b的取值范围.
考点二 双切线放缩
例2 (2024·河南省名校联盟模拟)已知b>0，函数f(x)=(x+a)ln(x+b)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为
xln 2-y-ln 2=0.
(1)求a，b的值；
(2)若方程f(x)=
1 1 1
(e为自然对数的底数)有两个实数根x1，x2，且x1<x2，证明： x2-x1<1+ + .
e e eln2
[规律方法] 含有两个零点的f(x)的解析式(可能含有参数)，告知方程f(x)=b有两个实根x ，x ，要证明两
1 2
个实根之差小于(或大于)某个表达式.求解策略是求出f(x)在两个零点处(有时候不一定是零点处)的切线方程(有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直线)，然后严格证明曲线f(x)在切线(或所找直线)的上方或
下方，进而对x ，x 作出放大或者缩小，从而实现证明.
1 2
1
跟踪演练2 已知f(x)=x-xln x-1，记f(x)在x= 处的切线方程为y=g(x).
e
(1)证明：g(x)≥f(x)；
1
(2)若方程f(x)=m有两个不相等的实根x ，x (x <x )，证明：x -x >2m+2-e- .
1 2 1 2 1 2 e答案精析
1
例1 (1)解 由y=ln x，得y'= ，当x=1时，y'=1，
x
所以曲线y=ln x在点(1，0)处的切线斜率为1，
所以曲线y=ln x在点(1，0)处的切线方程为y=x-1，
由y=ex-m，得y'=ex-m，
设曲线y=ex-m与直线y=x-1相切于点(x ，x -1)，
0 0
{ ex 0 -m=1, {x =2,
0
则 解得
ex 0 -m=x -1, m=2,
0
所以m的值为2.
(2)证明 方法一 因为m≤2，
所以ex-m≥ex-2，
所以f(x)=ex-m-ln x≥ex-2-ln x，
令h(x)=ex-2-ln x，x∈(0，+∞)，
1
所以h'(x)=ex-2- ，
x
1
令g(x)=ex-2- ，x∈(0，+∞)，
x
1
所以g'(x)=ex-2+ >0，
x2
所以g(x)即h'(x)在(0，+∞)上单调递增，
1
因为h'(1)= -1<0，
e
1
h'(2)=1- >0，
2
所以∃x ∈(1，2)，
0
1
使得h'(x )=ex 0 -2- =0， ①
0 x
0
当x∈(0，x )时，h'(x)<0，当x∈(x ，+∞)时，h'(x)>0，
0 0
所以h(x)在(0，x )上单调递减，在(x ，+∞)上单调递增，
0 0
所以h(x) =h(x )=ex 0 -2-ln x ，
min 0 0
1
由①得ex 0 -2= ，所以x =e-x 0 +2 ，
x 0
01 x2-2x +1 (x -1) 2
所以h(x )=ex 0 -2-ln x = +x -2= 0 0 = 0 ，
0 0 x 0 x x
0 0 0
因为x ∈(1，2)，
0
所以h(x) =h(x )>0，
min 0
所以ex-2-ln x>0，
故ex-m≥ex-2>ln x，
所以f(x)>0.
方法二 因为m≤2，
所以ex-m≥ex-2，
所以f(x)=ex-m-ln x≥ex-2-ln x，
由(1)知曲线y=ex-2和y=ln x的公切线方程为y=x-1，
设φ(x)=ex-2-x+1，x∈R，
则φ'(x)=ex-2-1，
当x<2时，φ'(x)<0，
当x>2时，φ'(x)>0，
所以φ(x)在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，
所以φ(x)≥φ(2)=0，
故ex-2≥x-1，当且仅当x=2时等号成立.
令m(x)=x-1-ln x，x∈(0，+∞)，
1 x-1
所以m'(x)=1- = ，
x x
当x∈(0，1)时，m'(x)<0，
当x∈(1，+∞)时，m'(x)>0，
所以m(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
所以m(x)≥m(1)=0，故x-1≥ln x，当且仅当x=1时等号成立，
所以ex-2≥x-1≥ln x，且两等号不能同时成立，
所以ex-2>ln x，即ex-2-ln x>0，即证得f(x)>0.
跟踪演练1 解 (1)设直线y=x+a与曲线f(x)相切于点(x ，y )，
0 0
因为f'(x)=ex-x，
则f'(x )=ex 0-x =1，
0 0
解得x =0，则y =f(x )=0，
0 0 0
即0+a=0，解得a=0.
(2)因为f(0)=0，且曲线f(x)在x=0处的切线方程为y=x.
故可猜测当x∈(0，+∞)时，f(x)的图象恒在切线y=x的上方，即证当x∈(0，+∞)时，f(x)>x，
即证当x∈(0，+∞)时，
x2
ex- -x-1>0，
2
x2
设h(x)=ex- -x-1，
2
则h'(x)=ex-x-1，
设P(x)=h'(x)=ex-x-1，
则P'(x)=ex-1，
因为P'(x)>0在(0，+∞)上恒成立，
所以h'(x)在(0，+∞)上单调递增，
又因为h'(0)=0，
所以当x∈(0，+∞)时，h'(x)>0，
所以h(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以当x∈(0，+∞)时，
h(x)>h(0)=0，
x2
即ex- -x-1>0，
2
x2
即ex- -1>x，
2
由此可得，当x∈(0，+∞)时，只需x≥bx即可，解得b≤1.故b的取值范围为(-∞，1].
x+a
例2 (1)解 因为f'(x)= +ln(x+b)，
x+b
1+a
所以f'(1)= +ln(1+b)=ln 2，
1+b
由题意知f(1)=0，
所以f(1)=(1+a)ln(1+b)=0，
又因为b>0，
{
(1+a)ln(1+b)=0,
联立 1+a
+ln(1+b)=ln2,
1+b
{a=-1,
解得
b=1.
(2)证明 由(1)可知f(x)= (x-1)ln(x+1)，
x>-1，f(0)=0，f(1)=0，2
f'(x)=1- +ln(x+1)，
x+1
设u(x)=f'(x)，
2 1
则u'(x)= + >0，
(x+1) 2 x+1
所以u(x)即f'(x)在(-1，+∞)上单调递增.
又f'(0)=-1<0，f'(1)=ln 2>0，
所以存在x ∈(0，1)，
0
使得f'(x )=0，
0
且当x∈(-1，x )时，f'(x)<0，
0
当x∈(x ，+∞)时，f'(x)>0，
0
故f(x)在(-1，x )上单调递减，在(x ，+∞)上单调递增.
0 0
由(1)知f(x)的图象在点(1，0)处的切线方程为xln 2-y-ln 2=0，
令h(x)=(x-1)ln 2，
F(x)=f(x)-h(x)
=(x-1)ln(x+1)-(x-1)ln 2，
则F'(x)=f'(x)-h'(x)
=f'(x)-ln 2，
因为f'(x)在(-1，+∞)上单调递增，所以F'(x)在(-1，+∞)上单调递增.
又F'(1)=0，所以当-1<x<1时，F'(x)<0，当x>1时，F'(x)>0.
所以F(x)在(-1，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增.
故F(x)≥F(1)=0，
即(x-1)ln(x+1)≥(x-1)ln 2，当且仅当x=1时等号成立.
1
因为方程f(x)= 有两个实数根x ，x ，且x <x ，
e 1 2 1 2
1
也就是f(x )=f(x )= >f(1)=f(0)=0，且注意到f(x)在(1，+∞)上单调递增，
2 1 e
所以-1<x <0<x <1<x ，
1 0 2
所以(x -1)ln(x +1)>(x -1)ln 2，
2 2 2
即f(x )>h(x ).
2 2
1
设方程h(x)= 的根为x '，
e 2
1
则 x '=1+ ，
2 eln2
又h(x)在(-1，+∞)上单调递增，所以h(x ')=f(x )>h(x )，
2 2 2故x '>x . ①
2 2
易知f(x)的图象在坐标原点处的切线方程为y=-x，令g(x)=-x，
T(x)=f(x)-g(x)
=(x-1)ln(x+1)+x，
则T'(x)=f'(x)-g'(x)
=f'(x)+1，
因为f'(x)在(-1，+∞)上单调递增，所以T'(x)在(-1，+∞)上单调递增.又 T'(0)=0，
所以当-1<x<0时，T'(x)<0，
当x>0时，T'(x)>0，
所以T(x)在(-1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增.
所以T(x)≥T(0)=0，(x-1)ln(x+1)≥-x，当且仅当x=0时等号成立.
因为-1<x <0，
1
所以(x -1)ln(x +1)>-x ，
1 1 1
即f(x )>g(x ).
1 1
1
设方程g(x)= 的根为x '，
e 1
1
则x '=- ，
1 e
又g(x)在(-1，+∞)上单调递减，
所以g(x ')=f(x )>g(x )，
1 1 1
所以x '<x ，从而-x '>-x . ②
1 1 1 1
由①②可知x -x <x '-x '
2 1 2 1
1 1
=1+ + .
e eln2
跟踪演练2 证明 (1)f(x)=x-xln x-1的定义域为(0，+∞)，
∵f'(x)=1-(ln x+1)=-ln x，
(1)
∴f' =1，
e
(1) 1 1 2
f = + -1= -1，
e e e e
1
∴f(x)在x= 处的切线方程为
e
(2 ) 1
y- -1 =x- ，
e e
1
则g(x)=x+ -1.
e1 1
令F(x)=g(x)-f(x)=x+ -1-(x-xln x-1)= +xln x，x∈(0，+∞)，
e e
则F'(x)=1+ln x，
1
令F'(x)=0，解得x= ，
e
1
∴当0<x< 时，F'(x)<0，
e
( 1)
F(x)在 0， 上单调递减，
e
1
当x> 时，F'(x)>0，
e
(1 )
F(x)在 ，+∞ 上单调递增，
e
(1)
∴F(x) =F =0，
min e
∴F(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，即g(x)≥f(x).
(2)由(1)知f'(x)=-ln x，
令f'(x)=0，得x=1，
∴当0<x<1时，f'(x)>0，f(x)在(0，1)上单调递增，
当x>1时，f'(x)<0，
f(x)在(1，+∞)上单调递减，
∴f(x) =f(1)=0，
max
当x→0时，f(x)→-1；当x>e时，f(x)<f(e)=-1，
∵方程f(x)=m有两个不相等的实根x ，x (x <x )，∴-1<m<0，且0<x <1<x <e，
1 2 1 2 1 2
∵f'(e)=-1，f(e)=-1，
∴函数f(x)在x=e处的切线方程为y-(-1)=-(x-e)，
即y=-x+e-1.
下证f(x)≤-x+e-1，
令h(x)=-x+e-1-f(x)=-x+e-1-(x-xln x-1)=-2x+xln x+e，x∈(0，+∞)，
则h'(x)=-2+ln x+1=-1+ln x，令h'(x)=0，解得x=e，
∴当0<x<e时，h'(x)<0，
h(x)在(0，e)上单调递减，
当x>e时，h'(x)>0，h(x)在(e，+∞)上单调递增，
∴h(x) =h(e)=0，
min
∴h(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，即f(x)≤-x+e-1，当且仅当x=e时等号成立.
∵1<x <e，
2
∴m=f(x )<-x +e-1，
2 2
即-x >m-e+1，
2
1
由(1)知，f(x)≤g(x)=x+ -1，
e
∵0<x <1，
1
1
∴m=f(x )≤x + -1，
1 1 e
1
即x ≥m- +1，
1 e
1
∴x -x >2m+2-e- .
1 2 e
